从静止圆环到旋转贝塞尔光束

1、从静止圆环到旋转贝塞尔光束作者：Angela Dudley 和Andrew Forbes摘要：在本论文中，我们使用相空间光调制器（SLM）来模拟一个环形狭缝，它包含不同径向的位置多个偏振不同的相位。这样一个孔径的光学傅里叶变换是目前已知及强度分布已被证明的沿传播方向旋转光束。这里，我们在实验和理论上研究了近场环形狭缝及其成像，尽管在近场条件下，傅里叶变换具有相似的性质，但是在传播过程中，强度分布不旋转。1.引言目前，有大量的文献致力于携带轨道角动量（OAM）的领域。这个范围包括LaguerreGaussian光束 1，BesselGauss光束 2和Airy光束3，所有这些每一光照度lh都携带

2、一个轨道角动量并有一个依赖于方位角度的相位exp（il）1,46其中l是不受限的方位模式指数而是方位角。携带轨道角动量的区域提供多面的应用。这些应用涉及了使用此类领域以传播轨道角动量来俘获粒子的旋转以使得轨道角动量的铁丝网在参量下转换 6。事实上，它们提供了一个无限的状态空间使得了量子密码的带宽增大7,8。我们主要关心高阶衍射贝塞尔光束，它是光学领域一种拥有轨道角动量的形式，而我们更关注的是叠加高阶贝塞尔光束的产生。我们可以叠加高阶贝塞尔光束以创造一个光场领域,其中要么有或者没有全域轨道角动量。在生成一个叠加的高阶贝塞尔光束的情况下,有非全域的轨道角动量，旋转场的强度剖面作为它传播是显而易见的

3、9 - 11。这样叠加可以被生成，通过照明的During环形狭缝孔径12 ，它在不同径向距离上有多个方位角相位的组成部件,或通过编码一个空间光调制器(SLM)，这个调制器有着一个单独的环形孔全息图10,或照明一个有着叠加拉盖尔-高斯（LaguerreGaussian）光束的棱镜。在此论文中，我们从理论和实践上研究近场和远场圆环狭缝孔径的强度分布。由于贝塞尔光束的叠加经常被用于使用光学镊子，研究平面领域知识结构，不同于傅里叶平面，更为当务之急。我们的研究表明，尽管强度最大值出现在远场，叫做2l “花瓣”，安排在一环的周长9，这些在近环缝领域也存在，然而旋转角度的强度分布不会同时存在于近场及远场区

4、域。众所周知，远场衍射在传播的时候强度分布发生旋转 9-11，我们从理论和时间的角度来作出说明，不是在近场的情况下，由于这样的事实，纵波载体都在同一方向传播（不重叠另一个）在近场区域，但在不同的方向（重叠另一个）在远场区域。2.原理在这项工作中，我们实施Durnin的环形狭缝实验12和编码到一个数字环形狭缝全息图并且用高斯扩展光束来照亮它。我们将环形狭缝一分为二，用不同的偏振角来描述。形成原理如图 1所示，我们感兴趣的区域在紧靠环形狭缝后的光束传播，平面P1（近场），区域P2（从近到远场的过渡区）和区域P3（远场）。环形狭缝孔径，有如下的传递函数：而除了在图1所示,也体现在图2。R1

5、和R2分别表示环形狭缝的两个半径,是环形狭缝的宽度(我们选择这两个环形狭缝的宽度相等)。表示方位角的角度l是方位模式索引。由于明亮的环形狭缝光场是扩展高斯光束并且环缝极小（微米量级），有环形狭缝的光场可以被描述为平面波。 是纵向波数，为传播轴和随时间变化的组成部分，可以忽略不计，因为平面波场在整个平面及任何时刻均匀分布。在环形狭缝区域（即，在平面P1中处），表示为图1。(颜色如图)环形区域的衍射图像示意如图,从近场(P1)至远场(P3)传播。绿色(红色)射线表示射线来自环形狭缝的外部(内部)。三个环形(示意图的底部)在此方面增强了图解环形区域如何重叠并成为完全区分开来的传播与孔径增加

6、。和是纵向波数，定义如下：和，这里，是开角锥波矢量（分别由两个环形狭缝产生）传播。一个简单的环形的区域，包含无偏振的不同相位因子，表示为 （3）图2。（颜色如图）传输函数的密度如式（1）中所述，偏振的模式指数。如图3所描述。 R0表示环形狭缝的半径，是环形狭缝的宽度，n表示环形狭缝边缘陡度（或梯度）。我们正在考虑的环形狭缝，包括两个不同半径的环形狭缝，并考虑到光场是一个线性系统，所以两个环形领域是可以相加的，导致整体的环形狭缝领域在近场（P1），可被写成：由于两个环形狭缝任意薄并且其中一个接近另一个我们可以假设它们的半径是相等的，即：在该区域可以简化为：环形狭缝场强度由下面的关系决定

7、：，结果为以上的环形狭缝场强度分布如式（6）所示，表明它是调制中的方位坐标，在这个函数中的。因此,强度的最大值和最小值排列在环形狭缝的圆周上，这个数值是偏振模式指数两倍。经历了强度分布的角旋转，环形狭缝场在近场沿（P1）Z轴传播，由下式给出：图3。（颜色如图）（a）密度图（b）描述式 （3）中环形狭缝截面图用来描述下列参数：环缝半径，R0=2，环缝宽度，= 0.5，和梯度，n=10（单位是任意的）。在环缝的领域，纵向传播波矢和都在平行于z轴的同一方向传播，在图 1显示。这导致环缝场传播中形成无角旋转， 在确定在该区域的P2场，在该区域从近场过渡到远场，菲涅耳衍射场

8、积分在该领域的环形狭缝（式（4）被计算为：被称为产生贝塞尔 - 高斯函数14,15。每两个环形狭缝（内有方位模式指数和外指数-）将促进贝塞尔 - 高斯光束并导致P2区域光束的叠加可以被描述为：函数和代表的光束的大小，曲率半径和Gouy相位，分别取标准的高斯光束的传播形式。 是阶贝塞尔函数和表示横向波数，与两个贝塞尔光束中的每一个相关联，就是1和2，被确定为如下：。 同样，在区域P2的强度可确定以下的关系：（这里已忽略，方程是非常麻烦），角旋转结果为：在这个区域的波矢都指向相反的方向产生一个非零的旋转速度。然而，只有剖面遇到此角旋转的领域才是剖面其中包括来自两个环形

9、狭缝的贡献，这直观地表示：其中包括绿色和红色光路两个部分。作为该领域的向远场（P3）的进一步传播，在该区域的重叠，包括环缝的贡献，增加，导致角旋转变得更加明显。 要确定远场的环形狭缝（P3），其传输函数在式 （1）中给出，使用基尔霍夫惠更斯衍射积分从内部和外部环缝的贡献产生以下的叠加，它描述了远场的环形狭缝9叠加的贝塞尔领域的强度由下面的关系确定：,导致由于圆环产生叠加贝塞尔光束任意薄，彼此接近，我们可以假设横向波数是等效的（即），导致。通过实施贝塞尔函数标识; 式 （14）中强度。可以简化为在上述方程 （15）中给出的叠加的贝塞尔光束强度分布，说明它是在调制方位

10、坐标，来自函数。因此，强度极大值是两个阶贝塞尔光束的两倍，导致一个阶贝塞尔光束的叠加，由它的镜像，产生强度模式有2的强度极大，或者“花瓣形”。从周长的角度给出的贝塞尔圆环的设定。这种强度分布经历一个角旋转，作为该领域沿Z轴的传播，给出由于纵波矢量都在远场以不同方向传播并且区域的贡献在两个环形狭缝完全重合（明显图1），角旋转非零，P3整个域经历旋转。3实验方法使用实验装置产生的叠加高阶无衍射贝塞尔光束，研究近场环形狭缝，在图 4表示叠加贝塞尔光束通过照射产生一个环形狭缝全息图（给出一个例子LCD1图4）扩展的高斯光束（波长532纳米）。高斯光束通过一个3×望远镜扩大并指示上的

11、SLM（LCD液晶显示器）（HoloEye，冥王星可见，有1920×1080像素，其间距8微米，标准化的532 nm 范围内2的相移校准）标记LCD1。液晶编址全息图，类似Durnin的环形狭缝12，但因为只使用一个相位的同步线路模块，一个幅度环缝数字编码区域周围的环缝（这个区域不能传输任何光线）通过“棋盘”的格局，通过分配在环缝全息像素交替集相位值是由，光相位从LCD1反映，从它最初的传播轴16,17 分散显示。由于“棋盘”允许一个模拟的幅度遮罩与一个只有相位的同步线路模块，内方位相位环缝，可以同时在一个单一的全息图编址。与不同的方位相分配一个单一的环缝从0到次，n阶贝塞

12、尔光束将形成远场衍射，如果分为两个环形狭缝，其中环缝在每个环缝的方位相位在相反的方向变化（类似图1和4）两个叠加会产生相反两手贝塞尔光束。这说明在傅立叶平面P3，给出环缝的全息图图4，在这里，在内环缝的相位变化三次顺时针方向（）和在环缝外面的3个逆时针方向（），因此，把一个初始的高斯光束转变成 两个贝塞尔光束的叠加，阶次为和， 记为“花瓣”结构（P3图4）。环缝全息更多的例子在图 5最上方一行。它不会显示在全息图，呈现在图 4和5，但进行的实验中，闪耀光栅添加到全息来分离的非绕射的和衍射的组成部分从LCD1反映。隔膜D被贴在在焦平面L3的后镜片，只选择第

13、一衍射阶次和忽略所有其他不需要的衍射阶次。除了傅里叶变换面P3上的定位10×物镜和CCD相机 L3的的镜头，来记录的非衍射叠加贝塞尔光束，第二个镜头L4，被放在一个焦距远离傅立叶平面的镜头L3的区域，来传递P1区域中LCD1，这使得我们调查在远场（在P3所示）产生环缝场（显然在P1）的“花瓣”形状的结构。传播环缝场，传递平面 P1，通过固定一个CCD相机在光路轨道和记录从平面P1到平面P2（两个镜头L4焦距的距离）来研究。 在本文的“结果”一节，我们将调查在三个不同的平面区域（P1，P2和P3）来研究各种环形狭缝全息图，以及研究从平面P1到平面P2的一个特定的环缝全息图的演

14、变。方便起见，我们将参照傅里叶变换环缝的全息图（即，在平面P3上形成的区域）的“花瓣”场。在环缝全息（即，平面P1区域），我们将把“奇点”场形成的平面P2（镜头L4焦距的两倍长的一段距离）叫做“螺旋”场。4.结果分析与讨论所有的数字环缝全息图，在实验中被使用（描绘如图 4），在图 5第一行给出。第一环缝全息，图 5（1a），包含一个单一的包含方位角相位的环缝，并具有以下尺寸（像素）：。接下来的五个环缝全息图，图5（1b）5（1f），由两个环形狭缝组成，有着相反的不同方位角相位，分别是不同的方位阶次到（到）。在环缝全息图 5（1b）5（1f）每个有以下尺寸

15、（像素）：最后两个环形狭缝全息图图 5（1g）和5（1h）被分为三，四个环形狭缝，分别有以下方位阶次和。图4（颜色如图）该调查形成了一个环形狭缝全息图，以及传播领域的实验装置和该区域傅里叶变换示意图。 L：镜头（）;M：反射镜；LCD：液晶显示器，D：隔板;；CCD：CCD相机。有用的平面被标记为P1，P2和P3。P3是环缝全息傅立叶平面,；P1是在环缝全息图的过渡平面（包括相位和幅度）;而P2 在L4后2f距离。图5（颜色如图）第一行：LCD1的环缝全息。放大的三，四节环缝被描绘为插入（1g）（1h）的截面。第二和第三行：生产实验和理论上分别计算产生于傅立叶平面

16、的区域（即P3的平面）。第四和第五行：实验和理论研究领域，分别在平面P1（即“奇”领域）产生。白色的“X”标志着奇。第六和第七行：实验和理论研究领域，分别产生于平面P2（“螺旋”领域）。在图5（1g）和5（1h）中，环形狭缝的尺寸（像素）分别是：，和。远场环缝全息，在图 5的第一行，如图5第二行所示。 伴随着第三行中的理论预测计算使用式 （13）。对于一个单一的环缝，含有方位指数，在产生傅立叶平面P3的领域，是一个三阶贝塞尔光束。此情况下，环缝全息图由两个环形狭缝，其中阶次的两个偏振相位是相等的，但方向手性相反，一个“花瓣”结构由此产生，这里的“花瓣”数由表示，正

17、如理论9 所预计。有趣的是，注意从以前的研究9,11，即使这些区域有全零的OAM，旋转横截面的强度分布旋转就像“花瓣”区域旋转一样，根据半波矢量。他们的旋转速度，依赖于不同的径向波矢和方位指数，如式 （16）所给出。在傅立叶平面P3产生环缝全息图，包含于图 5（1g）和（1h），并且由分别图5（2g）和（2h）分别给出。这两个环缝全息分别由三，四环形狭缝组成，并非对称叠加产生高阶贝塞尔光束。即使在这两种情况下难以直观的预测该区域如何体现在傅立叶平面上，我们的实验记录的区域（图5（2g）和5（2h）很好地在理论上计算出了该区域（图5（3g）和5（3h）。这两个区域是计算延长的

18、幅度分布，如式（13）给出，分别来代表三，四贝塞尔光束的叠加。图6。（颜色如图）（a）实验记录的领域，在平面P1的以下方位阶段组成为环缝：。理论预测作为一个插入来给出。红色虚线环，标志着强度分布绘制线。（b）固体黑色曲线是实验的强度分布而红色虚线是理论的强度分布，。图7。（颜色如图）捕获的该领域实验强度分布均匀分布在从平面P1到P2的平面的区间上。从平面出发P1的距离如下给出（a）0毫米，（b）10毫米，（c）20毫米，（d）30毫米，（e）40毫米，（f）50毫米，（g）60毫米和（h）70毫米白箭头说明是选定奇异点的运动。插入的白色小图片是给出的理论预言。在平面上产生的的环缝全息光场（即，

19、在LCD1平面）被传递到平面的P2，所有其他的衍射阶次已被隔膜D滤除，实验显示图像在图5第四行。有趣的是，当环缝处理用一个单一的方位不同阶段，没有奇点出现在环缝领域。然而，通过引入第二个环缝（有不同的径向波矢量）就会有奇点出现在环缝场，其中奇点用表示（相同的“花瓣”数）。实验中“奇异”的区域（图5（4a）-5（4f），在平面P1中产生，是在预测的好估计理论上，使用式 （4）（）来表示并用图5的第五行描述。 5（5a）-5（5f）。通过增加三个或四个环缝，它变得非常难单独定位在每一个 “奇点”，其中一些领域开始重叠。显而易见，有着实验中图 5（4g）和5（4h），理

20、论上图 5（5g）和5（5h）的黄色环。因为它是很难找到的“奇异”场的奇点，环缝的数量增加时，我们建议使用干涉测量技术，以帮助分类该奇点18。这是众所周知的，“花瓣”场强度可以用函数式来表示，显见于式 （15）。这个余弦式，作为一个方位角的函数，强度分布也存在于这个“奇点”区域。这在图6中易见，此处的强度分布，作为一个角度位置的函数，用以绘制“奇点”区域，在这两种情况下和。它很好地与绘制在理论上预测强度分布吻合，如在式（6）给出，这说明近场和远场强度极大都决定于函数。图8。（颜色如图）第一列：环缝全息应用于LCD1。第二列：环缝的相应光学领域。白色箭头标出奇点的位置。第三列

21、：傅里叶变换的环缝全息。第四列：对应平面P2的“螺旋”场，。白色箭头标记手性的“辐条”。理论预言的图像都作为伴随被插入。图9。 （颜色如图）包含此区域傅里叶变换前后的图像的实验影像短片，传入“螺旋”场P2的平面领域（媒体1）该区域传播一个焦距的距离，从平面P1到平面P2。我们看到的环形结构，其中包含奇异变换成“螺旋”。实验场在平面P2产生的领域为每个八环缝全息如图5第六行所给出，并伴随着在第七行的理论预言。在一个单一的情况下，环缝有一个非零的方位模式的指数，“螺旋” 区域显示一个“奇”场不同的版本。五个全息图，每个由两个环形狭缝，有着相反的方位角指数，在“辐条” 

22、场有 个“螺旋”，在图 5（6b）-5（6f）中易见。引进更多环缝到“螺旋”的“辐条”合并场得全息结果中，使其难以解决单个的“辐条”（在图5（6g），5（6h），5（7g）和5（7h）的黄色环内尤为明显）。“奇点”在平面P1传播到“螺旋”场（平面P2）被记录下，选择实验图像的间隔沿其传播领域图 7。有趣的是，即使在旋转（在附近的“花瓣”场强度分布平面P3，即远场）存在的“花瓣”场传播，没有“奇场”或“螺旋式”旋转场（即近场）存在的领域传播。这是按照理论预测式（8），这样一个区域的旋转速度被确定是不存在的，但变得更加明显地接近区域传播到远场。在两个环形狭缝中转换方位角相位的手

23、性，被称为“花瓣”的领域，造成傅立叶平面P3，在相反的方向旋转10。平面的P2中的 “螺旋”的区域，即使在传播中不旋转，交换在方位角相位中的手性（在两个环形狭缝），结果“辐条”从顺时针方向转为逆时针的方向（反之亦然）。这是显而易见的，在图 8最后一列，与理论预测保持高度的统一性。除了从外观上研究不同环缝传播产生的全息平面，还研究了“螺旋”场远场（平面P2）并且如图 9所媒体剪辑。在磁场强度分布之前不旋转和之后非衍射的“花瓣”场的存在是显而易见的。“辐条”对传播轴压缩，重叠并形成非衍射的“花瓣”场，表现出其强度分布在传播时旋转，但随后的“辐条”向外扩张并且重建“奇点”区域。5

24、.结论在此研究中，我们已经提出了一类光束，其展现出它们的远场强度分布旋转，但没有在近场的旋转。这些就是光束叠加的高阶贝塞尔光束，它们是由编码产生的在不同径向位置有不同偏振相位的光束，在一个环形狭缝中。我们研究产生环形狭缝平面的区域，以及在不同平面中，环形狭缝出发的光束的传播，观测区域转变，从一个环状结构（包括奇点）到“螺旋”状结构，包括“辐条”坐落在周围一圈。平面上，在产生环形狭缝的区域，距离环缝f处，与计算的理论值较好吻合。由于贝塞尔光束，特别是叠加贝塞尔光束，被广泛应用于“光镊”技术，了解此区域在平面上的结构而非傅立叶平面是十分必要的。环缝领域，包括奇异点，可用于捕获低指数粒子，在圆周上的

25、指定距离上。通过调整叠加贝塞尔光束的指数，可以控制在环缝领域奇点数目，在捕获低指数微粒的时候。环形狭缝尺寸也可以调整，以控制环缝的大小进而改变奇点之间的距离。参考文献：1. M. W. Beijersbergen, L. Allen, H. E. L. O. Van der Veen, and J. P.Woerdman, “Astigmatic laser mode converters and the transferof orbital angular momentum,” Opt. Commun. 96, 123132 (1993).2. J. Arlt and K. Dholakia

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