工程力学(人民交通出版社)第3章第2节力偶系

1、3-23-2力矩与力偶理论力矩与力偶理论一、一、力对点之矩力对点之矩二、力偶与力偶矩二、力偶与力偶矩 三、力偶系的合成与平衡三、力偶系的合成与平衡一、一、力对点之矩力对点之矩力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应，力对物体可产生运动效应，在一般情况下，既可能产生移动（平动）效应，也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于也可能产生转动效应，或者同时产生这两种运动效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量，力的大小和方向，而力使物体绕某点的转动效应，则用力对该点的矩来度量，简称力矩。简称力矩。hFO

2、(式中式中O“力矩中心力矩中心”)首先定义好：矩心首先定义好：矩心 ；力臂；力臂表示力矩的三要素：表示力矩的三要素：要素要素1 1：力矩的大小。：力矩的大小。要素要素2 2：力矩的转向：力矩的转向（右手螺旋法则：逆时针正）。（右手螺旋法则：逆时针正）。要素要素3 3：力矩的作用面：力矩的作用面（力作用线与矩心构成的平面）（力作用线与矩心构成的平面）FhFm )(01 1、平面中力矩的概念、平面中力矩的概念+ 逆时针逆时针 顺时针顺时针一、一、力对点之矩力对点之矩FhFmo )(oxxyyFxFyFxyxyyFxFFmFmFm )()()(0001 1、平面中力矩的概念、平面中力矩的概念力矩的量

3、纲单位：力矩的量纲单位： 或或 力矩在下列两种情况下等于零：力矩在下列两种情况下等于零：（1 1）力的大小等于零；（）力的大小等于零；（2 2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力对点之矩的解析表达式：力对点之矩的解析表达式：mN mkN inRinoooRoFFFFFFFMFMFMFM 2121)()(.)()()(其中： iooFmRm 平面力系的合力矩定理平面力系的合力矩定理 平面力系的合力对其作用面内任一点的矩等于力系中各力平面力系的合力对其作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。对同一点的矩的代数和。2、合力矩定理、合力矩定理 小技巧

4、小技巧：当力臂计算比较困难时，应用合力矩定理，往：当力臂计算比较困难时，应用合力矩定理，往往可以简化力矩的计算，一般将力分解为两个适当的分力，先往可以简化力矩的计算，一般将力分解为两个适当的分力，先求出两分力对此点之矩，然后求其代数和，即得该力对点之矩。求出两分力对此点之矩，然后求其代数和，即得该力对点之矩。结论：任何力系都适用合力矩定理结论：任何力系都适用合力矩定理一、一、力对点之矩力对点之矩aABCDb已知F、a、b、，求力F对A点之矩。EhF解：（解：（1）按力矩定义求：）按力矩定义求：（2）用合力矩定理求：）用合力矩定理求：FxFyxy 例题例题 1cossinsin)(sin)(ba

5、bctgaCDctgAD cossin)( FbFaFhFMA)()()(yAxAAFMFMFM yxFFF sincosFFFFyx aFbFaFbFyx sincoscossin FbFasin)(sinEDADAEh 力偶：力偶：作用在同一刚体上的两个大作用在同一刚体上的两个大小相等、方向相反、但作用线不重小相等、方向相反、但作用线不重合的一对力称为合的一对力称为 “ “力偶力偶”。 “力偶力偶”也是一种最简单的力系，由于构也是一种最简单的力系，由于构成力偶的两个力的作用线彼此平行，所以根成力偶的两个力的作用线彼此平行，所以根据公理二，此二力系不是一个平衡力系。显据公理二，此二力系不是一

6、个平衡力系。显然物体在力偶的作用下会发生转动，然物体在力偶的作用下会发生转动，力偶的效应是使物体转动力偶的效应是使物体转动。MFFFFO二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 1 1、什么是力偶、什么是力偶2 2、力偶的特点、力偶的特点二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成的力系称为两个大小相等，方向相反，且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶。 力偶的两个力所在的平面称为力偶的两个力所在的平面称为力偶力偶作用面作用面。 两力作用线间的垂直距离两力作用线间的垂直距离d 称为称为力偶臂。力偶臂。两力所形成的转动方向称为两力所形成的转动方向称为力偶的转向力偶的转

7、向。 力偶的表示法：力偶的表示法： 文字表示：文字表示：) ,(FFdFxFxdFFMoFMoFFMo )() ()() ,(正负规定：逆时针为正正负规定：逆时针为正单位量纲：单位量纲：力偶大小：力偶矩：力偶大小：力偶矩：图示：图示：逆时针顺时针 mkN mN 或2 2、力偶的特点、力偶的特点二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 mFFABrAB力偶的三要素：力偶的三要素： 力偶矩的力偶矩的大小大小、力偶的、力偶的转向转向、力偶的、力偶的作用面作用面 表示方法：矢量的长度表示表示方法：矢量的长度表示力偶矩大小，矢量的方位在力偶力偶矩大小，矢量的方位在力偶作用面的法线方位，指向按作用面的法线方位，指

8、向按“右右手法则手法则”（如图）。（如图）。力偶矩矢力偶矩矢用一个矢量表达三要素：用一个矢量表达三要素：力偶矩矢力偶矩矢。Frm 性质性质1 1 ：力偶无合力：力偶无合力证：由力偶的定义：在一个平面内的两个大小相等指向相反的平行力。那么，一定有力偶中的两个力任何轴上的投影之和恒等于零，即力偶无合力（或者说其合力恒等于零）。 推论：力偶不能合成为一个合力，力偶不能用一个力来等效替换；亦即不能用一个力来平衡。所以，所以力偶对物体的作用只能产生转动效应，而决不会产生移动效应。力偶只能用力偶只能用具有转动效果的另一力偶或力矩来平衡！具有转动效果的另一力偶或力矩来平衡！ 因此，力和力偶是静力学的两个基本

9、要素。力和力偶是静力学的两个基本要素。3 3、力偶的基本性质力偶的基本性质二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 FdxFxdFFMFMFFM ooo,性质性质2 2 ：力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩常数。力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩常数。与矩心的位置无关。与矩心的位置无关。3 3、力偶的基本性质力偶的基本性质二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 dFM 证：由证：由则：则：ox 由于矩心由于矩心 O是任意选取的，是任意选取的，因此，力偶对其作因此，力偶对其作用面内任一点之矩用面内任一点之矩均等于力偶矩，而均等于力偶矩，而与矩心的位置无关。与矩心的位置无关。 性质性质3 3： 作用在刚

10、体上同一平面内的两力偶，若它们的力作用在刚体上同一平面内的两力偶，若它们的力偶矩相等偶矩相等, ,则两力偶等效。则两力偶等效。 推论推论1 1、作用在刚体上的力偶可以在其作用面内任意移转，作用在刚体上的力偶可以在其作用面内任意移转，或移动到平行面内，而不改变它对物体的转动效应。或移动到平行面内，而不改变它对物体的转动效应。 推论推论2 2、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中的力只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中的力和力偶臂的大小，而不改变其对刚体的作用效果。和力偶臂的大小，而不改变其对刚体的作用效果。 3 3、力偶的基本性质力偶的基本性质二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 由以上力偶的由

11、以上力偶的3 3个性质，可以推论出力偶的以下性质：个性质，可以推论出力偶的以下性质：F1F1F1F1F2F2mmmF2F2OFFm m m 力偶无合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。力偶无合力，不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。 力偶中两个力对其作用面内任意一点之矩的代数和，等于该力力偶中两个力对其作用面内任意一点之矩的代数和，等于该力偶的力偶矩偶的力偶矩 力偶的可移动性力偶的可移动性：（保持转向和力偶矩不变）（保持转向和力偶矩不变） 力偶的可改装性：力偶的可改装性：（保持转向和力偶矩不变）（保持转向和力偶矩不变） 力偶的等效性：力偶的等效性：如果它们的力偶矩大小相等，力偶

12、的转向相同，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶等效。则这两个力偶等效。3 3、力偶的基本性质力偶的基本性质二、二、力偶与力偶矩力偶与力偶矩 小小 结结相同点相同点不同点不同点1、都有使刚体转动的效应。都有使刚体转动的效应。2、二者的量纲相同：二者的量纲相同：(Nm)1、力矩因点而异，力偶与点无关。力矩因点而异，力偶与点无关。2、力矩矢是固定矢，不能自由移动。力偶力矩矢是固定矢，不能自由移动。力偶矩矢是自由矢，可以平移和滑移。矩矢是自由矢，可以平移和滑移。思考题思考题 力矩与力偶矩的比较力矩与力偶矩的比较思考题思考题 作用于同一刚体上的力偶系中的各力偶，都可以被平行作用于同一

13、刚体上的力偶系中的各力偶，都可以被平行移转到刚体内任意点而不改变其对刚体的作用效果。因此被移转到刚体内任意点而不改变其对刚体的作用效果。因此被移转后组成一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的移转后组成一个合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的矩的代数和。即矩的代数和。即1 1、平面力偶系的定义平面力偶系的定义三、三、力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡作用于物体上同一平面内的许多力偶称为平面力偶系。作用于物体上同一平面内的许多力偶称为平面力偶系。2 2、平面力偶系的合成平面力偶系的合成 inmmmmm.21OODm4m3Cm2Bm1Am3m2m1m4Om1m2m3m4MOM平面力偶系，仅用

14、代数量表示，平面力偶系，仅用代数量表示，3 3、力偶系的几何法合成力偶系的几何法合成三、三、力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡 力偶系则可以象力系那样，按力力偶系则可以象力系那样，按力多边形法则合成为一个合力偶矩矢多边形法则合成为一个合力偶矩矢m。 inmmmmm21nmmmM 21 刚体上的力偶系刚体上的力偶系m1 、m2、 mn中各分力偶矩矢，按照合力投影定中各分力偶矩矢，按照合力投影定理：合力偶矩矢理：合力偶矩矢M 的三个投影分量的三个投影分量MX 、 MY 、 MZ分别等于各分力偶矩分别等于各分力偶矩矢在各个轴上的投影代数和。矢在各个轴上的投影代数和。zyxoMMZMYMXijk3

15、3、力偶系的解析法合成力偶系的解析法合成三、三、力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡即有：即有：kmjmimkMjMiMMiziyixzyx 同理：同理：zzyxxmMmMmMy 222222)()()(zyxzyxMMMMMMM MMkMMMjMMMiMzyx/),cos(/),cos(/),cos( 力偶系平衡的必要与充分条件是其合力偶矩矢等于零。即力偶系平衡的必要与充分条件是其合力偶矩矢等于零。即平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡条件条件是力偶系中各力偶矩的是力偶系中各力偶矩的代数和为零代数和为零。利用力偶系平衡条件，可以求解一个未知量。利用力偶系平衡条件，可以求解一个未知量。3 3、力偶

16、系平衡力偶系平衡三、三、力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡0 imM0 imM 图示一简支梁受一力偶作用，此力偶之矩 m= 20kNm，梁的跨度L=5m。又倾角，试求A、B支座的约束反力，梁重不计。FAFBmABLmABL 梁受一力偶矩梁受一力偶矩m m和和A A、B B两支座反力作用两支座反力作用, , 由于力偶只能由力偶平衡由于力偶只能由力偶平衡, , 所以两支座反力所以两支座反力应为一对力偶应为一对力偶, , 由此可见由此可见, , 两支座反力大小两支座反力大小相等相等, ,方向相反方向相反, ,其指向如图所示其指向如图所示。由力偶平衡方程有由力偶平衡方程有: :解解: : 取取ABA

17、B梁为研究对象梁为研究对象, , 画其受力图画其受力图。 例题例题 40 m0cosmLBFkNLmBF860cos520coskNFBFA8 图示简支刚架，其上作用三个力偶，其中 F1=F1=5kN，M2=20kNm，M3=9kNm， =30，试求支座A、B处的反力。m2m3F1F11m 1m1mABABm2m3F1F1AB解解：画刚架的受力图。：画刚架的受力图。 刚架上作用一个力偶系，力偶只能用力偶来平衡，可知刚架上作用一个力偶系，力偶只能用力偶来平衡，可知A A、B B支座的反力必构成一个力偶（支座的反力必构成一个力偶（FA、FB），如图。，如图。FAFB由力偶系的平衡条件由力偶系的平衡条件L 例题例题 50 m01321 mmFLFBcoscosLmmFFB3211 kN31230392015.cos kNFFBA312. 例题例题 6 圆柱齿轮如图，受到啮合力圆柱齿轮如图，受到啮合力Fn的作用，设的作用，设Fn=1400N，齿轮的，齿轮的压力角压