定积分的计算

1、1dxxx 10221计计算算例例1解解莱莱布布尼尼兹兹公公式式，再再利利用用牛牛顿顿先先求求 dxxx221 tdttdxxxtx22sin22cossin1令令dtt 2sin412 dtt)4cos1(81Ctt )4sin41(81Ctttt )sin21(cossin812t1x21x Cxxxx )21(1arcsin812210221022)21(1arcsin811xxxxdxxx 16)02(81 20 2dxxx 10221计计算算例例2解解txsin 令令1 x,2 t0 x则则, 0 t于是有于是有 20221022cossin1 tdttdxxx20)4sin41(8

2、1 tt 16 36.5-6.6 6.5-6.6 定积分的计算方法定积分的计算方法定积分的换元积分法定积分的换元积分法一.一.dxxfba )(:)(,)(满满足足下下列列条条件件而而设设txbaCxf 且单调；且单调；,)()1( Ct ；，ba )()()2( ,)()3( Ct 则有换元积分公式：则有换元积分公式：dtttftx )()()(4证证)()()(aFbFdxxfba )( tF 又又)()(ttF )()(ttf )()()()( FFdtttf )()(aFbF dtttfdxxfba )()()(从从而而有有5应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（3）（4）dxx

3、fba )(dtttftx )()()(（2）换元法，换元法，相当于不定积分的第二相当于不定积分的第二公式从左到右使用时公式从左到右使用时,.,换换元元法法相相当当于于不不定定积积分分的的第第一一从从右右到到左左使使用用时时)(倒变换等倒变换等三角变换，根式变换，三角变换，根式变换，（1）,)(baCxf 公式使用的条件：公式使用的条件：6例例1 1 计算计算 205sincos xdxx解解1 令令,costx 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincos xdxx 015dtt1066t 61 105dttdtxdx sin.)(,，则积分限不变，则积分限不变而没有正式引入新变量而

4、没有正式引入新变量第一换元法第一换元法若直接使用凑微分法若直接使用凑微分法在积分时在积分时注注解解2 205205coscossincos xxdxdxx2066cos x 61 7例例2 2 计算计算 aadxxa022)0(解解,sintax 令令ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022cos dtta 202)2cos1(2 dtta202)2sin21(2 tta 241a xy0a8例例3 3 计算计算解解 aadxxax022)0(1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincos dt

5、tatata 20cossincos dtttt 20cossinsincos121 dttttt 20cossinln21221 tt 4 2020cossin)cos(sin2121 ttttddt9证证 0)(adxxf 0)(adttf adxxf0)(),()(xfxf aaadxxfdxxf0)(2)(,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf aaadxxfxfdxxf0)()()( adttf0)(10奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解 112211cos2dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx

6、10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx 4单位圆的面积单位圆的面积11例例5 5 计算计算 2121dxxex解解)1(2112121xdedxxexx 211xe ee 222122ln032ln02sinsin)4(1)3(1)2()1()1( xdxxdxxxdxedxeexxx465 t 22 34 33 计算下列定积分计算下列定积分练习练习作业：作业：p267 5（偶数）、（偶数）、6(偶数偶数)12 432)ln(1ln2eexxd例例6 6 计算计算解解 43)ln1(lneexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd

7、43)ln1(ln)(lneexxxd 43)lnarcsin(2eex 6 13dxxfba )(dtttftx )()()(定积分的换元积分法定积分的换元积分法一.一.dxxx 401dxeexx 3ln2ln13ln2 23ln21 14证证 ,vuvuuv babauvdxuv )(且且 bababadxvudxvuuv bababavduuvudv即即定积分的分部积分法定积分的分部积分法二.二.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 指数函数指数函数三角函数三角函数幂函数幂函数留下幂函数留下幂函数 对数函数对数函数反三角函数反三角函数幂函数幂函数 对数函数对数函数反三角函数反三角函

8、数留下留下 bababavduuvudv15例例1 1 计算计算 210arcsin xdx解解 210arcsin xdx 210210arcsin|arcsinxxdxx 21022101arcsinxxdxxx621 )1(112122102xdx 12 21021x 12312 16例例2 2 计算计算解解 102)2()1ln(dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx 3ln2ln35 17例例3 3 计算计算解解 402cos

9、1 xxdx 402cos1 xxdx 402cos2 xxdx xdxtan240 40tan21 xx xdxtan2140 40secln218 x 42ln8 4022sec xdxx18例例4 4 计算计算 102dxexx解解 102dxexx 102xdex 101022dxxeexxx 102xxdee 101022dxexeexx1022xeee 222 eee2 e19例例5 5 计算计算 20sin xdxex解解 20sin xdxex 20sin xxde 2020sinsin xdexexx 202cos xdxeex 202cos xxdee 20202coscos xdexeexx 202sin1 xdxeex)1(21sin220 exdxex20计算下列定积分计算下列定积分练习练习 102101123)1ln()3()2(cos)1(dxxdxexdx