应用统计学：多维正态分布

1、Ma Xin, North China Electric Power University第二章第二章 向量、矩阵与多维正态分布向量、矩阵与多维正态分布向量与矩阵的基础知识向量与矩阵的基础知识坐标系与多维数据的图示坐标系与多维数据的图示矩阵运算的几何解释矩阵运算的几何解释随机向量及其数字特征随机向量及其数字特征多维正态分布及其标准化多维正态分布及其标准化Ma Xin, North China Electric Power University一、向量与矩阵的基础知识一、向量与矩阵的基础知识正交阵、对角阵正交阵、对角阵矩阵的迹及其性质：矩阵的对角元素之和矩阵的迹及其性质：矩阵的对角元素之和tr(

2、A)=aii矩阵的秩矩阵的秩特征根与特征向量特征根与特征向量l若A为对称阵，则A的全部特征根为实数，故可按大小次序排成1 2 p 。l若A为对称阵， i，j是它的两个不相同的特征根，则相应的特征向量li和lj互相正交，这时A可表示为piiiil l1AMa Xin, North China Electric Power University二、坐标系与多维数据的图示二、坐标系与多维数据的图示说明：向量说明：向量-列，向量、矩阵列，向量、矩阵-粗，标量粗，标量-普通普通坐标系（以二维为例）坐标系（以二维为例）l标准基向量) 1 , 0()0 , 1 (21TTeeTTTaaaa221121),(

3、eea(0,1)(1,0),(21aa向量向量坐标系中的点或方向线（矢量）空间中点空间中点a的横纵坐标的横纵坐标a a1 1,a,a2 2分别是分别是a a在两个坐标轴上的投影在两个坐标轴上的投影坐标轴旋转后的新坐标？坐标轴旋转后的新坐标？Ma Xin, North China Electric Power University向量的几何解释向量的几何解释Ma Xin, North China Electric Power University向量的模（矢量的长度）向量的模（矢量的长度）Ma Xin, North China Electric Power University三、矩阵运算的几何

4、解释三、矩阵运算的几何解释数量乘数量乘数量乘：标量数量乘：标量c c乘以向量乘以向量xx尺度变换尺度变换将将x在原方向上扩大或缩小在原方向上扩大或缩小c倍倍TT,cxcx,xxcc)()(2121xMa Xin, North China Electric Power University三、矩阵运算的几何解释三、矩阵运算的几何解释向量的标量积向量的标量积投影：设投影：设22112121),(awawaawwTawawawT0awwaT垂直，则和如果1wLMa Xin, North China Electric Power University矩阵矩阵向量向量投影投影例：例：23个地区供电局的经

5、营数据：利润和售个地区供电局的经营数据：利润和售电量。用一综合指标评估其运营绩效电量。用一综合指标评估其运营绩效l设： a1=(售电量s )231 , a2=(利润s )231la=(a1, a2)232, w1T=(0.766 , 0.643)运算结果212111643. 0766. 0643. 0766. 0),(aaaaawz例：新城分局售电量例：新城分局售电量s=1.5，利润，利润s=0.49，则则z1=0.7661.5+0.6430.49=1.46Ma Xin, North China Electric Power University-1.000.001.002.00售电量售电量s

6、 s-1.000.001.00利润sw1矩阵乘：在多于一维上投影矩阵乘：在多于一维上投影z1=aw1是是a在在w1方向投影，现在我们再找一个与方向投影，现在我们再找一个与w1垂直的方向垂直的方向w2，z2=aw2是是a在在w2方向上的投影方向上的投影.这样，这样，a=(a1, a2) z=(z1,z2)=aw 。 w=(w1,w2)为一正交阵。为一正交阵。l几何意义：坐标轴旋转几何意义：坐标轴旋转l前地区供电局例，设前地区供电局例，设w2T=(- 0.643, 0.766 )，221122321222122321,766. 0643. 0643. 0766. 0),(awzawzzzwwaaw

7、www则计算结果计算结果Ma Xin, North China Electric Power UniversityZ13210-1-2Z22.00.0-.5-1.0-1.5-2.0w1w2-1.000.001.002.00售售电电量量s s-1.000.001.00利润sw1w2Ma Xin, North China Electric Power University四、随机向量及其数字特征四、随机向量及其数字特征Ma Xin, North China Electric Power University均值向量均值向量Ma Xin, North China Electric P

8、ower University自协方差矩阵自协方差矩阵Ma Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China Electric Power University若若xi独立独立Ma Xin, North China Electric Power University总方差总方差Ma Xin, North China Electric Power University随机向量的相关矩阵随机向量的相关矩阵Ma Xin, North China Electric Power University相关阵与协方差阵相关阵与协方差阵

9、Ma Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China Electric Power University简单随机抽样简单随机抽样Ma Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China Electric Power University样本协方差矩阵样本协方差矩阵Ma Xin, North China Electric Power University样本相关

10、矩阵样本相关矩阵Ma Xin, North China Electric Power University标准化随机向量标准化随机向量为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来为了克服变量量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往采用标准化变量的影响，往往采用标准化变量标准化随机向量有：标准化随机向量有：*XXXX0X11)()()(*nREMa Xin, North China Electric Power University五、多维正态分布五、多维正态分布Ma Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China Electric Power UniversityMa Xin, North China E