三种常用的正交坐标系程

1、张量分析张量分析南京工业大学南京工业大学 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标

2、变量。张量分析张量分析南京工业大学南京工业大学1、直角坐标系、直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd y

3、dxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd张量分析张量分析南京工业大学南京工业大学2、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量张量分析张量分析南京工业大学南京工业大学ddsinddd2relleSrrrdd dsin d drSelle rrdddddrrelleSr3、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和

4、体积元, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量张量分析张量分析南京工业大学南京工业大学4、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆单位

5、圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree 第四章第四章 摩擦摩擦已知已知: :（1）圆柱坐标系如图（）圆柱坐标系如图（a），），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（）球坐标系如图（b），）， r =x1， =x2， =x3。x3O x2 x1 z rx3O x2 x1 r 求：两种坐标系中：求：两种坐标系中：（1）gi 通过笛卡儿基通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。的表达式，画出简图。（2

6、）求）求 gi，说明，说明 gi 和和 gi 的大小与方向有何关系。的大小与方向有何关系。（3）由）由 gi 求求 gij，gij， 。2dr推导过程（见黄克智张量分析第二版习题推导过程（见黄克智张量分析第二版习题1.13） 第四章第四章 摩擦摩擦解：解：（1） kjigkjigkjig333231323222121312111xxxxxxxxxxxxxxxxxx圆柱坐标系：圆柱坐标系： 33212211sinsincoscosxzxxxrxxxrxkgjigjig321212221cossinsincosxxxxxxx3O x2 x1 z rg1g2g3 第四章第四章 摩擦摩擦jigkjig

7、kjig3213213213213212232321cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinxxxxxxxxxxxxxxxxxxx球坐标系：球坐标系： 21332123211coscossinsinsinsincossincossinxxrxxxxrxxxxrxx3O x2 x1 r g1g2g3kjigkjigkjig333231323222121312111xxxxxxxxxxxxxxxxxx 第四章第四章 摩擦摩擦（2）圆柱坐标系：圆柱坐标系：321213321132321321,gggggggggggggggggg rrrrrkkkkjiji

8、gggggg22321321sincoscossinsincos11cossincossin1gijkjigrrr2221sincos1sincos1gijjikgrrr 3223sincoscossinsincos1gkkkjijigrrr 第四章第四章 摩擦摩擦球坐标系：球坐标系： sincossinsinsincossinsinsincossincossinsinsinsincoscoscossinsincossincossincossincossincossincossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossin222222222321321rrrrrr

9、rrrrrrrrrrrrrrjijijiijikjkjikjikjigggggg 第四章第四章 摩擦摩擦1222221cossinsincossincossinsinsinsincossincoscossinsin1cossinsinsinsinsincoscoscossin1gkjiijkkjikjigrrrrrr222222221sinsincoscoscos1coscossincossinsincossinsinsinsin1cossinsincossincossinsinsinsin1gkjiikjkkjijigrrrrrr 第四章第四章 摩擦摩擦3222223sin1cossinsi

10、nsinsin1cossinsin1gjijigrrrrrrr（3） 332313322212312111332313322212312111ggggggggggggggggggggggggggggggggggggijijggjiijjjiixxgxxddddddd2ggrrr 第四章第四章 摩擦摩擦圆柱坐标系：圆柱坐标系： 100010001,1000000122rgrgijij222222dddddd10000001ddddzrrzrrzrrx3O x2 x1 z rddrdzrdr 第四章第四章 摩擦摩擦球坐标系：球坐标系： 222222sin100010001,sin0000001rr

11、grrgijij2222222222dsindddddsin0000001ddddrrrrrrrrx3O x2 x1 r dddrdrr 第四章第四章 摩擦摩擦1.16 已知：圆柱坐标系中已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。利用题利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi 。解：解： jijigvv（1）圆柱坐标系）圆柱坐标系3221321232110000001vvrvvvvrvvv（2）球坐标系）球坐标系3222132122321sinsin0000001vrvrvvvvrrvvv 第四章第四章 摩擦

12、摩擦1.17 求：题求：题 1.13 所示圆柱坐标和球坐标所示圆柱坐标和球坐标 xi，与笛卡儿坐标，与笛卡儿坐标 xj的转换系数的转换系数 。与与jiij解：解： 1,jiijijijjixx圆柱坐标系：圆柱坐标系： 33212211sincosxxxxxxxx1000cossin0sincosrrji1000cossin0sincosrrij 第四章第四章 摩擦摩擦球坐标系：球坐标系： 21332123211cossinsincossinxxxxxxxxxxx0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrrji0sincossincossinc

13、ossinsinsinsincoscoscossinrrrrrij 第四章第四章 摩擦摩擦1.18 （1）已知）已知: :笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：圆柱坐标中求：圆柱坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。（2）已知）已知: :笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v 的分量为的分量为v1，v2，v3；求：球坐标中求：球坐标中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。解：解： jjiijijivvvv,（1）3213213332312322211312113211000cossin0sincosvvvrrvvvvvv（2） 321321332313322212

14、3121113210cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinvvvrrrrrvvvvvv 第四章第四章 摩擦摩擦1.19 试求线元试求线元 dxk 的长度的长度 dsk 。解：解： kkkkkkkkkkkxgxxsdddddddggsss1.20 试求线元试求线元 dxk 与与 dxl 的夹角的夹角kl 。解：解： l lkklkll lkkkllkklklkklgggxgxgxxddddddddcosggssssl lkklkklggg1coskkkkxddd31gsrkkkxddgs 第四章第四章 摩擦摩擦1.38 在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为在笛卡儿坐标系中，各向同性材料的弹性关系为 3131221133332323113322221212332211111,11,11,1EEEEEE （1）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数）利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。运算等式，写出其实体形式，说明等式中各阶张量的阶数。 （2）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。）将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。 （3）写出任意坐标系中的协变分量）写出任意坐标系中的协变分量Dijkl 用用E， 及度量张