轴对称全章复习与巩固提高知识讲解

1、轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这

2、条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线

3、的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（,）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定

4、义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60

5、°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，abc的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与abc成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含abc本身）共有（）a.1个 b.2个 c.3个 d.4个【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】c；【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数hec与abc关于cd对称；fdb与abc

6、关于be对称；ged与abc关于hf对称；关于ag对称的是它本身所以共3个【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三：【变式】如图，abc的内部有一点p，且d，e，f是p分别以ab，bc，ac为对称轴的对称点若abc的内角a70°，b60°，c50°，则adbbeccfa（ ）a.180° b.270° c.360° d.480°【答案】c；解：连接ap，bp，cp，d，e，f是p分别以ab，bc，ac为对称轴的对称点adbapb，becbpc，cfaapc，adbbeccfa

7、apbbpcapc360°2、已知mon40°，p为mon内一定点，om上有一点a，on上有一点b，当pab的周长取最小值时，求apb的度数. 【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到p的对称点来确定a、b的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】解：分别作p关于om、on的对称点，连接交om于a，on于b.则pab为符合条件的三角形.mon40° 140°. pab,pba. (pabpba)apb140°pabpba2apb280° pab, pba180° apb100&#

8、176;【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】如图，在五边形abcde中，bae120°，be90°，abbc，aede，在bc，de上分别找一点m，n，使得amn的周长最小时，则amnanm的度数为（ ）a100° b110° c 120° d 130°【答案】c；提示：找a点关于bc的对称点，关于ed的对称点，连接，交bc于m点，ed于n点，此时amn周长最小. amnanm180°man，而2bamamn，2eananm，bameanma

9、n120°,所以amnanm120°.3、如图，abc关于平行于轴的一条直线对称，已知a点坐标是（1，2），c点坐标是（1，4），则这条平行于轴的直线是（）a.直线1 b.直线3 c.直线1 d.直线3【思路点拨】根据题意，可得a、c的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线【答案】c；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段ac又a点坐标是（1，2），c点坐标是（1，4）ac6点a，c到该直线的距离都为3即可得直线为1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由a与c的纵坐标求得对称轴举一反三：【变式

10、1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，rtaob与rt关于直线对称，已知a（1，2），则点的坐标为（）a.（1，2） b.（1，2） c.（1，2） d.（2，1）【答案】d； 提示：因为rtaob与rt关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（2，1）【高清课堂：389304 轴对称复习：例10】【变式2】如图，abc中，点a的坐标为（0，1），点c的坐标为（4，3），点b的坐标为（3，1），如果要使abd与abc全等，求点d的坐标 【答案】解：满足条件的点d的坐标有3个（4，1）；（1，1）；（1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、（2012牡丹江）如图，abc中ab=

11、ac，p为底边bc上一点，peab，pfac，chab，垂足分别为e、f、h易证pe+pf=ch证明过程如下： 如图，连接appeab，pfac，chab，=abpe，=acpf，=abch又，abpe+acpf=abchab=ac，pe+pf=ch（1）如图，p为bc延长线上的点时，其它条件不变，pe、pf、ch又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若a=30°，abc的面积为49，点p在直线bc上，且p到直线ac的距离为pf，当pf=3时，则ab边上的高ch=_.点p到ab边的距离pe=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图，pe=pf+ch证明如

12、下：peab，pfac，chab，=abpe，=acpf，=abch，=+，abpe=acpf+abch，又ab=ac，pe=pf+ch；（2）在ach中，a=30°，ac=2ch=abch，ab=ac，×2chch=49，ch=7分两种情况：p为底边bc上一点，如图pe+pf=ch，pe=ch-pf=7-3=4；p为bc延长线上的点时，如图pe=pf+ch，pe=3+7=10故答案为7；4或10【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键5、已知，如图，112°，236°，34

13、8°，424°. 求的度数【答案与解析】acd123b5e解：将沿ab翻折，得到，连结ce，则，1512°.60°48°又236°，72°，bebc为等边三角形. 又垂直平分bcae平分30°adb30°【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求举一反三：【变式】在abc中，abac，bac80°，d为形内一点，且dabdba10°，求acd的度数.【答案】解：作d关于bc中垂线的对称点e，连结ae，ec，de abd

14、ace adae, dabeac10° bac=80°，dae60°，ade为等边三角形aed60° dabdba10° adbddeec aec160°， dec140° dce20° acd30°类型三、等边三角形的综合应用6、如图所示，已知等边三角形abc中，点d，e，f分别为边ab，ac，bc的中点，m为直线bc上一动点，dmn为等边三角形(1)如图(1)所示，当点m在点b左侧时，请你判断en与mf有怎样的数量关系？点f是否在直线ne上？ (2)如图(2)所示，当点m在bc上时，其他条件不变，(1)的结论中en与mf的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由【答案与解析】解：(1)enmf，点f在直线ne上 证明：连接df，de， abc是等边三角形， abacbc 又 d，e，f是abc三边的中点， de，df，ef为三角形的中位线 dedfef，fde60°又mdnndfmdf，ndffdende，dmn为等边三角形，dmdn，mdn60° mdfnde 在dmf和dne中， dmfdne， mfne，dmfdne.dmf60°dnemfnmfn60°fnab，又efab，e、f