Introduction_vectorandtensor(2)(1)

1、Advanced Transport Phenomena Dr W Wang 王维高等传递现象高等传递现象Brief introduction 1.What kinds of transport processes we will discuss?1) not public transport, not information transport. Alternatively they occur in chemical industry widely. They are momentum, heat and mass transfer.2) What is Momentum? Heat? M

2、ass?2.Why these three kinds of transport phenomena put together to learn?Several reasons: 1) they occur simultaneously同时同时 in chemical industry often, useful to solve real problems; 2) the mechanism is very similar or all most the same; 3) the math expressions for the three transport phenomena are s

3、imilar.3.The mechanisms of transport phenomena1) Diffusion扩散扩散: Molecular transport;2) Convection对流对流: Laminar flow 层流层流 and Turbulent湍流湍流 or eddy漩涡漩涡 transportVxxyVyxVxyVyAims at: to find velocity profile侧型，分布侧型，分布, temperature profile and concentration profile;to get heat transfer rate and mass tr

4、ansfer rate;to understand the stress acting on fluid or wall, to find friction loss摩擦损失摩擦损失 and pressure drop压降压降4.The aims of studying transport phenomena5. The method used in the study of transport phenomena Mainly mathematical method, differential equations微分方程微分方程, under the condition of underst

5、anding the physical background of a problem.6. Application and importance of transport phenomenathey widely exist in many industries or processes, not only in chemical industry, such as civil engineering土木工程土木工程, biotechnology, mechanical engineering, aviation and spaceflight航空航天航空航天; they are the i

6、mportant base or fundamentals for the knowledge structure of a chemical engineer; they are the key to set up a mathematical model or physical model for a process with fluid flow or heat transfer or mass transfer.1)The knowledge of transport phenomena can be used to give reasonable explanations to yo

7、ur experimental phenomena.7. The developing history of the courseThree times integration概括，综合概括，综合 1890sTechnology courses: sugar technology, fertilizer technology.1920sMITUnit operation19401950sMIT Fluid flow heat transfer mass transfer1960WisconsinTransport phenomena8.New application of transport

8、phenomena in biotechnology1) new bioreactor technology2) tissue engineering组织工程组织工程 (cultured engineered tissue, preservation process of the tissue)3) Micro-encapsulation微胶囊化微胶囊化 of cellsTextbook:Bird R B, Stewart W E and Lightfood E N, Transport phenomena, second edition, 2002, John Wiley & Son

9、s, Inc. Reference books:1 沙庆云 主编，传递原理传递原理，2003，大连理工大学出版社 Reference books:2 Welty J., Wicks, C. E., Wilson, R. E., Rorrer, G. L., Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer, 2000, Wiley Reference books:3 Robert S Brodkey and Harry C Hershey, Transport Phenomena: A Unified Approach, 1988, McGra

10、w-HillReference journalsAIChE Journal, WileyChemical Engineering Science, Elsevier ScienceReference journalsIndustrial & Engineering Chemistry Research, ACSChemical Engineering Technology, WileyReference journalsSeparation and Purification Technology，Elsevier ScienceJournal of membrane Science,E

11、lsevier ScienceCourse Requirements Attending classes Paying attention to all classes Taking notes Completing assignmentsYour grade: 70% from final exam; 30% from attendance and assignments.The pre-knowledge 矢量和张量表示方法 矢量和张量表示方法 在传递现象的理论中所遇到的物理量的类型:标量标量：如温度、能量和时间等； 矢量矢量：如速度、动量和力等；二阶张量二阶张量：如剪切应力等。 标量，矢

12、量和张量的符号表示法：标量：；矢量：；张量标量：；矢量：；张量： 矢量和张量的几种乘法运算：点积；：双点积；叉积； 并积 运算结果的类型表示法：（）标量；矢量；张量标量；矢量；张量只有大小的量既有大小又有方向的量一组有序数组；有大小，具有一个方向同时又拥有另一个方向的量。事实上 , 标量可以认作零阶张量 , 矢量可认作一阶张量。 sv 如果括号内只含有加法和减法运算 , 括号的类型就无特别意义。 矢量和张量表示方法 运算结果的类型判断： 标量代数中的几个定律：交换律：rs=sr结合律：(qr)s=q(rs)分配律：s(p+q+r)=sp+sq+sr 矢量和张量作类似运算时，上述定律不一定成立。

13、乘法符号结果的阶数无：124二个标量相乘与次序无关三个标量连乘与次序无关一个标量乘以三个标量的和，先加后乘与先乘后加一样矢量运算的几何表示 矢量的大小定义：二个矢量相等：大小相同, 方向亦相同。不一定同线，亦不一定同原。如果大小相同，但方向相反，则 矢量的加法和减法：交换律：结合律：矢量和张量表示方法 vwvwvv+wwvv-w)()(vwwv)()(uwvuwv 矢量和标量的乘法：仍为一矢量 , 大小改变 , 但方向不变。 交换律：结合律：分配律： 二矢量的点积（标量积）： 定义： 交换律： 结合律（不成立）： 分配律：矢量运算的几何表示 矢量和张量表示方法 svvsvrsvsr)()(vs

14、vrvqvsrq)(vwvwwvcos)()()(uvvu)()(wvuwvu)()()(wuvuwvuwv)(wv 二矢量的叉积（矢量积）：定义： 交换律（不成立） ： 结合律（不成立） ： 分配律： 多重矢量积：上面几种乘法的组合矢量和张量表示方法 矢量运算的几何表示 vwvwnvwwv)sin(vwwvwvuwvuwvwuwvuwvwv 是单位矢量，与二矢量组成的平面垂直，符合右手螺旋法则。矢量积的大小等于二矢量组成的平行四边形面积。0 vvvrs)(wvswvs)(wvuwvu)(zwvuzwvu 只限于直角坐标系；以1, 2, 3标记坐标轴，对应于x, y, z。两个重要符号： 克罗

15、内克符号(Kronecker delta): if i=j if ij 交错单位张量符号(Permutation unit tensor symbol): if ijk=123, 231, or 312 if ijk=321, 132, or 213 if any two subscripts are the same矢量和张量表示方法 矢量运算的解析表示 1ij0ij1ijk1ijk0ijk 在求证矢量等式关系时 , 三个有用的关系式：矢量和张量表示方法 矢量运算的解析表示 jkihhjkijk2kjminjnimmnkijkkjiijkijkaaaaaaaaaaaa321333231232

16、221131211 矢量及其大小的定义：单位矢量 一矢量可以用其在座标轴1,2,3上的投影v1,v2,v3来描述。此一矢量可以解析地表示为： 矢量和张量表示方法 矢量运算的解析表示 31332211iiivvvvv123v1v2v3v 分别是在座标轴1,2,3方向上的单位矢量。i我们在下面的讨论皆限于右手系座标轴。矢量运算的解析表示 矢量的大小定义：单位矢量具有以下性质：归纳为：矢量和张量表示方法 iivvvvv22322210)()()(1)()()(133221332211231123312213132321332211;0ijji)(如果v1=w1, v2=w2, v3=w3, 则：如果

17、v1=-w1, v2=-w2, v3=-w3, 则：wvwv31kkijkji利用这两个关系式，可以推出所有常用的点积和叉积运算的解析表达式。 矢量的加法和减法： 矢量和标量的乘法： 二矢量的点积（标量积）：矢量运算的解析表示 矢量和张量表示方法 iiiiiiiiiiwvwvwv)(iiiiiisvvsvs iiiijijijijijjiijjjiiwvwvwvwvwv)()()(相当于每一轴上的分量相加，以这些新的分量构成一个新的矢量。相当于矢量的每一分量与该标量的相乘构成一个新的矢量。把每一个矢量以其分量写出 , 然后作单位矢量的标量积运 算。 二矢量的叉积（矢量积）： 多重矢量积： 矢量

18、运算的解析表示 矢量和张量表示方法 321321321)(wwwvvvwvwvwvwvijkjkiijkjkjkkjjkkkjj 321321321)(wwwvvvuuuwvuwvuwvukjiijkijkiii 利用上面介绍的标量积和矢量积的解析表达式，可以得出多重矢量积的解析表达式。该三重矢量积为平行六面体的体积。 的第i分量为： jkjkijkwvwv矢量微分算符(Hamilton operator)： 标量场的梯度(Gradient)： 交换律（不成立） ：结合律（不成立） ：分配律：矢量的微分运算 矢量和张量表示方法 iiixxxx332211iiixsxsxsxss332211ss

19、)()(rssrrsrs)(直角坐标系的定义。称为：del。是一矢性算符，它与矢量一样, 具有三个分量, 但不能单独存在，必须作用于一个标量、矢量或张量来运算。 矢量场的散度(Divergent)：交换律（不成立） ：结合律（不成立） ：分配律：矢量和张量表示方法 矢量的微分运算 iiijiiiijjiiijijjjiiixvvxvxvxv)()()()(vv)()(vsvs)()()(wvwv 矢量场的旋度(Curl or Rotational)：矢量和张量表示方法 矢量的微分运算 211231331232231321321321)(xvxvxvxvxvxvvvvxxxvxvxvkjjkkj

20、kkkjjj与散度一样，旋度满足分配律，不满足交换律和结合律。 标量场的拉普拉斯算符(Laplacian operator)： 矢量和张量表示方法 矢量的微分运算 iiiijiijjjjiiisxxsxxsxs22)(2322222122xxx与梯度，散度和旋度一样，拉普拉斯算符只满足分配律，不满足交换律和结合律。 矢量场的拉普拉斯算符：在直角座标系中，算符亦可作用于一矢量场，即对标量分量求导，并作矢性加和。 矢量场的拉普拉斯算符定义：以这种方法表示，运算就可变成一系列包括梯度、散度和旋度的运算。上式所给的定义可得到直角座标系下的表达式，也能很容易求得曲线座标系下的表达式。矢量和张量表示方法

21、矢量的微分运算 32322212122vvvvviii)(2vvv 定义和符号：张量转置：二个矢量的并矢积： 矢量和张量表示方法 二阶张量 332313322212312111332313322212312111wvwvwvwvwvwvwvwvwvwv对每个元素的二个下标变换后所得的一个张量。二阶张量有用九个分量。下标相同的元素称为对角元素，而下标不同的元素为非对角元素。如果 12=21, 13= 31 和23=32，那么该张量称为对称张量。 不要把张量和矩阵或行列式相混淆，矩阵只是一个有序的数组, 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 333231232221131211二个矢量的并矢积

22、是二阶张量的一个特殊形式, 它的分量是该二矢量的分量之积。并矢积是把两个矢量紧挨着写出，不带任何一种乘法符号。单位张量：单位并矢量：等九个。矢量和张量表示方法 二阶张量10001000100000000111000000010210000001003100000100012对角元素为，而非对角元素为。单位张量的分量为克罗内克符号；单位张量的每一行（列）分别是三个单位矢量的三个分量。正好是单位矢量的并矢积。即两个克罗内克符号的乘积。张量或并矢量的解析（分量）表达式：单位并矢量间或它们与单位矢量的相乘，有四个关系式： 二阶张量矢量和张量表示方法 ijijjiijjijiwvwviljklkji:jkikjikijkjilijklkji第一个公式是连续作两次点积运算；后三个公式是简单地对点积二边的单位矢量作点积运算 。今后用到的所有的张量和并矢量的公式都是从上面四个基本关系 式推导而