变量变换在解常微分方程中的应用

1、- 16 -宜宾学院2011届毕业设计（论文）yibin university2011届 毕 业 设 计（论 文）题 目 变量变换在解常微分方程的应用 系 别 数学与应用数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 杨孝刚 学 号 070201017 年级 2007级 指导教师 罗显康 摘要 变量变换是解常微分方程的一种辅助方法。它能使问题简化，变量变换思想是解常微分方程的重要思想之一。但是往往不被人们重视，结合近几年的学习，从变量思想在微分方程中的应用出发，探讨变量思想的重要性，以引起广大学习者的重视。在常微分方程中，许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成。文章就变量代换在几类

2、微分方程中的应用进行探究，通过联系实例给出了变量变换在求解微分方程中的具体应用。关键词：变量代换法； 变量思想； 微分方程； 运用 目录一、 绪论4二、 变量变换的定义4三、 变量变换在解常微分方程的几种类型的应用4 3.1齐次方程与可化为齐次方程的微分方程4 3.2一阶线性方程7 3.3一些特殊类型的一阶常微分方程7 3.4伯努利（bernoulli）方程11 3.5黎卡提（riccati）方程11 3.6非齐次线性微分方程12 3.7变系数齐次方程12 3.8高阶微分方程13四、变量变换的优越性14结束语14致谢15参考文献16一、绪论 变量变换在解常微分方程中起着重要的作用。变量变换的思

3、想在解常微分方程有着广泛的应用，对于某些微分方程，直接求解很难进行，但如果对方程进行一些简单的变量变换，则很容易求解，从而达到求解的目的。因此，在求解这些微分方程时，需要根据方程的特点，引入适当的变量，将方程化为易于求解的类型。本文就变量变换这种辅助方法进行讨论，阐述其再求解微分方程中所起的重要作用。二、变量变换的定义 变量分离方程是一阶微分方程中最基本方程类型，其他各种不同类型的一阶微分方程都可通过变量变换变形等方法，最终转换成变量分离方程进而求出结果。 步骤：（1）分离变量 （2）对方程两边同时积分并整理通解 （3）由初始条件求方程的特解三 变量变换在解常微分方程的几种类型的应用 3.1

4、齐次方程与可化为齐次的微分方程形如的微分方程称为变量分离方程，可以利用分离变量的方法将原方程写成，然后借助于积分来求其通解，这是最基本的简单类型，以后的许多类型均可进行适当的变量代换转化成该种类型。 齐次方程：形如 的方程称为齐次方程，可以通过引入变量（或）代入原方程，得，这是关于变量u与x的可分离变量的方程，分离变量得，两端积分后得u，再以代替u即得齐次方程的解。准齐次方程，可以经过变量代换化为齐次方程，然后再转化为变量分离方程。例如的方程，可分三种情况讨论。讨论如下：（1）当时，原方程变为为齐次方程，令即可转化为变量分离方程。（2）当时，即二阶行列式时，令，则原方程变为，再令，则有代入上式

5、：得即转化为变量分离方程。（3）当即二阶行列式且、不全为0时，联立方程组，令其解为，因为、不全为0，所以，再进行坐标变换，原式化为,这是关于x、y的齐次方程，从而可以利用分离变量的方法求解。 形如的方程，通过变量变换，可化为变量分离方程例1解方程解：令，可得代入方程得： 分离变量，再积分，化简整理可得 再代回原变量，得方程的通解例2 解方程解：令则方程可变形为: 整理后可得分离变量方程： 分离变量再积分，整理后得： 再代回，可得原方程的通解： 例3 解方程解：解方程组：解得 作坐标变换：得 代回方程为： 积分可得： 代回原变量得原方程的通解： 例4 解方程解：这个方程既不是分离型，也不是线性型

6、。但是可以通过变形把它化为齐次型： 令， 得到 即 于是 得到 得：， （绝对值所产生的符号被任意常数吸收） 3.2一阶线性方程一阶线性方程其中，为已知函数，该方程所对应的齐次方程的通解为作代换以此作为原方程的解，代入原方程得从中解出，进而完成原方程求解。例1 求方程的通解 解：原方程不是未知函数y的线性微分方程，但我们可将它改为 即： 首先求出齐次线性微分方程的通解为： 其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解，把c看成，微分得到： ，代入得到，积分之，即可求得，通解为：（c为常数）3.3 一些特殊类型的一阶常微分方程（1）形如的方程（其中是已知实数），作变量代换，可将方程化为分离变量

7、方程，将代入方程，整理后可得：，这已是分离变量方程，形如的方程通常是指标为的广义齐次方程。例1 解方程解： 将，分别看做，次变量时，要使方程左端是齐次式，则应满足：，解得，因此原方程是指标为的广义方程齐次方程。令，则代入原方程整理得，分离变量，再积分，整理得：代回原变量，得原方程的通解：（c为常数）（2）一阶隐式微分方程 一阶隐式微分方程的一般式可表示为，如果能从方程中解出导数，其表达式为，则可依靠的具体形状如何而选择适当的某一方法进行求解。以下我们将讨论四种形式： 讨论形如的方程的解法，这里假设函数有连续的偏导数引进参数，则变为，对两边x求导数并以代入，得到 若求得式通解形如为，将它代入得到

8、这就是的通解。若求得式通解形式为，则得到参数形式的通解为其中p是参数，c是任意常数。若求得式的通解形式为，则得到的参数形式的通解为：其中p是参数，c为任意常数。例1 求方程的解 解：解出y，并令，得到，两边对x求导数，得到，即 ，当时，上式乘以p得到 ，积分之，注意中间一项，得到： 解出x，得到，将它代入，得： 因此，得到方程的参数形式的通解：,形如的方程的求解方法与的方法完全类似，这里假定函数有连续偏导数。例2 求解上面的方程 解：解出x，并以代入，得到对y求导数得;或：，积分之，即有因而，代入方程，求得，所以方程的通解为：现讨论形如的方程的解法 记，从几何的观点看，代表oxp平面上的一条曲

9、线，设把这曲线表为适当的参数形式，这里t为参数，再注意到，沿方程的任何一条积分曲线上恒满足基本关系把代入上式得，两边积分得到，于是得到方程的参数形式的通解为，c 为任意常数。例3 求方程（这里） 解：令，则由方程得，从而：，于是：，积分之，得到，因此，方程的通解表成参数形式：，（c为任意常数） 形如的方程，其求解方法同的求解方法类似。 例4求方程解：令，则与原微分方程消去后，有，由此得，并且，这是原微分方程的参数形式，因此，积分之，得到，于是求得方程的参数形式的通解为消去t得:(c为任意常数)3.4伯努利（bernoulli）方程形如的方程，其中为x的连续函数，是常数。利用变量变换可将伯努利微

10、分方程化为线性微分方程，事实上，对于，用乘方程的两端得到，引入变量变换： 从而 将代入得到这是线性微分方程，可按上面介绍的方法求解。例1求方程的通解 解：这是时的伯努利方程，令，算得：，代入原方程得： 这是线性微分方程，求得它的通解为：，代回原来的变量y，得到：或（c为任意常数）这就是原方程的通解。方程还有解。3.5 黎卡提（riccati）方程 在一般情形下不能用初等积分法解出，若已知它的一个特解为，则作变换代入原方程化为以z为未知函数的bernoulli方程，从而可对bernoulli形式的方程用初等积分法求解。 例1 求方程的通解。 解： 根据上述条件取，对方程作变换，代入得解得，故原方

11、程的通解为：（c为任意常数）3.6 非齐次线性微分方程 我们讨论如下的n阶非齐次线性微分方程： 其中及都是区间上的连续函数。例1 求方程的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为 解：令，将它代入方程，则可得决定和的两个方程： 及解得：，由此，于是原方程的通解为：（其中为任意常数）3.7 变系数齐次方程众所周知，当今高阶变系数线性微分方程仍没有一般的解法，获得解析是很困难的，甚至是不可能的，因此，下面我们只研究二阶，三阶变系数线性方程。二阶变系数线性方程：其中是x的连续函数，二阶变系数线性方程作变换这里的是待定函数化为化为常数方程的条件是（c为常数） 例1 求方程的通解。 解：将原方程变

12、为则为常数，故令代入得，可求得其通解为代回原变量y得原方程的通解： 三阶变系数方程：（为常数），三阶变系数方程作变换化为常系数方程的条件是 例2 求方程的通解。 解：对方程作三角变换，根据上述条件知于是原方程化为常系数方程可求得方程的通解为：3.8 高阶微分方程一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解，下面讨论二类特殊方程的降阶问题，n阶微分方程一般的可写为方程不显含未知数x，或更一般地，设方程不含即方程呈形状若令则方程即降为关于y的阶方程，如果能够求得方程的通解：即，再经过k次积分得：其中为任意常数，可以验证这是方程的

13、通解。例1求方程的解。 解：令，则方程化为，这是一阶方程，积分后得即于是其中为任意常数。不显含自变量t的方程: 若令，并以它为新未知函数，而视x为新自变量，则方程就可降低一阶。例2 求解方程 解：令，直接计算可得，于是原方程化为：得或，积分后得，即，所以这就是原方程的解。四、变量变换的优越性通过以上对几类常微分方程的分析，不难看出，分离变换和变量代换的结合使用，是求解微分方程的重要方法之一，而恰当的变量代换又可以使方程简化，或是将多元一元化，或是将高阶低阶化，使方程形式变的相对简单，求解相对容易。因此，我们在求解微分方程时，应根据方程的特点，具体问题具体分析，将方程化为易于求解的类型。结束语从

14、以上所举微分方程实例可以看出，变量变换在求解方程过程中起着十分重要的作用，不仅对于一阶微分过程如此，对于线性微分方程来说，变量变换同样有着非常广泛的作用。例如，在研究电路理论和自动控制理论时，所建立的模型多数是常系数线性微分方程，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，常常采用变换法。它能把微分运算转化为代数运算，能把常系数线性微分方程转化为代数方程进行处理，从而可以使问题简化。 综上，求解某些微分方程时，应根据方程的特点，具体问题具体分析，将方程化为易于求解的类型参考文献 1王高雄, 周之铭等.常微分方程m . 北京: 高等教育出版社, 1982. 2 刘琼 一类二阶变系数微分方程的解 j 广西

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