特殊平行四边形典型例题解析题汇编

1、学习-好资料、参考例题例1如下图， ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F.(1) 求证：EO=FO(2) 当点0运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF,可借助第三条线段 0C，即证：OE=OC, OF=OC， 这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证 OEC、AOCF是等腰三角形， 由已知条件即可证明(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：/ ECF=90°,由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AE

2、CF 是矩形，只需OA=OC.证明：(1)：CE、CF分别是/ ACB、/ ACD的平分线./ ACE=Z BCE,/ ACF=Z DCF MN / BC / OEC=/ ECB,/ OFC=/ FCD/ ACE=/ OEC,/ ACF=/ OFCOE=OC, OF=OC OE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)111由(1)知：/ ECA+ / ACF珥 / ACB+1 / ACD=； (/ ACB+/ ACD)=90°即/ ECF=90°四边形AECF是矩形.因此：当点

3、O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形 ABCD的对角线AC、BD相交于O, OF丄AD于 F, OF=3 cm, AE丄 BD 于 E,且 BE : ED=1 : 3,求 AC 的长.平分且相等；可导出BE=OE,进而得出AB=AO,即得出BE=0F=3 cm,求出BD的长，即AC的长.解：四边形 ABCD 是矩形.二 AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE : ED=1 : 3 二 BE : BO=1 : 2 二 BE=EO又 AE 丄 BO ABEA ADE二 AB=OA 即 AB=AO=OB/BAE= / EAO=30°,Z FAO=30

4、6;/ ABEA AOFBE=OF=3 cm, BD=12 cm二 AC=BD=12 cm 、参考练习1如图，有一矩形纸片 ABCD, AB=6 cm,BC=8 cm,将纸片沿EF折叠，使 点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF丄BD , EF平分BD.更多精品文档 BE=ED,BF=FD四边形ABCD为矩形 AB=CD , AD=BC,Z C=90°, AD/ BC点 B 和 D 重合 BO=DO,Z BOF = Z DOE BOFA DOE ED=BF,a ED=BF=FD=BE1四边形BFDE是菱形S菱形=丄X BDX EF=BF X CD

5、2 BF=DF，可设 BF=DF=x 贝U FC=8-x在RtA FCD中，根据勾股定理得：x2=(8 x)2+62x=m 1 ,82 62 EF 二25 6EF=7.5424因此，折痕EF的长为7.5 cm.2当平行四边形ABCD满足条件寸，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.答案：/ BAC=90° 或 AC=BD 或 OA=OB 或/ ABC+Z ADC=180° 或/ BAD +/ BCD= 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABC冲，E是AB的中点，且工二芒，求:（1） 的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积

6、.分析（1）由E为AB的中点，可知DE是 AB的垂直平分线，从而，且，则.是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而虫C丄BDtAO = OC，利用勾股定理可以求出AC （3）由菱形的S-AC-BD.对角线互相垂直，可知【解 （1）连结BD,:四边形ABCD1菱形，" '.V是AB的中点，且一I,.丄 一=是等边三角形，丄-一也是等边三角形.:'ri'.-.（2）v四边形ABCD是菱形， AC与 BD互相垂直平分，0养1込丄曲丄S = -AC BD = (3) 菱形ABCD勺面积一一一说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形

7、有许多特 点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2 已知：如图，在菱形 ABC中，丄于宀-，：，'于F.求证： AE=AF.分析 要证明A-"，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形， r' - 且，二 ，-，'二 A_'， = * 幺一工，J 丁例3已知：如图，菱形 ABC中, E，F分别是BC, CD上的一点，求丄F的度数.解答：连结AC四边形ABC助菱形，O二©二卅 AS=BC = CD=AD? =与二丄一为等边三角形AB=ACfZB=ZACD=ZBAC = 60Q，=丄二一_丄J .11

8、 ,为等边三角形 J 1J说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC证.例4 如图，已知四边形二 和四边形丄二 都是矩形，且丄二方 求证：二垂直平分一V .分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分.证明：四边形一一、丄丄都是矩形，二，二三二m，亠二.四边形丄上一二是平行四边形在和 附 中DFH = ZBCH< ADHF = £BHC少二恥.D胡望紀月.DH二BH，曲二血四边形丄上-是平行四边形 四边形一工二是菱形平分丄平分；匕垂直平分二.例5 如图，：一中，_，=、在直线二上，且 求证：丄匚_二.分

9、析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形 的性质证明结论.证明四边形丄匚二是平行四边形丄二，丄二，二.m,二二：Z1 = Z£Z2 = Z3在屈G和助G中少=耽屈G望 DEG麒 GD上亠丄二 同理：川二汨心 匸四边形丄二是平行四边形.四边形丄是菱形.典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为3X，根据 题意，得，解得1 _ ，.'这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45°, 135

10、76;，45°, 135°.例2 已知：如图， ABCD 的周长为60cm对角线AC BD相交于点O, 的周长比匸工的周长多8cm求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知丨二平行四边形周长的一半二30cm又由的周长比的周长多8cm,可知cm,由此两式，可求得各边的长.解 四边形亠|二为平行四边形，' f - - L，.'-''.'.J二汕，一M+屈+0B-创 + 取+0C）二 8,.屈-配二&.丄 . '' I答：这个平行四边形各边长分别为 19cm 11cm 19cm 11cm说明：学习本题可

11、以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半（ 2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三 角形周长之差等于邻边之差.例3已知：如图，在交于点O,过O点作EF交ABCD于 E、F,那么OE OF是否相等，说明理由.分析观察图形，山BOmACDO血E0汀，从而可说明丄丄.证明在I丄匚中，'：A_'.交于O, ncv AB “ CD ZEAO 二 ZFCQ ZAEO 二 £CFO， ?二匚I.*，_14.例4 已知：如图，点E在矩形ABCD勺边BC上，且.'-I.'7 垂足为F。求证：'分析 观察图形，L与丄二都是直

12、角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE则 与丄全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD1矩形，- 11 ,二一匚'丄二JI，又血=血，.期肋三皿。.曲二兀例5 0是 ABCD寸角线的交点，丄一一的周长为59,二 ， _，则=，若AOBC与A0A8的周长之差为15,则船二口 abcd的周长=.OA=OC-AC OB = OD-BD解答：一ABC冲，1，2 .,十 =03 +0C +BC = -BD +-AC+BC丄一的周长= 19+12+脱二 59在 ABCD中，0.二一;J的周长_ 二的周长_卩（_'一二+_丄二+_上二= BC-AB上二ABCD勺周长一上丄 -一ii 二丨- - ?说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将丄一一与的周长的 差转化为两条线段的差例6 已知：如图，-ABCD勺周长是 f，由钝角顶点D向AB, BC引两