信号系统第4章

1、信号与系统信号与系统第第第4-4-4-1 1 1页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院第四章第四章连续系统的频域分析连续系统的频域分析信号与系统信号与系统第第第4-4-4-2 2 2页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三

2、角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等重要概念。 引言引言信号与系统信号与系统第第第4-4-4-3 3 3页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院l时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分；权积分；l变换域分析中，将任意信

3、号分解成虚指数函数变换域分析中，将任意信号分解成虚指数函数的加权积分；的加权积分； l将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析；合称为信号的频谱分析；l用频谱分析的观点来分析系统称为系统的频域用频谱分析的观点来分析系统称为系统的频域分析法或傅里叶变换分析法。分析法或傅里叶变换分析法。引言引言信号与系统信号与系统第第第4-4-4-4 4 4页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周

4、期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 lti4.7 lti系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统第第第4-4-4-5 5 5页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；从而系统输入信号可分

5、解为一系列冲激函数；从而系统的零状态响应为：的零状态响应为：yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本为基本信号，任意输入信号可分解为一系列信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为故称为频域分析频域分析。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-6 6 6页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函

6、数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量vx = ( vx1, vx2, vx3)与与vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其其内积内积为为0。即。即031iyixityxvvvv由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集。正交矢量集。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-7 7 7页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的

7、集合就是一个正交矢量集正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量a =(2，5，8)，可以，可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合分量的线性组合表示。即表示。即 a= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-8 8 8页页页电子教案

8、西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt即两函数的内积为即两函数的内积为0则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-9 9 9页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t

9、)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijikjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-101010页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)( )满足满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函

10、数集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)dtttt)(0212信号与系统信号与系统第第第4-4-4-111111页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是否为是否为区间区间(t0，t0+t)(t=2/)上的完备正交函数集？上的完备正交函数集？思考：思考：信号与系统信号与系统第第第4-4-4-121212页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、

11、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t) c1 1+ c2 2+ cn n 如何选择各系数如何选择各系数 cj 使使f(t)与近似函数之间的误差与近似函数之间的误差在区间在区间(t1，t2)内为最小？内为最小？通常使误差的均方值通常使误差的均方值(称为均方误差称为均方误差)最小。最小。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-131313页页页电子教案西安邮电学院

12、通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数均方误差为：均方误差为： ttctfttttnjjjd )()(121211220d)()(21122ttnjjjiittctfcc为使上式最小，为使上式最小， 展开上式中的被积函数，注意到由序号不同的展开上式中的被积函数，注意到由序号不同的正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不包含包含ci的各项对的各项对ci求导也等于零。求导也等于零。 这样，上式中只有两项不为这样，上式中只有两项不为0，写为，写为 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-141414页页页电子教案西安邮电学

13、院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数210d)()()(222ttiiiiittcttfcc即即 21210d)(2d)()(22ttiittittctttf求得求得212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfktttttfc最终求得最小均方误差为：最终求得最小均方误差为：0d)(112212221njjjttkcttftt信号与系统信号与系统第第第4-4-4-151515页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，

14、即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有集），均方误差为零。此时有 12221d)(jjjttkcttf上式称为上式称为(parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：表明：在区间在区间(t1,t2) 信号信号f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备在完备 正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 1)()(jjjtctf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。可分解为无穷多项正交函数之和。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-16161

15、6页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院u 三角函数集三角函数集 u 虚指数函数集虚指数函数集 .3 , 2 , 1),sin(),cos(, 1 ntntn ,.2, 1, 0, netjn任意函数任意函数f(t)f(t)可表示为无穷多项正交函数之和。可表示为无穷多项正交函数之和。 两个完备的正交函数集：两个完备的正交函数集：回回 顾顾信号与系统信号与系统第第第4-4-4-171717页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院 频域分析的基本思想：频域分析的基本思想： 周期信号周期信号 表示成表示成tjne tntn sin,cos对周期信号对周期信号的分析处理的分析处理 转化为转化

16、为对正弦信号对正弦信号的分析处理的分析处理信号与系统信号与系统第第第4-4-4-181818页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合的意义：将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合的意义：u 从信号分析从信号分析 的角度，将信号表示为不同频率正弦的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了 方便。方便。u 从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信号响应，利用叠加特性可求得多个不同频率正弦信

17、号 同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统 后的变化都很清楚。后的变化都很清楚。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-191919页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 由上节可知，周期信号由上节可知，周期信号 f(t) 在区间在区间(t0，t0+t)可以可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。 如果完备的正交函数集是三角函数集，则周期信号如果完备的正交函数集是三角函数集，则周期信号所展开的无穷级数就称为所展开的无穷级数就称为“

18、三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数”。 如果完备的正交函数集是指数函数集，则周期信号如果完备的正交函数集是指数函数集，则周期信号所展开的无穷级数就称为所展开的无穷级数就称为“指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数”。 “三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数”和和“指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数”统称为统称为傅里叶级数傅里叶级数。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-202020页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、周期信号的分解一、周期信号的分解-傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为t，角频率，角频率 =

19、2 /t，当，当满足满足狄里赫利狄里赫利(dirichlet)条件时，它可分解为如下三条件时，它可分解为如下三角级数角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-212121页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 22d)cos()(2ttnttntfta 22d)sin()(2ttnttntftb bn是是n的奇函数。的奇函数。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfan 是是

20、n的偶函数，的偶函数，整理得整理得 10)cos(2)(nnntnaatf a0 = a022nnnbaa nnnabarctan an是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-222222页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 物理意义物理意义：u 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。u 其中，其中， a0/2为为直流分量直流分量；u a1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与，它的角频率与 原周期信号相同；原周期信号相同；u a2

21、cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；u 一般而言，一般而言，ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 10)cos(2)(nnntnaatf 周期信号的分解周期信号的分解信号与系统信号与系统第第第4-4-4-232323页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数吉布斯现象：吉布斯现象： 由周期的方波分解可见，当它包含的谐波分量愈多时，由周期的方波分解可见，当它包含的谐波分量愈多时，除间断点外，合成波形越接近于原来的方波信号，除间断点外，合成波形越接近于原来的方波信号，其均方误差越小。其均方误

22、差越小。在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，合成波形在间断点附近，随着所含谐波次数的增加，合成波形的尖峰越靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。的尖峰越靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。即使合成波形所含谐波次数即使合成波形所含谐波次数 时，在间断点时，在间断点处仍有约处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯现象。的偏差，这种现象称为吉布斯现象。 n吉布斯现象吉布斯现象信号与系统信号与系统第第第4-4-4-242424页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1、若、若f(t)为偶函数，即为偶函数，即)()

23、(tftf波形相对于纵坐标轴对称。波形相对于纵坐标轴对称。22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb20)cos()(4tndttntfta0nb被积函数为偶函数被积函数为偶函数被积函数为奇函数被积函数为奇函数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-252525页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2 . .若若f(t)为奇函数，即为奇函数，即)()(tftf波形相对于原点对称。波形相对于原点对称。22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb20)sin()(4tndttn

24、tftb0na被积函数为奇函数被积函数为奇函数被积函数为偶函数被积函数为偶函数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-262626页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院实际上，实际上，任意函数任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分分，即，即 由于由于()()()( )( )odevodevftftftftft ( )( )( )odevf tftft 所以所以( )()( )2odf tftft ( )()( )2evf tftft 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-272727页页页电子教案西安邮电学院通信与信息

25、工程学院3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)t0tt/2偶次谐波分量为偶次谐波分量为0，只含奇次谐波分量，只含奇次谐波分量 ( )()2tf tf t 00a 2,4,6n kn0nab时时1,3,5n k时时204( )cos()dtnaf tn ttt 204( )sin()dtnbf tn ttt 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-282828页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4 . .f(t)为偶谐函数为偶谐函数奇次谐波分量为奇次谐波分量为0，只含偶次谐波分量，只含偶次谐波分量( )()2tf tf t1,3,5n kn0na

26、b时时2,4,6n k时时204( )cos()dtnaf tn ttt 204( )sin()dtnbf tn ttt 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-292929页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院例例1： 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。级数中所含的频率量。偶、奇谐函数偶、奇谐函数包含奇次余弦包含奇次余弦分量分量奇函数，包含奇函数，包含正弦分量正弦分量4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-303030页页页电子教案西安邮电学院通信与信息

27、工程学院偶、偶谐函数偶、偶谐函数包含偶次余弦包含偶次余弦分量分量奇谐函数，包奇谐函数，包含奇次的正弦、含奇次的正弦、余弦分量余弦分量4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-313131页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用可从三角形式推出：利用)(21cosjxjxeex 1)()

28、(0ee22ntnjtnjnnnaa 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnaaa 10)cos(2)(nnntnaatf 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-323232页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 110ee21ee212)(ntjnjnntjnjnnnaaatf 110ee21ee212)(ntjnjnntjnjnnnaaatf 令令a0=a0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnatfee21)( 上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，nn nnaa 令复数令复数njnjnffann ee21称其为称

29、其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-333333页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajaaeafn 222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1tttjnttttttftttntftjttntft ntjnnftfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1tttjnnttftf表明：表明：任意周期信号任意周期信号 f(t) 可分解为许多不同频率的可分解为许多不同频率的 虚指数虚指数 信号之和。信号之和。 f0

30、 = a0/2为直流分量。为直流分量。ejn t 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-343434页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院四两种傅里叶级数系数之间的关系四两种傅里叶级数系数之间的关系4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数222121nnnnnbaaff nnnaff *nnff )arctan(nnnab nnnaa cos nnnab sin )(21nnjnnjbaeffn an an 是实函数，是实函数，fn fn 一般是复函数一般是复函数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-353535页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院例例2： 用直接计算傳里叶系数的方法

31、，求下图所示周用直接计算傳里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傳里叶系数（三角形式或和指数形式）。期函数的傳里叶系数（三角形式或和指数形式）。 解：首先计算周期函数的周期解：首先计算周期函数的周期24,2tt 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-363636页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院再根据公式计算傅里叶级数的系数再根据公式计算傅里叶级数的系数（1）三角形式）三角形式222221( )cos()( )cos()22ttnn taf tn t dtf tdtt 1112cos()sin(),0,1,2222ln tndtnn 222( )si

32、n()0,1,2ttnbf tn t dtnt l22111( )()sin(),0, 1, 222tjn ttnnnnff t edtajbntn l（2）指数形式）指数形式4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-373737页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率parseval等式等式nnnntfaadttft2122002|21)2()(1直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |fn| = an/2。周期信

33、号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为:返回返回信号与系统信号与系统第第第4-4-4-383838页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 周期信号周期信号 可以分解为不同频率的正弦信号或可以分解为不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。虚指数信号之和。( )f t 10)cos(2)(nnntnaatf ntjnnftfe)( 不同的时域信号，只是不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数不同，因不同，因此此可通过研究

34、可通过研究傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数来研究信号的频域特性。来研究信号的频域特性。|fn| = an/2。 为角频率。为角频率。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-393939页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱：周期信号的频谱： 傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数 或或 是频率的函数，它们反映是频率的函数，它们反映 了周期信号各次谐波的幅度、相位随频率变化的关系，了周期信号各次谐波的幅度、相位随频率变化的关系， 即即 将将 、 和和 的关系分别画在的关系分别画在 以以 为横轴的平面上得到图形，分别称为为横轴的平面上得到图形

35、，分别称为振幅频谱图振幅频谱图 和和相位频谱图相位频谱图。nfna na n nf na n 和和 的关系，因为的关系，因为n0，称这种频谱为，称这种频谱为单边谱单边谱。和和 的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。 nf n当当 为实数时，用为实数时，用 的正负来表示相位为的正负来表示相位为0 或或 。 nfnf 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-404040页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统第第第4-4-4-414141页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例例1：

36、周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期t，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。 63sin41324cos211 tt解：解： 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写 f(t) 的表达式，的表达式， 263cos41324cos211)( tttf 10)cos(2)(nnntnaatf 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-424242页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱故故f(t)的周期的周期t = 24，基波角频率，基波角频

37、率=2/t = /12根据根据帕斯瓦尔等式帕斯瓦尔等式，其功率为，其功率为 :323741212121122 p 34cos21 t的周期的周期t1 = 8 323cos41 t的周期的周期t2 = 6显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。)323cos(41)34cos(211)( tttf 帕斯瓦尔等式帕斯瓦尔等式 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-434343页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 34cos21 t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41 t是是f(t)的的/3/12 =

38、4次谐波分量；次谐波分量； jennnff nnnaff21 )323cos(41)34cos(211)( tttf120 a01 a02 a213 a414 a00 01 02 33 324 4133 ff8144 ff 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-444444页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统第第第4-4-4-454545页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱nf例例2：周期信号：周期信号f(t)的双边频谱的双边频谱 如下图所示，求其如下图所示，求其 三角函

39、数表达式。三角函数表达式。tjtjtjtjtjtjtjefefefefefefeftf 33221100)1(1)2(2)3(3)(说明说明tjjtjjtjjtjjeeeeeeee 30301111 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-464646页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱jennnff 当当 为实数时，用为实数时，用 的正负来表示相位为的正负来表示相位为0 或或 ，这时，这时 常把幅度谱常把幅度谱 和相位谱和相位谱 画在一张图上。画在一张图上。nfnf ntjnnftfe)(返回返回)3cos(2)cos(2)(tttf nf

40、n信号与系统信号与系统第第第4-4-4-474747页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点例例3：有一幅度为：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其的周期矩形脉冲，其周期为周期为t，如右图，求频谱。，如右图，求频谱。 f(t)t0t-t122ttttftftjntttjnnde1de)(12222 令令sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） 22sin nnt nntjnttjn)2sin(2e122 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-484848页页页电子教案西安

41、邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)2( nsatfn, n = 0 ,1，2， fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设t = 4画图。画图。求各零点：求各零点：mn2令求得求得mn2，m为整数。为整数。即各零点依次为：即各零点依次为：8,6,4,22422t由由可知，可知，n=4时为第一零点。时为第一零点。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-494949页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱特点特点： (1) 周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。性。

42、各条谱线位置是基波频率各条谱线位置是基波频率的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。n=2n=3n=0n=4n=1信号与系统信号与系统第第第4-4-4-505050页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a)若若t一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。（谱线间隔）不变。 两零点之间的谱线数目（两零点之间的谱线数目（2 / ）/(2 /t)=t/ 增多。增多。(b)若若 一定，一定，t增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。减小，频谱变

43、密。如果周期如果周期t无限增长（这时就成为非周期信号），那么，无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到就过渡到非周期信号的非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于各频率分量的幅度也趋近于无穷小无穷小。)2( nsatfn, n = 0 ,1，2， 演示演示1演示演示2信号与系统信号与系统第第第4-4-4-515151页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院周期信号的频带宽带（带宽）周期信号的频带宽带（带宽）：在允许一定失真的条件：在允许一定失真的条件下，信号可以用某段频率范围的信号表示，此频率

44、范围下，信号可以用某段频率范围的信号表示，此频率范围称为信号带宽。一般把第一个零点作为信号带宽。称为信号带宽。一般把第一个零点作为信号带宽。 1b 信号的带宽与信号时域的持续时间信号的带宽与信号时域的持续时间 成反比，成反比，即即 越大，越大，b越小；越小； 越小，越小，b越大。越大。 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统第第第4-4-4-525252页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院 物理意义物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号的绝大部：在信号的有效带宽内，集中了信号的绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成份，不分谐波分量。若信号丢失有效带

45、宽以外的谐波成份，不会对信号产生明显影响。会对信号产生明显影响。 说明说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须 “匹配匹配”。 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统第第第4-4-4-535353页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号 f(t) 可看成是周期可看成是周期t时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当前已指出当周期周期t趋近于无穷大趋近于无穷大时，时，

46、谱线间隔谱线间隔 趋近于无穷小趋近于无穷小，从而信号的频谱变为，从而信号的频谱变为连续频谱连续频谱。 各频率分量的幅度也趋近于各频率分量的幅度也趋近于无穷小无穷小，不过，这些，不过，这些 无穷小量之间仍有差别。无穷小量之间仍有差别。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-545454页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的概念。令的概念。令 tftfjfntnt lim/1lim)( (单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 根据傅里叶级数根据傅里叶级数 22de)(tt

47、tjnnttftf ntjnnttftf1e)(考虑到：考虑到：t，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量）（由离散量变为连续量）频谱密度函数频谱密度函数信号与系统信号与系统第第第4-4-4-555555页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换 2d21 t同时，同时， 于是，于是， ttftfjftjntde)(lim)( de)(21)(tjjftf傅里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式f(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为f(j)的的傅里叶反变

48、换傅里叶反变换或或原函数原函数。信号与系统信号与系统第第第4-4-4-565656页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院也可简记为也可简记为如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率 ,则则上述变换对可写为上述变换对可写为f2()( )jftf jff t edt 2( )()jftf tf jf edf () ( )f jf f t 1( )()f tff j ( )()f tf j 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统第第第4-4-4-575757页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换

49、f(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为: 说明说明 :(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件: ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分: dttff)()0( d)(21)0(jff()()()jf jf je ( )( )rjx()d2(0)f jf 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-585858页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院例例1 1：如图所示信号如图所示信号 的傅里叶变换记为的傅里叶变换记为 ， 试求试求 和和

50、 。 ( )f t()f j (0)f()f jd 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统第第第4-4-4-595959页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1. 单边指数函数单边指数函数 f(t) = e t(t)， 0实数实数10tf(t) 0dee)(tjftjt jjtj 1e10)(信号与系统信号与系统第第第4-4-4-606060页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换2. 双边指数函数双边指数函数 f(t) = et , 0 10tf

51、(t) 00deedee)(ttjftjttjt 22211 jj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-616161页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲) 2, 02, 1)( tttg10tg(t)22 jtjfjjtj 222/2/eede)()2sa()2sin(2 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-626262页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()( ttttj jttttttjtj 0eddde)( )( 信

52、号与系统信号与系统第第第4-4-4-636363页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶

53、变换f (j )为为)(lim)(tftfnn )(lim)( jfjfnn 这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-646464页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换)(lim1)(0tftf 所以所以 0,0, 02lim)(lim)(2200 jfjf 2arctan2lim12lim2lim020220 dd构造构造222)(0,)( jfetft)(21 时域无限宽，频域无限窄时域无限宽，频域无限窄信号与系统信号与系统第第第4-4-4-656565页页页电子教案

54、西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj 将将 tt，tt- - )(de21 ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1 ttj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-666666页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换 0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)( tttftt)(lim)sgn(0tft 22211)()( jjjjftf jj

55、jft22lim)(lim)sgn(2200 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-676767页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换7. 阶跃函数阶跃函数 (t) jtt1)()sgn(2121)( 10t(t)(21 jt2)sgn(信号与系统信号与系统第第第4-4-4-686868页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. 傅里叶傅里叶变换对变换对信号与系统信号与系统第第第4-4-4-696969页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换2. 常用函数常用函

56、数傅里叶傅里叶变换对：变换对： j1)( j1g(t) 2 sasgn (t) j2222 1 1)(tet )(t )(2 )(t te 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-707070页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性 ttbftaftjde)()(21 ttfttftjtjde)(bde)(a21 若若)()(11 jftf)()(22 jftf )()()()(2121 jbfjaftbftaf )()(21 jbfjaf 证明：证明： )()(21tbftaff

57、 则则信号与系统信号与系统第第第4-4-4-717171页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例1：0f ( t )t1-11解：解：=0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -)(f)( jtf如如下下图图示示，求求)()()(21tgtftf )(21)(1 tf)(2)(2 satg)(2)(2)( sajf 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-727272页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、时移性质二、时移性质证明证明: tttftjde)(0 00ede

58、)(tjjttf )(e0 jftj 若若)()( jftf)(e)(00 jfttftj 则则t0为常数为常数)(0ttff 信号与系统信号与系统第第第4-4-4-737373页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 56e)3sa(6)5(jtg 52e)sa(2)5(jtg 5e)sa(2)3sa(6)(jjf 0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+)(f)( jtf如如下下图图示示，求求例例2：=解解:)5()5()()()(2621 tgtgtftftf信号与系统信号与系统第第第4-4-4-747474

59、页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质证明证明: de)(21)(tjjftf将上式中的自变将上式中的自变量量t 换为换为 t ,得得: de)(21)(tjjftf将上式中的将上式中的t换为换为w,将原有的将原有的w换为换为t,得得: tjtfftjde)(21)( 若若)()( jftf则则)(2)( fjtf)(2de)( ftjtftj信号与系统信号与系统第第第4-4-4-757575页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例3:?)(11)(2 jftt

60、f解解:22|2e t2| |12e t则则|2e212 t|2e11 t1 令令信号与系统信号与系统第第第4-4-4-767676页页页电子教案西安邮电学院通信与信息工程学院4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例4: 求取样函数求取样函数tttsasin)( 的频谱函数。的频谱函数。解：解：直接利用定义式不易求出直接利用定义式不易求出sa(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换， 利用对称性则比较方便。利用对称性则比较方便。)2()( satg已已知知，令令2 ,)(2)(2 satg则则)()(212 satg)(212)(2 gtsa)()(2 gtsa信号与系统信号与系统第第第4