2018考研数学三真题及答案

1、2018 考研数学三真题及答案选择题1.下列函数中 ,在 x 0处不可导的是 ()xsinxxxnsixm0lixmi导 可li0fxfm0lixf x f 0 lim x0cosx 1 lim x0lim 12 x2 0,lim 2 0, 可导 x 0 xlxim0lim cos xx0lim 12 xlim 不存在 , 不可导 x 0 x应选 D .方法因为 f (x)cos x, f01fx lim xcos xf0 lim x 0 xlim 2 不存在x 0 x0 处不可导 , 选 D对 A : f x ?xsinx 在 x 0 处可导3对 B : f x ?x g x x 2 在 x

2、 0 处可导 对 C : f(x) cosx 在 x 0 处可导 .12.设函数 f x 在0,1 上二阶可导 , 且 f x dx 0,则0A 当 f ' x0时 , f 1 0B 当 f '' x0时 , f1022C 当 f ' x0时, f 1 0D 当 f '' x0时 , f1022答案 D【解析】在12111f ''12f x ff'xx,2222211111f ''1f x dxff'xx0022222x将函数处展开可得2dx112012 dx,故当 f ''(x)0

3、时,dx1 .从而有 f20.选D。3.设M2x2 dx,Nx21 xxdx,K2ecosx dx, 则A.M ? NK.MN.C. KN.D.M.答案:解析:21212dx2x1 x2dx2 1dx,221xx dx, 因为 ex11所以xe1 cosx dx,1cosx 1.即1 1 cosx所以由定积分的比较性质 K M N , 应选C.4.设某产品的成本函数 C Q 可导,其中 Q为产量 ,若产量为 Q0时平均成本最小, 则 ()AC' Q0 0B C' Q0 C Q0C.C'Q0 Q0C Q0D.Q0C'Q0 CQ0答案解析】 平均成 本 C QC Q

4、 dC Q C' Q Q C QQ dQQ2QQ0处取最小值 ,可知Q0C ' Q00.故选(D).1105.下列矩阵中 , 与矩阵 0 1 1 相似的为001111101A. 011B.011001001111101C. 010D.010001001答案:A110110解析:令P010则P1010001001110111110QP1AP010011010001001001120110110011010011001001001选项为 A6.设A,B为n阶矩阵 ,记rX为矩阵 X的秩 , XY 表示分块矩阵 , 则A.rA?AB r AB.rA?BArAC.rA?B max rA

5、 ,r BD.r A?B r AT BT答案:A解析: 易知选项 C 错1100对于选项 B 举反例 :取AB1111200 1100则BA 0303, A,BA 111130037. 设随机变量 X 的概率密度 f x 满足2f1 x f1 x，且 f xdx 0.6，0则 P X 0 (A) 0.2 ； (B) 0.3 ； (C) 0.4 ； (D) 0.6 解 由f 1 x f 1 x知，概率密度 f x 关于x 1对称，故PX 0 P X 2，2且 P X 0 P 0 X 2 P X 2 1，由于 P 0 X 2 f x dx 0.6 ，所 0以 2P X 0 0.4，即 P X 0

6、0.2，故选项 A 正确8. 设 X1,X 2,K ,X n 为取自于总体 X:N2 的简单随机样本，令X 1 Xi ，S1 ni11i(Xi1X )2 ， S2n1 n (Xini1X )2 ，则下列选项正确的是nX(A):t(B):tnX(C)S*:t(D)S*:tX 由于N0,1(n1)S22(Xi X)2i122(n1)且X2(n 1)S 相互独立，由t 分布的定义，得nXXt(n 1) ，故选项B 正确9. 曲线填空题2y x2 2ln x 在其拐点处的切线方程为 _。答案 y 4x 3解析】函数 f x 的定义域为0, , y' 2x 2x,y''2 x22

7、 ,y'''x43。x令 y ''=0 ,解得 x=1,而y ''' 10, 故点 (1,1) 为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率 y' 14, 故切线方程为 y 4x 3。10. ex arcsin 1 e2x答案 ex arcsin 1 e2x 1 e2x C 解析】令 t=e x,则原式 = arcsin 1 t2dt t arcsin 1 tt arcsin 1 t2ex arcsin 1 e2xt dt tan sin1 t 21 e2x C11 t dtt211. 差分方程2yxyx 5 的通解答案】x1

8、yx c 2解析】由于分方程可化为52yx=yx+2 2yx = yx+1 yxyx+2yx +1 =5,即yx+1 2yx 5。yx+1yx+1yxyx+22 yx+1yx，故原差设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为yx+1 2yx 5,其通解为 yx c2x。设原差方程的特解 y c1,代入原方程得 c1 -2c1 =5,即c1=-5。所以原差分方程的通解为 yx12. 函 数 x 满 足 xc 2x 1 5,c为任意常数。x x 2x x xx x 0 ,且 0 2, 则1 _.答案1 2e.【解析】由x2x xxx , 可知x 可微 ,且 'x =2xx。这是一个可分离变量

9、微分方程, 求得其通解为2x cex ; 再由02, 可得 c 2 。故x2ex ,1 2e。13.设A为3 阶 矩阵 , 1, 2, 3为线性无关的向 量组 , 若A12123， A 22 2 3,A 32 3, 可得200A1, 2 ,31, 2 , 3111。121200由于 1, 2, 3 线性无关 , 故A : 111=B，从而有相同的特征值。121200因EB11122 2 3 ,121故 A 的实特征值为 2。14.设随机事件 A,B,C 相互独立，且1 P(A) P(B) P(C )，2 则 P(AC A B) 解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得P AC A B P(

10、AC A B)P( A B) P ACP( A) P(B) P( AB) P A PCP( A) P(B) P( A) P(B) 11 2 2令 t= , 可得 limx t 0 .1 1 1 1 3 .2 2 22 解答题2,求a,b 。115. 已知实数 a,b, 满足 lim ax b ex x x答案 a1,b 1解析】bt et 1 2,其中 limt0a bt et 1limt 0 taet 1 lim bett0limt0aet 1 baet 1aet 1可知tlim0 aet 1 2 b,而要使得tlim0 t存在,必须有 a 1。此时,有tlim0 aet 1=1=2 综上

11、,a 1,b 1。b,故 b 1.16. 设平面区域 D 由曲线1 x2与直线 y 3x 及 y 轴围成。计算二重积分dy。答案3322.解析】 I02 dx 33x1 x x2dy0 3x2222x03xdx02x2 31 x dx 3 02 x3dx,22其中对于 2 x2 3 1 x 2dx,令x sin t,可化为04 3 sin2 t cos2 tdt 83 04sin22td 2t384332而 02 x3dx 41 x421，综上 I= 32 ，综上 I=16 32 02。163217.将长为 2m 的铁丝分成三段 ,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值

12、 ?若存在 , 求出最小值 .解析】设分成的三段分别为 x,y,z,则有xyz2及x,y,z>0 ，圆 的 面 积 为S1 41 x2，正方形的面积为 S2=116 y2,正三角形的面积为则问题转化为在条件 x y z12,x,y,z>0 下, 求函数S3= 3 z2，总面积为 S= 1 x2+ 1 y2+ 3 z2，3 36 4 16 36x + 1 y + 3z 的最小值。令16 36L= 1 x2+ 1 y2+ 3 z24 16 364x2则有L=yy=8L3=z1800 ,解得唯一条件极值点为0L =x y z 2 03439833439183439yx23，在该点的函数值

13、即为最小值 , 最小值为3 +12+9 318. 已知 cos2 x11 x2an xn 1 x 1 ,求an. n0答案a2n 12n2n2n2,n0,1,2,L ;a2n解析】cos2x22n2n !2n 12n22n2n,n0,1,2,L 。将 cos2x 与-1+x展成幂级数可得21x则aa2n 1a2n11x2n1 2n2n2n !2n2x2n !2n2n1 2n19. 设数列 Xn 满足: x1证明 :证明xnnxn2n2n 10, xnexn 10, 易证2n2n2 x2nx2,nexnnx,1x10,1,2,L2n,n0,1,2,L 。1 n 1,2,L.证明Xn 收敛, 并求

14、xn.再证 X n单减,由exn1exnxnexn e0 拉格朗日中值定理xn 0 e ,0,xnxn 1xn 单减有下界 ,由此得 lim xn存在xxnz3 y3lim xn A,则 AeA eA 1 设 n nA020. 设实二次型 f x1,x2,x3x1x22 x322x2 x3x1 ax3 ,其中 a 是参数(1)求 f x1,x2,x30的解;(2) 求 f x1,x2,x3的规范形 .解析 :(1) f x1, x2, x3 0 而 x1 x2 x30x2x30,x1ax30由 1 1 1102得A 0 1 101110a00a2当 a 2 时 , r A3,只有零解x1x2x

15、3 0.当a 2时, r A 2,方程有无穷多解 , 通解为 x1 2 为任意常数x x2 k 1 ,kx31(2)由(1)知,当a 2时 A可逆,y1 x1 x2 x3令 y2 x2 x3 , 即 Y AX , 则规范形为 y3 x322y1 y2y3,当a 2时, r A 2,y1 x1 x2 x322 2 2 1 3 2 令y2x2x3, 则 fy12y22y1y22y12 y22 y22,y3 x32 2z1 2 y1 1 y22令z23y2, 则得规范形为 f z12z22 .12a1a221.已知 a是常数 ,且矩阵 A 130 可经初等变换化为矩阵 B01127a111(1) 求

16、 a;(2) 求满足 APB 的可逆矩阵 P解析 :(1)Q A 经过初等列变换化为BrArB12a12a12aQA13001a01a27a033a000rA2rB21a21a21a2由B0110110111110a13002a得a=2.(2) 令 P1X1,X2,X3 ,Bb1,b2,b3AP1 A X1,X2,X3AX1,AX2,AX3b1,b2 , b3AXibii=1，2，3122M122122M122AMB130M011012M111272M111036M333122M122106M344012M111012M111000M000000M000636k13AX1b1的通解为 X1=k

17、1 212k11, k1 为任意常数10k1646k24AX2b2的通解为 X2=k2212k21k2为任意常数10k2646k34AX3b3的通解为 X3=k3212k31,k3为任意常数10k36k13 6k2 4 6k3 4P1=2k11 ，2k21 ，2k31（其中 k1,k2 , k3为任意常数k1k2k36k13 6k24 6k34P1=2k11 ，2k21 ，2k31=k3 k2k1k2k3k2k3P1时）Q可逆取可逆矩阵P=6k12k1k131，6k22k2k26k32k3k3（k1为任意常数 ,k2k3），使得 AP=B.22. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分

18、布为1PX 1 P X 11，2Y 服从参数为的泊松分布 P令 ZXY ，求（1）Cov X,Z ；（2）Z 的概率分布解（1）由题意，知1122 1 k! 1EX110 ，E X 21211 ，2222则 D XEX 2E2 X1 ，且 EY 于是，由协方差计算公式，得Cov X,Z Cov X,XYE X 2Y E X E XY22E X 2 E Y E2 X E Y E Y D X .2）随机变量 Z XY 的取值为 0, 1, 2,K ，则P Z 0 PX1,Y0P X 1,Y 0PX1PY0 P X 1 P Y 00011eee,20!20!PZkPX1,Y kP X 1 P Y kk同理，12x02PZ其中， k 1,2,K 23 . 总体 X 的概率密度为f