(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

1、(3) ma-4ma+4a(4)-28y4-21y3+7y2因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分 解因式。O学习意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许 多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解 内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用 它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、 运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆

2、变形。二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有 拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项 式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3 x2 +x=-x(3x-1)基本方法1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差 公式等例 1：2 x2-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法)x2y 3xy+6y=3y( x2 x+2

3、y) x2y+5xy y=y(x2+5x)1 .用提取公因式法分解因式正确的是(.2. 2A.12 abc- 9ab =3abc(4 3ab)B.32C. a+ab ac= a(ab+c)D.2 .下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x 2-y B.x2+2x C.x 2+y2 D.x 2-xy+y23 .如果 b-a=-6, ab=7,那么 a2bab2的值是()A.42B. 42C.13D. 134 .将下面各式进行因式分解一一 3 233 222(1) 8a b 12ab c 6a b c (2)21a b 14ab 7ab5 .已知 2x y=1 , xy=2,求 2x4y

4、3 x3y4 的值.86 .已知(4x-2 y-1) 2+«xy 2=0,求 4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式:22、分解因式:3.162】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例2: x2-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)解：原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是()B.C.D.2.分解因式:3.分解因式:针对性练习：一、平方差公式:22a b (a b

5、)(a b)1 .填空2 11x (x )(x)4412 2-a b 1 (一)(一)91 21 ,x (X 2y)(x 2y)2 22.将下列各式因式分解2- 2_46 m 9n(2)1 16m- 4, 5- 2. 32a b c 2a b c(a b)n 2 (a b)na2(x y) b2(y x)(6)49( m n)2 16(m n)2二.完全平方公式：a2 2ab b2(a b)21、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+xy+y2R x22x1C 、-x2-2x-1D 、x2+4y22、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么 m的值是()A.10B.20 C.

6、 20 D.±203、一 x2+2xy y2的一个因式是x-y,则另一个因式是 .4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则 a的值是.5.将下列更是进行因式分解 x 2+6ax+9a2(2)y2n 4yn 4/ 、4,224 m 4m n n 2x 3y2 - 16x2y+32x;(5) 3ax2+6axy+3ay2;(6)，-214x 1 49x(p q)22(p q) 1(8)4_2(x 1)2( x 1)1【课后练习】1、将下列各式进行因式分解：(1) 2 x3y-2xy3;(2)(5a2-2b 2) 2- (2a2-5b2) 22、将下列各式因式分解:(1) 1-16

7、x2;(2)25x2-49a2;-x4+_9_+1213、把下列各式进行因式分解:2+16(x-1) 2。(3x+2y) 2- (x-y) 2;(2)-(x+2)4、因式分解 4b2-4ab+a2正确的是()2A. 4b(b-a)+aB . (2b-a) 2 C . (2b-a)(2b-a)_2D . (2b+a)5、已知 x y=1, xy=2 ,求 x3y2x2y2+xy3的值.因式分解识点1:分解因式的定义1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。 如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： x2 9 8x(x3)(x 3) 8(

8、) 9x2 4y2(9x4y)(9x 4y)()(x 3)(x 3) x2 9() x2y 2xy2xyxy(x 2y)()知识点2:公因式公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式的确定：(1)符号：若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数：取系数的最大公约数；(3)字母：取字母(或多项式)的指数最低的；(4)所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1 .多项式-3ab 6abx 9aby的公因式是 2 .多项式8a3b2c 16a2b3 24ab2c分解因式时，应提取的公因式是()2333 3A. 4ab cB.8abC

9、. 2abD. 24a b c3 . x(m n)2 y(n m)4 (m n)3的公因式是 知识点3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1 .可以直接提公因式的类型：(1) 9a3b2 6a2b4 12a4b3=；n 1 n 1 n(2) aaa =(3) x(a b)2 y(a b)4 (a b)5=2x y 3(4)解方程组y，求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值5x 3y 22 .式子的第一项为负号的类型：2223 3(1)

10、4x y 6x y 8x y =_3_4_2 4(m n) 8(m n) 12(m n) =22(2)8x 18y =练习：1 .多项式：6ab 18abx 24aby的一个因式是6ab,那么另一个因式是()A. 1 3x 4y B.1 3x 4y C 1 3x 4y D.1 3x 4y2 .分解因式一5(y-x)3-10y(y-x)33 .公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。(若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如(x y)6-(y x)5 (y-x)6-(y-

11、x)5(y - x) 5(y - x-1)例：(1) (b a) 2+a (ab) +b (b a)( 2) (a+bc) (a b+c) + (b a+c) (ba c)(3) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)练习：1.把多项式 m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于()(A)( a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D) m(a-2)(m+ 1)2多项式x(y 3) x3(3 y)的分解因式结果()3、 32A. (y 3)(x x ) B . (y 3)(x x ) C . x(y 3)(1 x ) D . x(y 3)(1

12、x)3.分解因式：(1) m(x y) n(y x) (x y)()(2) - 6(x-y)4-3y(y-x)5知识点4公式法分解因式.公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做公式法。一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即 a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式;的平方b.两项的符号相反例如:1、判断能否用平方差公式的类型(1).下列多项式中不能用平方差公式分解的是()(A)- a2+b2(B) - x2- y2(C)49 x2y2- z2(2).下列

13、各式中，能用平方差分解因式的是()(D)16m4- 25n2p222B. x y2、直接用平方差的类型，222(1) 16x 9y(2) 25x 14,(3) x 13、整体的类型：,、22(1) (m n) n2_2(2) (x y) (2x 3y)4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型3m34m=. (2) a a .练习：将下列各式分解因式(1) x2 1 2 4x2(2)100x 2 81y2;(3)9(a -b)2-(x-y)2;533(4) a a(5)x 9x(6) (m n) (m n)2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和

14、，加上(或减去)这两数的乘积的即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ;a2-2ab+b 2=(a-b)2特点：(1)多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是()A. x2 y B . x2 y2 C . x2 y2 y D . x2 6x 92、关于求式子中的未知数的问题如：1.若多项式x2 kx 16是完全平方式，则 k的值为()A. -4B. 4 C. ± 8 D. ± 42 .若9x2 6x k是关于x的完全平方式，

15、则 k=23 .右x2(m 3)x 49是关于x的元全平方式则 m=3、直接用完全平方公式分解因式的类型(1) x28x 16;(2)4x212xy9y2；(3) xyy2;(4)- m24 mnn24934、整体用完全平方式的类型(x -2)2+12(x-2)+36;(2)9 6(a b) (a b)25、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型-4x3+16x2-16x;(2) 1 ax2y2+2axy+2a(3)已知：ab 1, x y 2 ,求 3abx2 3aby2 6xyab 的值练习：分解因式22 242 24(1) x 4x 4(2) a x 16ax 64(3) a 8ab 16b(4) (x y)2 14(x y) 49(6)3x3 12x2 y 12xy2(5) 9 6(a b) (a b)221 2x2 2x 2知识点5、十字相乘法分解因式.十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式： 分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。 如：分解因式：2 _ _ 2 _(1) x 7x 10(2) 2x 5x2(x+a) (x+b) = x (a b)x ab,3(3) a2+6ab+5 b2用来把某些多项式(4) x2+5x+6(5)