数理方程课件：4_2 格林函数

1、14.2 4.2 格林函数格林函数对于在区域对于在区域有一阶连续偏导数的函数有一阶连续偏导数的函数我们有等式我们有等式在边界在边界还不能直接由还不能直接由(8)(8)式求出。式求出。此积分表达式表示函数此积分表达式表示函数但但狄利克雷问题狄利克雷问题或或诺依曼问题诺依曼问题的的解解上的数值上的数值表示出来。表示出来。nu中为中为调和函数调和函数，在，在, u及其法向导数及其法向导数上具上具u.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)内部的数值内部的数值在区域在区域可以用函数可以用函数u24.2 4.2 格林函数格林函数对于在区域对于在区域有一阶连续偏导数的函数有一

2、阶连续偏导数的函数我们有等式我们有等式所以为了求解所以为了求解狄利克雷问题狄利克雷问题，函数函数的概念。的概念。.nu中为中为调和函数调和函数，在，在, u上具上具.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8)我们自然首先想到我们自然首先想到从公式从公式(8)(8)中设法中设法消去消去还需要借助还需要借助格林第二公式格林第二公式.)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)为此，需要引入为此，需要引入格林格林3.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)在在格林第二公式格林第二公式(6)(6)中，取

3、中，取调和函数调和函数，vu,均为区域均为区域将上式与将上式与(8)(8)式相加得式相加得内的内的并且在并且在，则得，则得上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数.0dSnuvnvu.4141)(000dSnuvrrvnuMuMMMM(15)(15)4.)(11)(41)(000dSnMurrnMuMuMMMM(8)(8).)(dSnuvnvuduvvu(6)(6)如果选取如果选取调和函数调和函数.4141)(000dSnuvrrvnuMuMMMM(15)(15), v使之满足使之满足项就消失了，项就消失了，,|41|0MMrvnu这样这样(15)(15)式中的式中的于是有于是有.41)(00

4、dSvrnuMuMM(16)(16)5选取的选取的调和函数调和函数, v满足满足,|41|0MMrv于是有于是有.41)(00dSvrnuMuMM(16)(16)令令,41),(00vrMMGMM(17)(17)则则(16)(16)式可表示为式可表示为.)(0dSnGuMu(18)(18)称为称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函数格林函数),(0MMG其中其中( (或或上恒等于上恒等于0 0. .称为称为狄利克雷问题狄利克雷问题的的源函数源函数).).在在),(0MMG而且而且边界边界6),(|zyxfu,),(, 0),(zyxzyxu (19)(19),41),(00vrMMGMM(17

5、)(17).)(0dSnGuMu(18)(18)已经知道，已经知道，),(0MMG因此，如果因此，如果格林函数格林函数并且并且上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，如果如果拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话，在在它在它在那么问题那么问题(19)(19)的解可表示为的解可表示为.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)7|41|0MMrv,),(, 0zyxv ,41),(00vrMMGMM(17)(17)v应用应用(20)(20)求解拉普拉斯方程的求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题狄利克雷问题时，时，

6、关键在于要找到关键在于要找到格林函数格林函数(17)(17)是下面是下面特殊的狄利克雷问题特殊的狄利克雷问题的解的解由这个函数由这个函数v问题的格林函数问题的格林函数。),(0MMG其中其中确定的格林函数，称为确定的格林函数，称为第一边值第一边值.),()(0dSnGzyxfMu(20)(20)(21)(21)( (对于某些对于某些特殊区域特殊区域，如，如球域球域、半空间半空间等，可求出格林函数等，可求出格林函数) )8补充补充3 3 定义定义平面上第一边值问题的格林函数平面上第一边值问题的格林函数并并为此，我们需要借助公式为此，我们需要借助公式和和平面上的格林公式平面上的格林公式导出该问题导

7、出该问题解的积分表达式解的积分表达式.)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) )CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) )9在在格林公式格林公式(6(6) )中，取中，取调和函数，调和函数，vu,均为区域均为区域将上式与将上式与(8(8) )式相加得式相加得内的内的并且在并且在D，则得，则得CD 上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数.0CdSnuvnvuCMMMMdSnuvrrvnuMu.1ln211ln21)(000(15(15) )CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) ).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrn

8、MuMu(8(8) )10如果选取如果选取调和函数调和函数, v满足满足项就消失了，项就消失了，,|1ln21|0CMMCrvnu这样这样(15(15) )式中的式中的于是有于是有CMMdSvrnuMu.1ln21)(00(16(16) )CDdSnuvnvuduvvu.)(6(6) ).)(1ln1ln)(21)(000CMMMMdSnMurrnMuMu(8(8) )CMMMMdSnuvrrvnuMu.1ln211ln21)(000(15(15) )11令令,1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )则则(16(16) )式可表示为式可表示为CdSnGuMu.)(0(18(18)

9、)称为称为二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的格林函数格林函数),(0MMG其中其中上恒等于上恒等于0 0. .( (或称或称狄利克雷问题狄利克雷问题的的源函数源函数).).在在),(0MMG而且而且C边界边界CMMdSvrnuMu.1ln21)(00(16(16) )12),(|yxfuC,),(, 0),(Dyxyxu (19(19) )已经知道，已经知道，),(0MMG因此，如果因此，如果格林函数格林函数并且并且上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，如果如果二维二维拉普拉斯方程拉普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题上具有一阶连续偏导数的解存在的话，上具有一阶连续偏导数的解存在的话

10、，CD 在在CD 它在它在那么问题那么问题(19(19) )的解可表示为的解可表示为CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )CdSnGuMu.)(0(18(18) )13CMMCrv| )ln(|0121,),(,Dyxv 0v应用应用(18(18) )求解拉普拉斯方程求解拉普拉斯方程狄利克雷问题狄利克雷问题时，时，关键在于要找到关键在于要找到格林函数格林函数(17(17) )是下面是下面特殊的狄利克雷问题特殊的狄利克雷问题的解的解由这个函数由这个函数v问题的格林函数问题的格林函数。),(0MMG其中其中确定的格林函数，称为确定的格林函数，称为第一边值第一边值(21(21) )( (对于某些对于某些特殊区域特殊区域，如，如圆域圆域、半平面半平面等，可求出格林函数等，可求出格林函数) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )CdSnGuMu.)(0(18(18) )14,41),(00vrMMGMM(17)(17)格林函数格林函数在静电学中的在静电学中的物理意义物理意义：.410MMr处放一处放一单位正单位正电荷，电荷，0M则在自由空间则在自由空间中，中，设在点设在点它所产生的电位为它所产生的电位为在在导电面内导电面内的电位，可用函数的电位，可用函数则此