5.1.1一元一次方程的认识及解法.讲义教师版

1、一元一次方程的认识及解法中考要求黑体小四板块考试要求a级要求b级要求c级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四知识点睛黑体小四一、等式的概念和性质黑体小四1等式的概念楷体五号用

2、等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则楷体五号2等式的类型楷体五号（1）恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立如：数字算式（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立方程需要才成立（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立如，注意：等式由代数式构成，但不是代数式代数式没有等号楷体五号3等式的性质楷体五号等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式若，则；等式的性质2：等式两边都乘以

3、（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式若，则，注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式具有对称性，即：如果，那么等式具有传递性，即：如果，那么黑体小四二、方程的相关概念黑体小四1方程楷体五号含有未知数的等式叫作方程注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母二者缺一不可楷体五号2方程的次和元楷体五号方程中未知数的最高次数称为

4、方程的次，方程中不同未知数的个数称为元楷体五号3方程的已知数和未知数楷体五号已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是1，是已知数但可以不说）5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、等表示未知数：是指要求的数，未知数通常用、等字母表示如：关于、的方程中，、是已知数，、是未知数楷体五号4方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解楷体五号5解方程楷体五号求得方程的解的过程注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程楷体五号6方程解的检验楷体五号要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左

5、、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是黑体小四三、一元一次方程的定义黑体小四1一元一次方程的概念楷体五号只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数楷体五号2一元一次方程的形式楷体五号标准形式：（其中，是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式最简形式：方程（，为已知数）叫一元一次方程的最简形式注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证如方程是一元一次方程如果不变形，直接判断就出会现错误（2）方程与方

6、程是不同的，方程的解需要分类讨论完成黑体小四四、一元一次方程的解法黑体小四1解一元一次方程的一般步骤楷体五号（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边注意：移项要变号；不要丢项（4）合并同类项：把方程化成的形式注意：字母和其指数不变（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解注意：不要把分子、分母搞颠倒楷体五号2解一元一次方程常用的

7、方法技巧楷体五号解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等黑体小四例题精讲黑体小四一、等式的概念和性质黑体小四【例01】 判断题（1）是代数式（2）是等式（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立（4）若，则【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】（1）；（2）；（3）×；（4）【例02】 下列说法不正确的是（ ）a等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式b等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式c等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式d一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果

8、仍是等式【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】c【巩固】 回答下列问题，并说明理由（1）由能不能得到？（2）由能不能得到？（3）由能不能得到？（4）由能不能得到？【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】紧扣等式变形的两个性质是解题的关键（1）由不能得到理由：根据等式性质1，等式两边都减去3应得，根据等式性质2，等式两边都除以2，得，而，（2）由不能得到理由：根据等式性质2，等式两边都除以整式b时，b应不等于0，但题中b的取值情况未作说明，因此由，当时，才有（3）由得理由：这个等式中隐含了，这个条件，根据性质2，等式两边都除以一个不

9、等于0的整式，应得（4）由不能得到理由：因为不是整式，等式性质1要求在等式两边都加上或减去同一个整式，所以由得到是错误的并且使失去意义【答案】（1）不能；（2）不能；（3）能；（4）不能【巩固】 下列结论中正确的是（ ）a在等式的两边都除以3，可得等式b如果，那么c在等式的两边都除以，可得等式d在等式的两边都减去，可得等式【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】选择【关键词】2005年，北京四中，初一上学期期中考试题【解析】略【答案】b【例03】 根据等式的性质填空（1），则 ；（2），则 ；（3），则 ；（4），则 【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】（1）

10、，在等式两端同时加上；（2），在等式两端同时加上；（3），在等式的两端同时乘以；（4），在等式的两端同时乘以【答案】（1）4；（2）5；（3）；（4）【巩固】 用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果，那么 ；（2）如果，那么 ；（3）如果，那么 ；（4）如果，那么 【考点】等式的概念和性质【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】（1），根据等式性质1，在等式两边都减去3；（2），根据等式性质1，在等式两边都加上；（3），根据等式性质1，在等式两边都加上；（4）8，根据等式性质2，在等式两边都除以3【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8黑体

11、小四二、方程的相关概念黑体小四【例04】 下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？；【考点】方程的相关概念【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】等式是用“=”号表示相等关系的式子；代数式是不含有表示相等或不等关系符号的式子；方程是含有未知数的等式严格按照对概念的理解及可把上面的式子进行区分【答案】等式有；代数式有；方程有【例05】 判断题（1）所有的方程一定是等式（ ）（2）所有的等式一定是方程（ ）（3）是方程（ ）（4）不是方程（ ）（5）不是等式，因为与不是相等关系（ ）（6）是等式，也是方程（ ）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是，它是一个代数式，而不是方程（ ）【考点

12、】方程的相关概念【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】这是一组概念的辨析题，涉及了“代数式”，“等式”，“方程”等概念，要辨别这类题目，就要弄清楚上述概念的含义再详细作答【答案】（1）；（2）×；（3）×；（4）；（5）×；（6）×；（7）【巩固】 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【考点】方程的相关概念【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数【答案】（1）是方程未知数是，已知数是3、；（2）是方程未知数是，

13、已知数是2、3；（3）不是方程因为不含等号“=”；（4）不是方程因为不含未知数；（5）是方程未知数是，已知数是4、；（6）是方程未知数是x、y，已知数是、1注意：常数项、未知数的系数均为已知数，未知数的系数为1时，可以省略不说，但未知数系数为时，一定要指明，如（5）【例06】 下列说法不正确的是（ ）a解方程指的是求方程解的过程b解方程指的是方程变形的过程c解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程d解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程【例07】 检验括号里的数是不是方程的解：（，）【巩固】 在、中， 是方程的解黑体小四三、一元一次方程的定义黑体小四【例08】 下列各式中：；哪

14、些是一元一次方程？【考点】一元一次方程的定义【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】、是一元一次方程；不是等式，更不是方程；不含未知数；化简后的系数为0；在分母上出现，也不是一元一次方程；未知数的最高次数是2，不是一次；是；是方程，但不是一元一次方程；是【答案】、【巩固】 下列方程是一元一次方程的是（ ）（多选）abcdef【例09】 若是关于的一元一次方程，求【考点】一元一次方程的定义【巩固】 已知是关于的一元一次方程，求的值【巩固】 若是关于的一元一次方程，求【例10】 若关于的方程是一元一次方程，则方程的解= 【巩固】 求关于的一元一次方程的解【例11】 解方程：【巩固】 解方程：【巩固】 解方程：【例12】 解方程：【巩固】 解方程：【巩固】 解方程：【巩固】 解方程：楷体五号【例13】 解方程：【考点】一元一次方程的解法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】先将方程左边分子的系数化为整数，得：，【答案】5黑体小四家庭作业黑体