10312数学归纳法与数列的极限(答案)

1、精品资料10312数学归纳法与数列的极限（答案）第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：?Skip Record If.?4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列 ？Skip Record If.?中的项无限趋 近于一个常数A,那么A叫做数列？Skip Record If.?的极限，或叫做数列？Skip Record If.?收敛于 A,记作？Skip Record If.?。注意点：1）只有无穷数列，当?Skip Record If.?趋近于无穷大时，？Skip Record If.?无限趋近于某 一常数；2）对于数列？Skip Record If.?,当？Skip R

2、ecord If.?无穷增大时，?Skip Record If.?无限趋近于某 一定值时？Skip Record If.?,是通过？Skip Record If.?无限趋近于零来描述的。这里 ？Skip Record If.?无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取？SkipRecord If.?充分大以后，使?Skip Record If.?充分接近于零，如果这个任意小的正数用?SkipRecord If.?来表示,那么当?Skip Record If.?充分大时，总有?Skip Record If.?。3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。5.极

3、限的运算性质性质：?Skip Record If.?Skip Record If.?2）几个重要极限：？Skip Record If.? ?Skip Record If.?Skip Record If.? ?Skip Record If.?6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把 ？Skip Record If.?的无穷等比数列前？Skip Record If.? 项和？Skip Record If.?,当？Skip Record If.?无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用 符号？Skip Record If.?表示,即?Skip Record If.?注意点：1）只有当？Skip

4、 Record If.?且？Skip Record If.?时，才能代入上述公式；2）实际上可推出：？Skip Record If.?;3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如 ?SkipRecord If.?； ?Skip Record If.?；?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例2、求极限：?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Ski

5、p Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列？Skip Record If.?的首项、公比均为？Skip Record If.?.(1)试求无穷等比子数列？Skip Record If.? (?Skip Record If.?)各项的和；(2)是否存在数列？Skip Record If.?的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？SkipRecord

6、If.?若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；解：(1)依条件得：？Skip Record If.?则无穷等比数列？Skip Record If.?各项的和为：？SkipRecord If.?；(2)解法一：设此子数列的首项为 ？Skip Record If.?,公比为？Skip Record If.?,由条件得：?Skip Record If.?,贝U?Skip Record If.?,即?Skip Record If.? ?Skip Record If.?而?Skip Record If.?则?Skip Record If.?.所以，满足条件的无穷等比子数列存在

7、且唯一，它的首项、公比均为 ？Skip Record If.?,其通项公 式为？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?.解法二：由条件，可设此子数列的首项为？Skip Record If.?,公比为？Skip RecordIf.?Skip Record If.?.由？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip RecordIf.?Skip Record If.?又若？Skip Record If.?,则对每一？Skip Record If.?者B有？Skip Record If.?从、得？Skip R

8、ecord If.?Skip Record If.?Skip Record If.?；贝 U?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?；因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为 ？Skip Record If.? 无 穷等比子数列，通项公式为 ？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?.例5: (1) (03年上海数学高考)已知？Skip Record If.?其中？Skip Record If.?为正整数，设 ?Skip Record If.?表示？Skip Record If.?外

9、接圆的面积，贝U ?Skip Record If.?。解：此题一般地考虑方法是先求出?Skip Record If.?的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得?Skip Record If.?的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当?Skip Record If.?时这三个点的变化的位置，?Skip Record If.?趋于原点，？Skip Record If.?点趋于?Skip Record If.?然后看得圆的半径为 2,从而所求圆的面积为?Skip Record If.?。(2) (07年上海数学高考卷(文)第 12题)如图，？Sk

10、ip Record If.?是直线？Skip Record If.?上的两点，且？Skip Record If.?.两个半径相等的动圆分别与 ？Skip Record If.?相切于？Skip RecordIf.?点，？Skip Record If.?是这两个圆的公共点，则圆弧 ?Skip Record If.?, ?Skip R线段？Skip Record If.?围成图形面积？Skip Record If.?的取值范围是解：当两圆半径？Skip Record If.?时，点C趋向直线AB。?Skip Record If.?当两圆相外切时,?Skip Record If.? ?Skip Re

11、cord If.?, ?Skip Record If.? ?SkipRecord If.?例6、( 09上海高考题)已知？Skip Record If.?是公差为d的等差数列，？Skip Record If.?是公比 为q的等比数列。找出所有数列？Skip Record If.?和？Skip Record If.?,使对一切?Skip Record If.?,并说明理由；解法一若?Skip Record If.?,即？Skip Record If.? (*)(i)若？Skip Record If.?,贝U ?Skip Record If.?当？Skip Record If.?为非零常数列，？S

12、kip Record If.?为恒等于1的常数列，满足要求(ii)若？Skip Record If.?, (*)式等号左边取极限和?Skip Record If.?,(*)式等号右边的极限只有当？Skip Record If.?时，才可能等于1,此时等号左边是常数，?Skip Record If.?矛盾。综上所述，只有当?Skip Record If.?为非零常数列，？Skip Record If.?为恒等于1的常数列，满足要求解法二设?Skip Record If.?若?Skip Record If.?,对？Skip Record If.?都成立,且?Skip Record If.?为等比数

13、列，则？Skip Record If.?,对？Skip Record If.?都成立,即?Skip Record If.?Skip Record If.?都成立,?Skip Record If.?(i)若？Skip Record If.?,则?Skip Record If.?, ?Skip Record If.?(ii)若？Skip Record If.?,则？Skip Record If.?Skip Record If.?(常数)即？Skip Record If.?, WJ?Skip Record If.?,矛盾。综上所述，有？Skip Record If.?,使对一切?Skip Recor

14、d If.?例 7、在数歹U ?Skip Record If.?中，若？Skip Record If.?是正整数，且？Skip Record If.?贝U称？Skip Record If.?为“绝对差数列”(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”.(只要求写出前十项)；解:?Skip Record If.?(答案不唯一)?Skip Record If.?(2)若“绝对差数列'?Skip Record If.?中,?Skip Record If.?数歹U ?Skip Record If.?满足？Skip Record If.?分别判断当？Skip Record If.?时,？Skip

15、Record If.?与？Skip Record If.?的极限是否存在，如果 存在,求出其极限值;?Skip Record If.?解:因为在绝对差数列？Skip Record If？中,?Skip Record If.?所以自20项开始，该数列是？Skip Record If.?即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值 3,0,3所以当？Skip Record If.?时,?Skip Record If.?的极限不存在.当？Skip Record If.?时,？Skip Record If.?所以？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record I

16、f.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例9、如图，在边长为？Skip Record If.?的等边三角形 ABC中,圆Oi为?Skip Record If.?的内切圆，圆O2与圆Oi外切，且与 AB、BC相切，;圆On+1与圆On外切，且与 AB、BC相切，如止匕 无限下去，记圆On的面积为？Skip Record If.?.(1) 证明？Skip Record If.?是等比数歹U;证明：记？Skip Record If.?为圆 On 的半径,?Skip Record If.?,?Skip Record If.?C?Skip R

17、ecord If.?Skip Record If.?例10.设数列 an的前n项和为Sn,且方程x2anxan=0有一根为Sn1, n=1, 2, 3,./ o1(I )求 a1, a2；入'(n) an的通项公式./(d :X02y解：(I )当门=1 时，x2 axa1 = 0有一根为 Si1 = a1 1,A-B于是(a1 1)2a1(a1一 1) a1 = 0,解得 a1 = 2.当 n = 2 时，x2 a2x a2=0有一根为1 = a22,1 11于是(a22)2a2(a22) a2=0,解得 a2=6.(H)由题设(Sn1)2 an(Sn1)an = 0,即 Sn22S

18、n+1anSn=0.当 n2 时，an = Sn Sn-1 ,代入上式得 Sn-1Sn 2Sn+1 = 01 一1 1 2由(I )知$1 = 21 = 2，S2= a1 + a2= 2+6 = 3.由可得S3=4，由此猜想Sn=n； 1, n=1, 2, 3,.?Skip Record If.?下面用数学归纳法证明这个结论.(i)n=1时已知结论成立.k(ii)假设n = k时结论成立，即Sk= ,K十11 k+1当口=卜+1时，由得8 + 1=丁七，即&+ 1=-，2 SkK 十 2故n = k+ 1时结论也成立.综上，由（i）、（ii）可知& = n对所有正整数n都成立.

19、于是当n2时，an=Sn Sn 1 =nn+ 1n 11n n(n+1)'仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7一 ，11又n=1时，力=5 =彳。，所以2 1 2an的通项公式 an=?Skip Record If.? , n=1, 2, 3, ?Skip Record If.?例 11、设曲线？Skip Record If.?上的点？Skip Record If.?在 x 轴上的射影为?Skip Record If.?,过?Skip Record If.?做斜率为？Skip Record If.?的直线交 x轴于？Skip Record If.?,过？Skip RecordIf.?作 x轴的垂线交曲线于点？Skip Record If.?,再过?Skip Record If.?做斜率为?Skip Record If.? 的直线交 x轴于？Skip Record If.?,过？Skip Record If.?作 x轴的垂线交曲线于点？Ski