2.2.3向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)

1、VV2 2顒1向量加法三角形法则:OA2向量加区平行切边形出则:已知非零向量5,作a+a+a和(-a) + (-a) + (-a)a I仇(oABcOC=OA + AB + BCa=a + a+a 记作 3a3a = 3 a3詬詁勺方向相同N M Q PPN = PQ + S + MN二(-a) + (-a) + (-a)记作3a3a = 3 a-3药茁勺方向相反一般地，我们规定实数入与向量玄的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作入兀 它的长度和方向规定如下?Q长盛 IXal-IXMtl(2)方向当入0时，入云的方向与云方向相同; 当入0时入的方向与方向相反;特别地*当A=O或Q二0

2、眄入Q = (T f二、向量数乘的几何意义'> Act3a-3a1 一a2几何意义：将F的长度扩大（或缩小）1入I倍改变 （或不改变F的方向就得到了 X?3(2)(1) 根据定义，求作向量3(2羽和(6初(ao),并比较。 I a结论:3(2a)=6 F3(2H) _ 6a 已知向量竄求作向量2(a+b)和2苍+2了，并比较。<1三、向量数乘运算满足的运算律：运算律：淞、B为任意向量，入、山为任意实数，则有: 入(pa) = O) a结合律 (X + m) a=()ga第一分配律 入(a+5) =第二分配律特别地，(=入)=- (la)= X(-a)入(J-S) =计算：(

3、口答)(1) (=3) x4 a。'、CO 3 (艺+b) -2 (衣-b) a(3) (2a+3K-c) - (3a-2b- )解：(1)原式二-ya(2) 原式=(32T)食(3吉2) b = 5b(3) 原式=(2-3) a> (3+2) b* (-1-1) © - -a+Sb-lc 嚳论：(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。(2)对于任意的向量以及任意实数X»卩1» p2 恒有入(订土巾沪满忆土入谆把下列各小题中的向量鑲示为实数b =2ab=-a42与向量涵积.(1) 7 = 3乙 b=6e(2) a = 8e, b = -14

4、e21(3) a =0，b =-e339¥自麦探宪二 对于向量3工6、&以及实数入：© A 1、如果&=入那么，向却与下是否共线？会、左丄2、如果7与E共线，那么是否有入,使&入T ?对于向a (a*3)节，如果有一个实数入，使得 花入，那么，由数乘向量的定义知：向量怎与E共线。若向量H与E共线，艺工兀 且向量B的长度是艺的长度的M (M 0)倍，即有|K|=h |r|,且当g与B同方向时，有朕卩肝； 当与皈方向时，有P=-pa, 所以始终有一个实数入，使忘入芝。、向量共线定理向量E与非零向量?共线当且仅当有唯一 个实数入彳吏得5=入贰即：工6)=乙

5、=兀00:为什么要是非零向量, 若上述定理成立吗？(20两例沢已知任意两非零向量二了，试作 OX=a+B, 0H=a+2F, TJC=a+3Ko你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么?又孫与IC有公共点A, A A、B、C三点共线.例3：如图，已知11>=3血、UE=3BC,试证明就与IE共线。解；.变式1：如圈U巴彌问歐血日碱瓣飜就利碑缘位置关系AB+BACAADDE=3 AB+3 BC=3( AB+ BC )=3 ACACAE共线XC与IE有公共点A, a A、C、E三点共线. 羅器量冥越定理可用隶鮮决:向量共线和三点共线问题。, 判断下列各小题中的向量不切是否共线.(1)

6、« = 2e,b = 2e J(2) a =et -e2fi = -2et + 2e2 Ja=ex-e2,b =et+2e2 /概念与定理 Xa的定义及运算律 向量共线定理（5= X a向量乞与玉共线二、知识应用：1证明向量共线;2,证明三点共线:J、1. 设0是非零向量,2是非零实数，下列结论正确的是（B ） _化：与兄譎勺方向相反C.加二aB.匸与才湖方向相同D.卜方| = |兒|方2. 下列四个说法正确的个数有（C ）. 对于实数”讶口向量°、以 恒有 Ca b） = ma mb;1 > > > . 对于实数n、和向量恒右（加n）a = ma na

7、若ma = mb（m e 7?），贝UW = b;> 若mti = na（m> n g R）.a 丰（X 贝Ll右加=n;A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.在AABC中，设D为边B C的中点，求证： 1 » » “ . » .AD = -(AB + AC) (2)3AB + 2BC+CA- 2AD解：因为 AD = AB + BD1 »A =AB+-BC2» 1 » 卜 1 =A + -(AC-A8) =-( + AC) 2_ 上 _ _(2)原式左边=而+ 2而+ 2岚+鬲= AB + 2AC + CABd c

8、=AB + AC = 2AD =右边 所以，所证等式成立BE解2:C过点B作BE,使BE = AC连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点，贝呃也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有AB+AC=AE=2AD :.AD(AB + AC)1> -> 4. D是AABC中BC边上一点，且 BD=BC，设AB = a,AC =b. "3则如鸭于(C )1 * A. Qa b)31 C.-(2a + b)1 f B.-(b-a)3lfD(2b + o)3D5在平仃四边形ABCD中,Ag = aAD = b.AN = 3NG M为区的 >1 1 -中点，则MN等于cl + h44分析:由AN = 3NC,得4丽 =3疋 =3(： +庁),而=方+丄庁,所以MN = _(q + Z?) (a b) = a b42