高中数学教参——对数函数

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3.知道对数函数是一类重要的函数模型.1.以对数运算法则为依据，考查对数运算、求函数值、对数式与指数式的互化等2.以考查对数函数的单调性为目的，考查函数值的大小比较、解简单的对数不等式等，如2008年高考T20,2011年高考T2. 3.以对数函数为载体，与导体相结合考查函数的综合性质.归纳 知识整合1对数的定义 一般地，如果a(a>0，a1)的b次幂等于N，即abN，那

2、么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算(1)对数的性质(a>0且a1)：loga10；logaa1；alogaNN.(2)对数的换底公式：logab(a，c均大于零且不等于1)(3)对数的运算法则：如果a>0且a1，M>0，N>0，nR那么loga(M·N)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM.探究1.试结合换底公式探究logab与logba，logambn与logab之间的关系？提示：logab；logambnlogab.3对数函数的图象与性质a>10&

3、lt;a<1图象定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0探究2.对数logab为正数、负数的条件分别是什么？提示：当或时，logab为正数；当或时，logab为负数3如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？提示：图中直线y1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，0<c<d<1<a<b，在x轴上方由左到右底数逐渐增大，在x轴下方

4、由左到右底数逐渐减小自测 牛刀小试1(2012·安徽高考)(log29)·(log34)_.解析：log292log23，log342log32，原式4log23×log324.答案：42(教材习题改编)函数y的定义域为_解析：要使函数y有意义，则需log0.5(4x3)0，即0<4x31<x1.答案：3(教材习题改编)不等式log0.3(2x1)<log0.3(x5)的解集为_解析：函数ylog0.3x为减函数，即2<x<5.不等式的解集为x|2<x<5答案：x|2<x<54(2009·江苏高考)已

5、知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.解析：Ax|0<x4，B(，a)若AB，则a>4.即a的取值范围为(4，)，c4.答案：45设2a5bm，且2，则m_.解析：由2a5bm，得alog2m，blog5m，又2，即2，2，即m.答案：对数式的化简与求值例1(1)计算：log3log54log210(3)7log72；2(lg)2lg·lg 5.(2)已知loga2m，loga3n，求a2mn.自主解答(1)原式log3·log52log210(3)7log72·log5(1032)·log55

6、.原式lg(2lglg 5)lg (lg 2lg 5)|lg 1|lg ·lg(2×5)1lg 1.(2)loga2m，loga3n，am2，an3.a2mna2m·an4×312.保持本例(2)条件不变，求loga24的值解：loga24loga3loga8loga33loga2n3m. 对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算1求解下列各题：(1)lg lg

7、 lg_；(2)若3a2，则2log36log316_；(3)已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm24，logym40，logxyzm12，则logzm的值为_解析：(1)lglglg×(5lg 22lg 7)×lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(2×5).(2)因为3a2，所以alog32.故2log36log3162(log33log32)log3242(1a)4log3222a4a22a.(3)由已知可得logmx，logmy，logm(xyz)，于是logmzlogm(xyz)

8、logmxlogmy，故logzm60.答案：(1)(2)22a(3)60对数函数的图象及应用例2已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a1、b、1三者的大小关系是_自主解答令g(x)2xb1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)logag(x)是单调递增的，所以必有a1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于1和0之间，即1f(0)0，所以1logab0，故a1b1.答案a1b1由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式

9、以及其中所含参数的取值范围2已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为_(填写“正数”或“负数”)解析：由题意知，x0是函数yx和ylog3x的图象交点的横坐标，因为0<x1<x0，由图知，x1>log3x1，所以f(x1)的值恒为正数答案：正数3设a，b，c均为正数，且2aloga，blogb，clog2c，则a，b，c从小到大的排列是_解析：如图，在同一坐标系中，作出函数yx，y2x，ylog2x和logx的图象由图象可知a<b<c.答案：a<b<c对数函数的性质及应用例3已知函数

10、f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由自主解答(1)a>0且a1，设t3ax，则t3ax为减函数，x0,2时，t最小值为32a.当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0，即a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t3ax，a>0，函数t(x)在R上为减函数f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数a>1，x1,2时，t(x)最小值为

11、32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在若将本例中“3ax”改为“ax1”，试讨论f(x)的单调性解：要使函数f(x)loga(ax1)有意义，则ax1>0.当a>1时，由ax1>0，得x>0；当0<a<1时，由ax1>0，得x<0.当a>1时，函数的定义域为x|x>0；当0<a<1时，函数的定义域为x|x<0任取x1<x2(，0)(0，)，则f(x1)f(x2)loga(ax11)loga(ax21)loga.当a>1时，0<ax11<ax21，0<<1.lo

12、ga<0，即f(x1)<f(x2)；当0<a<1时，ax11>ax21>0，>1.loga<0，即f(x1)<f(x2)函数f(x)loga(ax1)(a>0，a1)为单调增函数 利用对数函数的性质研究对数型函数利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的4(2012·上海高考改编)已知函数f(x)lg(x1)(1)若0<f(12x)f(x)<1，求x

13、的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)f(x)，求函数yg(x)(x1,2)的解析式解：(1)由得1<x<1.由0<lg(22x)lg(x1)lg<1得1<<10.因为x1>0，所以x1<22x<10x10，解得<x<.由得<x<.(2)当x1,2时，2x0,1，因此yg(x)g(x2)g(2x)f(2x)lg(3x)即函数yg(x)(x1,2)的解析式为g(x)lg(3x)，x1,24种方法解决对数运算问题的方法解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质常用的方法有：(1)将真

14、数化为底数(或已知对数的数)的幂的积，再展开；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.3个基本点对数函数图象的三个基本点解决对数函数的图象问题，应关注三个基本点：(1)当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”(2)对数函数ylogax(a>0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限(3)底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系2个应用对数函数单调性的应用(1)比较对数式的大小

15、：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较(2)解对数不等式：形如logax>logab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式. 数学思想利用数形结合思想求解对数不等式问题中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合“数”与“形”反

16、映了事物两个方面的属性我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应法则，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的典例(2012·新课标全国卷)当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是_解析0<x，4x>1.又4x<logax，a(0,1)则函数y4x与ylogax的大致图象如图所示只需满足loga>2即可，解之得a>，<a<1.答案(1)解决本题的关键是在同一

17、个坐标系内正确画出函数y4x及ylogax的图象(2)运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循以下三个原则：等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转化必须是等价的，否则解题将会出现漏解双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，避免代数问题进行几何分析时出错简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围1已知函数f(x)|lg x|.若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是_解析：f(x)|lg x|的图象如图所示，由题可设0<a&l

18、t;1，b>1，|lg a|lg a，|lg b|lg b，lg alg b，即b，aba>2(ab)答案：(2，)2不等式logax>(x1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为_解析：不等式logax>(x1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1，其整数解集为2,3,4，则应满足得a<.答案：， )一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1若a>0，a，则loga_.解析：a，logalog2.loga2，即loga3.答案：32(2011·江苏高考)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析：由题意知，函数f(x)l

19、og5(2x1)的定义域为，所以该函数的单调增区间为.答案：3(2013·金陵中学期中)f(x)log2值域_解析：令u，所以ylog2u.答案：4在同一坐标系中，三个函数ylogax，ylogbx，ylogcx的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系是_解析：在图象上作出直线y1，则它与图象的交点的横坐标即为相应的a，b，c，从左向右依次为b，c，a.所以acb.答案：acb5已知函数f(x)lg ，若f(a)b，则f(a)等于_解析：易知f(x)的定义域为(1,1)，则f(x)lg lg f(x)，f(x)是奇函数f(a)f(a)b.答案：b 6(2012·重庆高考)已

20、知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_解析：alog23log2log23log23>1，blog29log2log23log23>1，clog32<log331，故ab>c.答案：ab>c7(2012·苏锡常镇调研)写出一个满足f(xy)f(x)f(y)1(x，y0)的函数f(x)_.解析：由对数运算法则logaMNlogaMlogaN可以设f(x)logaxb，所以f(xy)logaxybf(x)f(y)1logaxlogay2b1，所以b1；若f(x)为常数函数，则f(x)1也满足要求答案：logax

21、1或18(2012·苏锡常镇调研)已知函数f(x)则f(log32)的值为_解析：因为log321，所以f(log32)f(log321)又log3212，所以f(log321)f(log322)3log.即f(log32).答案：9已知函数f(x)|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)f(n)，若f(x)在区间m2，n上的最大值为2，则m，n的值分别为_解析：f(x)|log2x|根据f(m)f(n)(m<n)及f(x)的单调性，知mn1且0<m<1，n>1.又f(x)在m2，n上的最大值为2，由图象知，f(m2)>f(m)f(n)，

22、f(x)maxf(m2)，xm2，n故f(m2)2，易得n2，m.答案：，210(2013·无锡月考)若函数f(x)log(a23)(ax4)在1,1上是单调增函数，则实数a的取值范围是_解析：首先由a230，可得a或a.当a时，函数g(x)ax4在1,1上是x的增函数，则需a231，故a2.又函数g(x)ax40在1,1上恒成立，故g(1)4a0，即2a4.当a时，函数g(x)ax4在1,1上是x的减函数，则需0a231，故2a.又函数g(x)ax40在1,1上恒成立，故g(1)a40，即2a.综上所述，实数a的取值范围为(2，)(2,4)答案：(2，)(2,4)二、解答题(本大题

23、共4小题，共60分)11(满分14分)(1)用logax，logay，logaz表示下列各式loga，loga；(2)求值.解：(1)logaloga(xy)logazlogaxlogaylogaz；logaloga(x2)logalogax2logaloga2logaxlogaylogaz.(2)原式4lg 104.12(满分14分)(1)若loga1(a0且a1)，求实数a的取值范围(2)若loga2logb20，求a、b、1三数的大小关系解：(1)当a1时，ylogax在(0，)上是单调增函数，logalogaa，a，a1.当0a1时，ylogax在(0，)上是单调减函数，logalog

24、aa，0a，0a.综上所述，实数a的取值范围是(1，)(2)用倒数法则将不等式loga2logb20改写成0log2alog2b，由对数函数的单调性可求得0ba1.13(满分16分)设函数yf(x)且lg (lg y)lg (3x)lg (3x)(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性解：(1)lg (lg y)lg 3x·(3x)，lg y3x·(3x)y103x(3x)且0<x<3.(2)y103x(3x)，设u3x(3x)3x29x32，则y10u，当x(0,3)时，umax，u.y(1,10(3)当0<x时，u32是增函数，而y10u为增函数，在上，f(x)是增函数，在上，f(x)是减函数14(满分16分)(2012·南通模拟)已知函数f(x)loga(x1)(a>1)，若函数yg(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)g