二轮专题 概率与统计含答案

1、专题 概率与统计第1讲 计数原理与二项式定理主干知识梳理：1.分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×mn 种不同的方法。注：分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”。3.排列:从n个不同的元素中取出m个(mn)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从

2、n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（1）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(mn)元素的所有排列的个数.用符号表示（2）排列数公式:或= 规定： 。4.组合：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合（1）组合数: 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，用表示（2）组合数公式: 或 （3）组合数的性质： 规定：； + . 5.二项式定理及其特例：（1）二项式定理展开式共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数。（2）特例：.（3）二项展开式的通项公式： （为展开式的第r+1项）（4）二项式系数的性质：对称性：在展开式中，与首末两端 “等距”的两个

3、二项式系数相等即，直线是图象的对称轴增减性与最大值：当时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当是偶数时，在中间一项取得最大值；当是奇数时，在中间两项，取得最大值各二项式系数和： 热点分类突破考点1: 两个计数原理【例1】（1）如图所示，用五种不同的颜色给四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，若允许一种颜色多次使用，则不同的涂色方法有 种。（3）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若

4、万位上排5，则有个.所以共有个.选B.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.考点2： 排列与组合【例2】（1）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】（2）在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列

5、问题与顺序有关，组合问题与顺序无关“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理考点3： 二项式定理【例3】（1）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得（2）在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）【答案】【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为方法与规律总结：提高训练：1.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由两个计数方法加法原理及3.多项式的展开式中，的系数为( )（A）1

6、0 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.4.多项式的各项系数之和为 解：令，则有，故各项系数和为-1第2讲 概率、随机变量及其分布主干知识梳理：1、随机事件的概率（1）随机事件的概率范围：其中：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；（2）古典概型的概率：P(A).（3）几何概型的概率：P(A).2.条件概率：在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A).如果B和C互斥，那么3.相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)4.独立重复试验：如果事件A在一次试验中发生的概率是p

7、，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk (1p)nk，k0,1,2，n.5.离散型随机变量的分布列x1x2x3xiPp1p2p3pi (1)设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为P(xi)pi，则称右表：为离散型随机变量的分布列(2)离散型随机变量的分布列性质： pi0，p1p2pi1(i1,2,3，)6.常见的离散型随机变量的分布01P1pp (1)两点分布：分布列为(其中0<p<1)(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，n，并且P(k)Cpkqnk(其中k0

8、,1,2，n，q1p)显然P(k)0(k0,1,2，n)，Cpkqnk1.称这样的随机变量服从参数n和p的二项分布，记为B(n，p)(3)超几何分布:在含有件次品的件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件发生的概率为：X01mP则随机变量X的概率分布列如下：。注：超几何分布模型是不放回抽样7.离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量的分布列为x1x2xnPp1p2pn则称E()x1p1x2p2xnpn为的数学期望，简称期望D()(x1E()2·p1(x2E()2·p2(xnE()2·pn叫做随机变量的方差8.离散型随机变量的均值或数学期望的性质：1.若X服从

9、两点分布，则,2若，则,3, 热点分类突破考点1: 两种概率模型【例1】（1）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）ABCD答案C （2）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）ABCD【答案】B考点2： 独立重复试验【例2】（1）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_.（精确到0.01）考查目的 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. 解答提示至少有3

10、人出现发热反应的概率为.（2）已知随机变量的分布列为P（=k）=，k=1，2，则P（2<4）等于ABCD解析：P（2<4）=P（=3）+P（=4）=+=答案：A考点3： 随机变量的分布列与均值【例3】（1）甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（I） 如右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图其中如果甲获胜，输人a=lb=0;如果乙获胜，则输人a=0，b=1请问在两个判断框中应分别填写什么条件？（）求p的值；

11、（）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和解析：（）程序框图中的应填，应填.(注意：答案不唯一.)2分（）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止.所以，解得： 或，因为，所以6分（）依题意得，的可能值为2，4，6，8.，.所以随机变量的分布列为2468P故.12分（2）某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9，若命中一次就停止射击，否则就一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列。（3）在平面内，不等式确定的平面区域为，不等式组确定的平面区域为.（）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；（）在区域每次

12、任取个点，连续取次，得到个点，记这个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望解析：（）依题可知平面区域的整点为：共有13个，上述整点在平面区域的为：共有3个， . （4分）（）依题可得，平面区域的面积为，平面区域与平面区域相交部分的面积为.（设扇形区域中心角为，则得，也可用向量的夹角公式求）.在区域任取1个点，则该点在区域的概率为，随机变量的可能取值为：.， ， ，的分布列为 0123的数学期望：. （12分）（或者：，故）.方法与规律总结：提高训练：1.设复数，若，则的概率为（ ）A B C D试题分析：如图可求得，阴影面积等于若，则的概率是，故选B4.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果

13、成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 000×12%6 000(元)，50 000×50%25 000(元)由已知条件随机变量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000×(25 000)×4 760答案4 7606.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶

14、1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量（）求的分布列和均值；（） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率【答案】（）的分布列为：816010200108000.30.50.2；（）0.973.【解析】试题解析：（）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有

15、（1）目标函数为 当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为. 将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利故最大获利的分布列为816010200108000.30.50.2因此，（）由（）知，一天最大获利超过10000元的概率，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为第3讲 统计初步主干知识梳理：1抽样方法1简单随机抽样：设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽

16、取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2.常用的统计图表1.频率分布直方图2.茎叶图3.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.3.样本的数据特征1.众数、中位数、平均

17、数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高矩形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与轴交点的横坐标平均数样本数据的算数平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和2.方差与标准差：3.线性回归简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体

18、说来，对n个样本数据（），（），（），其回归直线方程，或经验公式为：.其中，其中分别为|、|的平均数.热点分类突破考点1: 抽样方法【例1】（1）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是 解答过程：第K组的号码为 ，当m=6时，第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63（2）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高

19、（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。若要从身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140 ，150内的学生中选取的人数应为 。考点2：用样本估计总体【例2】（1）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数

20、据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率;（II）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列;（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级解析：（）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，1分. 4分（）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：.6分8分（）依题意可知，一年中每天空气质量

21、达到一级或二级的概率为，一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则.10分，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级. 12分（2）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（）补全频率分布直方图并求、的值；（）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。解析：（）第二组的频率为，所以高为频率直方图如下： -2分第一组的人数为，频率为，所以由题

22、可知，第二组的频率为03，所以第二组的人数为，所以第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以 -5分（）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人 -6分随机变量服从超几何分布， -10分所以随机变量的分布列为0123-12分数学期望-12分考点3： 线性回归方程的应用【例3】（1）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：时间12345命中率0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 【解析】小李这5天的平均投篮命中率，线性回归方程，则当时，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为【答案】；方法与规律总结：提高