概率论与数理统计第5讲

1、1纲要纲要1、第、第4讲复习讲复习2、连续型随机变量及其密度函数。、连续型随机变量及其密度函数。3、重要的连续型随机变量。、重要的连续型随机变量。4、随机变量的函数的分布。、随机变量的函数的分布。5、小结、小结2上讲概要上讲概要分布律分布律kkxXPp xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数1、随机变量及其分类、随机变量及其分类2、离散型随机变量及其分布律、离散型随机变量及其分布律 两点分布，两点分布， 二项分布，泊松分布。二项分布，泊松分布。3、随机变量的分布函数及其性质、随机变量的分布函数及其性质 1）单调不减性；单调不减性； 2）归一归一 性；性； 3）右连续性右连续性4、离散型随机变

2、量分布律与分布函数的关系、离散型随机变量分布律与分布函数的关系3 则称则称 X为连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的概率密度函数，简称的概率密度函数，简称为概率密度或密度。常记为为概率密度或密度。常记为X f(x) (- x 0)为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为,的正态的正态分布。分布。记作记作X( ,2 ) 2）性质：）性质：a)单峰对称性；单峰对称性；b)单调性单调性, 的大小影响概率分布的集中程度。的大小影响概率分布的集中程度。 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线，所确定的曲线叫作正态曲线，是一条关于是一条关于对称的钟形曲线。对称的钟形曲线。特点：特点：“两头小

3、，中间大，左右对两头小，中间大，左右对称称”。注：正态分布在概率统计中占有特别重要的地注：正态分布在概率统计中占有特别重要的地位。它的实际应用最广泛，理论位。它的实际应用最广泛，理论 研究最多。研究最多。10决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡决定了图形中峰的陡峭程度峭程度. .参数对图形的影响参数对图形的影响3）X的分布函数的分布函数xdtexFxt,)()(22221 11dtexxt2221)(4 4）标准正态分布）标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布。的正态分布称为标准正态分布。xexx,21)(22其密度函数和分布函数分别用其密度函数和分布函数分别

4、用 和和 表示表示：)(x)(x)(x )(x 书末书末P439P439附有标准正态分布表，可查出标准正态分布的概率。附有标准正态分布表，可查出标准正态分布的概率。注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则).()(xxXPxF12 5 5）正态分布标准化：任何一个一般的正态分布都可以）正态分布标准化：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。通过线性变换转化为标准正态分布。P59 引理引理：2(,),XN 于 是 ： 若则()()()()abP aXbPYba P60 例例32( ,)(0,1)XXNYN 13一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变

5、量函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 -1，0，1，2时，时， Y 对应值对应值 4，1，0，1例例1设设X求求 Y = (X 1)2 的概率函数的概率函数.而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率两者具有相同的概率.故故X -1 0 1 2p 0.2 0.3 0.1 0.4Y 0 1 4p 0.1 0.7 0.2Y5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布14如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概

6、率函数为XX x1 x2 xnp p1 p2 pnY g(x1) g (x2) g(xn)p p1 p2 pn则则 Y=g(X) 15二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例2设设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数/8,04( )0,Xxxfx其它8,816( )81( )()32220,YYXyydFyyfyfdy其它16例例3 设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X2的概率密度的

7、概率密度.)(xfX)(yXyP求导可得求导可得当当 y0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yFyFXX1()() ,0( )2( )0,0XXYYfyfyydFyyfydyy17若若221( )()2Xxfxxe 则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：0,00,21)(221yyyfeyyY此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为1的卡方分布，的卡方分布， Y2(1)1()() ,0( )2( )0,0XXYYfyfyydF

8、yyfydyy18( ) ( ),( )0,Ydh yf h yyfydy其它其中，其中，此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是是y=g(x)的反函数的反函数定理定理 设设r.v X具有概率密度具有概率密度 f(x),又设又设y=g(x)处处可处处可导，且对于任意导，且对于任意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，则则Y=g(X)是连续型是连续型r.v，其概率密度为，其概率密度为0)( xg0)( xg一般地：一般地：P65 例例4，例，例5min( ),max( ),a x ba x bg xg x 19本章小结本章小结作业：作业：16,19,22,27,

9、29 离散型分布律归一性概率计算分布函数单调不减归一性右连续概率计算均匀分布指数分布正态分布连续型概率密度归一性概率计算分布函数与密度函数的互变随机变量及其分布两点分布二项分布Poisson分布分布函数与分布律的互变20本章曾经几年考题本章曾经几年考题:231)2004,0( )0,0 14)200,0( )0,0(4)(4)xxXXYXAexf xxAF xPXAexfxxAXF xYf 期末(12分)设随机变量 的概率密度函数求(1)常数 ,(2)分布函数 ( ),(3)期末(18分)设随机变量X的概率密度函数(1)确定常数分 , (2)求 的分布函数 ( ) 分 ,(3)求 =e 的概率

10、密度 ( )(4),(6)yE YDY分 (4)计算 ( )和 (-3 -1) 分2123)2006, 01( )2,20,4)2007,01( )0,1XAxxf xxxAXF xXAxxf xAPXXF x期末(12分)设随机变量 的概率密度函数 1其它求(1)常数 ,(2) 的分布函数 ( )春季期末(12分)设 的密度函数 其它试求：(1)常数 ,(2), (3) 的分布函数 ( )。2225)2007, 11( )0,()()XAxxf xAE XD XXF x 冬季期末(12分)设 的密度函数为其它试求：(1)常数 ,(2)、， (3) 的分布函数 ( )。2312346)200833sin ,cos ,( )( )220,0,33sin ,1 cos ,( )( )220,0,Xxxxxf xf