九年级动点问题题型方法归纳

1、动点问题题型方法归纳动态几何特点- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形， 所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（20XX 年齐齐哈尔市） 直线 y3 x 64与坐标轴分别交于A、 B 两点，动点P、 Q同时从 O 点出发，同时到达A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA运动，速度为每秒1个单位长

2、度， 点 P沿路线 O B A运动（ 1）直接写出 A、 B 两点的坐标；（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式；48（ 3）当 S时，求出点 P 的坐标， 并直5接写出以点O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标yBPOQAx提示：第（ 2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（ 3）问是分类讨论： 已知三定点 O、P、 Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP为边、 OQ为边， OP为边、 OQ为对角线， OP 为对角线、 OQ为边。然后画出各类的图形， 根据图形性质求顶点坐标。2、（

3、 20XX年衡阳市）CCCFFEAABABOBDOOE图（ 1）图（ 2）图（ 3）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ， ABC=60 o（ 1）求 O 的直径；（ 2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结CD，当 BD 长为多少时， CD 与 O 相切；（ 3）若动点E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动， 设运动时间为 t( s)(0t2) ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF 为直角三角形注意：第（ 3 ）问按直角位置分类讨论3 、（ 2009 重庆綦江）如图，已知抛物线ya( x1)2

4、3 3( a0)经过点A( 2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为t (s) 问当 t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）若 OCOB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和 BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时

5、间为t ( s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长yMDCPAOQB x注意：发现并充分运用特殊角DAB=60°当 OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。二、特殊四边形边上动点4、（20XX 年吉林省） 如图所示， 菱形 ABCD的边长为6 厘米，B60°从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时从A 点出发，点 P 以1 厘米 /秒的速度沿ACB 的方向运动，点Q以 2厘米/秒的速度沿ABCD 的方向运动，当点 Q 运动到D 点时，P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时， APQ 与

6、ABC 重叠部分 的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（ 1 ）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是秒；（ 2）点 P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是 等 边 三 角 形 时 x 的 值 是秒；（ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式DCPA QB提示：第 (3)问按点 Q到拐点时间 B、C 所有时间分段分类； 提醒 -高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（ 20XX 年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中， 点 O 是坐标原点， 四边形 ABCO是菱形，点A 的坐标为（3 ， 4），点 C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交 y

7、 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（ 1）求直线 AC 的解析式；（ 2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设 PMB 的面积为 S（ S0 ），点 P 的运动时间为t 秒，求 S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（ 3）在（ 2）的条件下，当 t 为何值时， MPB与 BCO 互为余角， 并求此时直线OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值yyAH BAHBMMxOCxOC图（ 1）图（ 2）注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；第（ 3）问发现 MBC=90°

8、， BCO与 ABM互余，画出点 P 运动过程中， MPB= ABM的两种情况，求出 t 值。利用 OB AC,再求 OP与 AC夹角正切值 .6、 (20XX 年温州 )如图，在平面直角坐标系中，点 A(3 ，0) ，B(33 ，2) ，C（ 0，2) 动点 D以每秒 1 个单位的速度从点0 出发沿 OC向终点 C 运动，同时动点E 以每秒 2 个单位的速度从点A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E作 EF上 AB，交 BC于点 F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒(1) 求 ABC的度数；(2) 当 t 为何值时， ABDF；(3) 设四边形 AEFD的面积为 S求 S 关于 t

9、的函数关系式；2若一抛物线y=x +mx 经过动点E，当S<23 时，求m 的取值范围( 写出答案即可 ) 注意：发现特殊性，DE OA7 、（ 07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且y AOC=60 °，点 B 的坐标是 (0,83) ，点BP 从点 C 开始以每秒1 个单位长度的速度在P线段 CB 上向点 B 移动，同时，点 Q 从点 O开始以每秒 a（1a 3 ）个单位长度的速度CDA沿射线 OA 方向移动，设 t (0t8) 秒后，直线 PQ交OB 于点 D.Q（ 1）求 AOB 的度数及线段OA 的长；（ 2 ）求经过 A ，B，C

10、三点的抛物线的解析x式；O（ 3 ）当 a 3,OD4 3 时，求 t 的值及3此时直线PQ 的解析式；（ 4 ）当 a 为何值时，以 O ，P，Q ，D 为顶点的三角形与OAB 相似？当 a 为何值时，以 O ，P，Q ，D 为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.8 （、 08 黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中， OC AB ，以 O 为原点建立平面直角坐标系， A，B，C三点的坐标分别为A(8，0，) B (8， 1，0)C ，( 0，4点 D 为 线 段BC 的中点，动点P 从点 O 出发，以每秒1个单位的速度， 沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒

11、（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2 ）若动点 P 在线段 OA 上移动， 当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB面积的 2？7（ 3 ）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中，设 OPD 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；（ 4 ）当动点 P 在线段 AB 上移动时，能否在线段OA上找到一点 Q，使四边形CQPD 为矩形？请求出此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由BByyDDCCOPAx OAx（此题备用）9 、 (09年黄冈市 ) 如图 ,在平面直角坐标系xoy 中 ,抛物线 y1 x24 x

12、10 与 x 轴189的交点为点 A, 与 y 轴的交点为点 B.过点 B作 x 轴的平行线BC,交抛物线于点C, 连结AC现有两动点P,Q 分别从 O ,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒1 个单位的速度沿CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动 ,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D作 DE OA ,交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位 :秒 )(1) 求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ;(2) 当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平

13、行四边形 ?请写出计算过程 ;(3) 当 0 t 9 时 ,PQF 的面积是否总为定2值 ?若是 ,求出此定值 , 若不是 ,请说明理由 ;(4) 当 t 为何值时 ,PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA（定值）。第（ 4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、直线上动点8 、（ 20XX年湖南长沙）如图，二次函数yax2bxc （ a0 ）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴相交于点 C 连结AC、BC，A、C两点的坐标分别为A( 3，0 ) C(0，3)，且当 x4 和 x 2、时二次函数的函数值y 相等

14、（ 1）求实数 a， b， c 的值；（ 2）若点 M 、 N 同时从 B 点出发， 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t 秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC 边上的 P 处，求 t 的值及点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以 B，N，Q 为项点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点 Q 的坐标； 如果不存在， 请说明理由yCPNAM OBx提示：第（ 2）问发现特殊角 CAB=30° , CBA=60°特殊图形四边形BNPM

15、为菱形；第 (3) 问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与 ABC相似的 BNQ ，再判断是否在对称轴上。9、（ 2009 眉山）如图，已知直线 y1 x 12与 y 轴交于点A，与 x 轴交于点 D，抛物线y1 x2bxc 与直线交于 A、E 两点，与2x 轴交于 B、C两点，且 B 点坐标为 (1 ，0) 。求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点M，使| AMMC |的值最大，求出点M的坐标。提示：第（ 2 ）问按直角位置分类讨论后画出图形 - P 为直角顶点AE为斜边时，以AE 为直径画

16、圆与x 轴交点即为所求点P，A 为直角顶点时， 过点 A 作 AE垂线交 x 轴于点 P， E为直角顶点时，作法同；第（ 3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（ 20XX 年兰州） 如图， 正方形ABCD中，点 A、B的坐标分别为 （ 0，10），（ 8， 4），点 C在第一象限动点 P 在正方形 ABCD的边上，从点 A 出发沿 A B C D匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P点到达 D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1) 当 P 点在边 AB上运动时， 点 Q的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象

17、如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点 C的坐标；(3) 在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4) 如果点 P、Q保持原速度不变，当点 P 沿A B CD匀速运动时， OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由注意：第（ 4）问按点 P 分别在 AB、 BC、 CD边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。11、（20XX 年北京市） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC三个顶点的坐标分别为A6,0 ，B 6,0 ，C 0,4 3 ，延长AC 到点 D,使 C

18、D= 1 AC ,过点 D 作 DE AB2交 BC 的延长线于点E.（ 1）求 D 点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线ykxb 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3）设G 为 y 轴上一点，点P 从直线ykxb 与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿GA 到达 A 点，若 P 点在 y轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置， 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周

19、长时，直线过菱形的中心；第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小； 发现（）中直线与轴夹角为°. 见“最短路线问题”专题。12、 (20XX 年上海市 )ADADPPQBC（ Q）图 1B图 2已知 ABC=90°， AB=2， BC=3， AD BC， P 为线段 BD上的动点，点 Q在射线 AB 上，且满足 PQAD （如图 1 所示）PCAB（ 1）当 AD=2，且点 Q 与点 B 重合时（如图2 所示），求线段 PC 的长；（ 2）在图 8 中，联结 AP当 AD 3，且点2Q在线段AB 上时，设点B、Q之间的距离为SAPQy，其中 S APQ表示 AP

20、Q的面x ，SPBC积， 表示 PBC 的面积，求 y 关于 xS PBC的函数解析式，并写出函数定义域；（ 3）当 ADAB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示），求QPC 的大小注意：第（ 2 ）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PC BD时，点 Q、B 重合， x 获得最小值； 当 P 与 D重合时， x 获得最大值。第（ 3）问，灵活运用 SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证 BQP BCP，得

21、 B、Q、 C、 P四点共圆也可求解。ADPCBC图 3Q13、（08 宜昌）如图，在 RtABC中， ABAC，P是边 AB（含端点）上的动点过P 作BC的垂线 PR，R为垂足， PRB的平分线与AB相交于点 S，在线段 RS上存在一点 T，若以线段 PT为一边作正方形 PTEF，其顶点 E，F 恰好分别在边 BC，AC上（ 1） ABC与 SBR是否相似，说明理由；（ 2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（ 3）设边 AB1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF的面积 y的最小值和最大值BBRTSRTSEEPPCFACFA(第 13 题)(第 13

22、 题)提示：第（ 3 ）问，关键是找到并画出满足条件时最大、 最小图形； 当 p 运动到使T 与R 重合时， PA=TS 为最大；当P 与 A 重合时， PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、 (20XX 年河北 ) 如图，在Rt ABC 中， C=90°，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ于点 D，交折线QB-BC-CP 于点 E点 P、Q

23、 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t 0）（ 1）当 t = 2 时， AP =，点 Q 到 AC的距离是；（ 2）在点P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范围）（ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（ 4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值BEQDAPC提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，；（）按点P 运动方向分类，

24、按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，t 时，时15、（20XX年包头）已知二次函数yax2bxc （ a0 ）的图象经过点A(1，0) ， B(2，0) ， C (0， 2) ，直线 xm（ m 2 ）与 x 轴交于点 D （ 1）求二次函数的解析式；（ 2）在直线xm2 ）上有一点E（ m（点E 在第四象限） ，使得 E、 D、 B 为顶点的三角形与以A、 O、 C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含m 的代数式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形边形？若存在，请求出ABEF 为平行四m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在

25、，请说明理由提示：第（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（ 3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF ，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点16、（ 20XX年湖北十堰市）如图，已知抛物线yax2bx3（ a 0）与x 轴交于点 A(1， 0)和点点 CB ( 3，0)，与y 轴交于(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接

26、 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（ 2 ）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标 -C 为顶点时， 以 C 为圆心 CM为半径画弧， 与对称轴交点即为所求点P， M 为顶点时，以 M为圆心 MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P， P 为顶点时，线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值） ；方法二，先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。17、（ 20XX 年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的负半轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E， BC 交 x 轴负半轴于F ，OE1，抛物线yax2bx4 过A、 D、 F 三点（ 1）求抛物线