数理方程课件：5_4 贝塞尔函数的应用（含例2）

1、15.4 5.4 贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用贝塞尔函数应用极为广泛，本节我们仅选择最贝塞尔函数应用极为广泛，本节我们仅选择最简单的问题，以说明简单的问题，以说明用贝塞尔函数求解用贝塞尔函数求解数学物理数学物理问题的问题的要点与步骤要点与步骤。设有设有半径为半径为1 1的均匀薄圆盘，的均匀薄圆盘，圆圆周上周上的温度保持为的温度保持为0 0度度，初始时刻初始时刻圆盘内的温度分圆盘内的温度分例例1(1(热传导问题热传导问题) )布为布为,12rru),(truu 其中其中是圆盘内任一点的极半径，是圆盘内任一点的极半径， 试求试求圆盘内的温度分布。圆盘内的温度分布。解解所求温度所求温度满足二维齐

2、次热传导方程。满足二维齐次热传导方程。由于由于求解区域是圆域，求解区域是圆域，采用极坐标采用极坐标。由于定解条件与由于定解条件与无关，所以无关，所以于是定解问题如下：于是定解问题如下：2, 0|1ru),10()1(2ruruaurrrt .1|20rut(44)(44)(45)(45)(46)(46),()(),(tTrRtru,)1(2TRrRaTR RRrRTaT 12, 02TaT. 022 RrRrRr应用应用分离变量法分离变量法， 令代入代入(44)(44)得得由此得由此得(47)(47)(48)(48)3, 0|1ru),10()1(2ruruaurrrt .1|20rut(44

3、)(44)(45)(45)(46)(46), 02TaT. 022 RrRrRr(47)(47)(48)(48),|u,| )0(|R. 0) 1 (R由问题的物理意义可知，由问题的物理意义可知， 温度函数温度函数u应满足条件应满足条件因而函数因而函数R应满足应满足(49)(49)并且由并且由齐次边界条件齐次边界条件(45)(45)可得可得(50)(50)4(48)-(50)(48)-(50)构成了构成了0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程的固有值问题的固有值问题：0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(48)(48)的的通解通解为为),()()(00rDYrCJrR(48)(48), 022 RrRrRr

4、,| )0(|R. 0) 1 (R | )0(| R0) 1 (R, 0D, 0)(0J知知再利用条件再利用条件(50)(50)得得由条件由条件(49)(49)即即0)(0 xJ是是的零点。的零点。)(0m以以)(0 xJ表示表示. 0)()0(0mJ即即则得方程则得方程的正零点，的正零点，(50)(50)(49)(49)(48)(48)在条件在条件(49)(50)(49)(50)下的固有值及相应固有函数为下的固有值及相应固有函数为5)., 2, 1( m,2)0()0(mm.)()0(0rJrRmm, 02TaT(47)(47)0(m,)(2)0()(tammmeCtT),()(),(tTr

5、Rtru从而利用从而利用, 0|1ru),10()1(2ruruaurrrt .1|20rut(44)(44)(45)(45)(46)(46)现考虑方程现考虑方程将将代入方程代入方程(47)(47)得其得其通解通解可得可得).(),()0(0)(2)0(rJeCtrumtammm6, 0|1ru),10()1(2ruruaurrrt .1|20rut(44)(44)(45)(45)(46)(46),1)()0 ,(21)0(0rrJCrummm. )(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum.)(21)1 ()0(2110)0(02mmmJdrrJrrC根据根据叠加原理叠加原理，

6、方程，方程(44)(44)满足条件满足条件(45)(45)的解为的解为(51)(51)再由再由初始条件初始条件(46)(46)得得利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有7. )(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51)(51) .)()()()(02110002211mmmJdrrJrrC drrrJm10)0(0 dxxxJmm)0(002)0(1 )0(012)0(1mxxJm,1)0(1)0(mmJ,)0(xrm先计算分子，先计算分子， 令则则).()(01xxJxxJdxd8 dxxxJxmm)0(0024)0(1 )0(0

7、22)0(13)0(4)0(2)(1mxJxJmmmdrrJrm10)0(03 dxxJxmm)0(0034)0(1 dxxJxxJxmmm)0()0(0120134)0(21,)0(xrm先计算分子，先计算分子， 令令则则. )(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51)(51).)(21)1 ()0(2110)0(02mmmJdrrJrrC).()(01xxJxxJdxd)()(1xJxxJxdxdnnnn9,)(21)0(22)0()0(1)0(mmmmJJdrrJrm10)0(03,)0(xrm先计算分子，先计算分子， 令令则则. )(),(1)0(0)(2)0(m

8、mtamrJeCtrum(51)(51).)(21)1 ()0(2110)0(02mmmJdrrJrrCdrrrJm10)0(0,1)0(1)0(mmJ代入代入mC得得,)(4)0(212)0()0(2mmmmJJC10, 0|1ru),10()1(2ruruaurrrt .1|20rut(44)(44)(45)(45)(46)(46). )(),(1)0(0)(2)0(mmtamrJeCtrum(51)(51),)(4)0(212)0()0(2mmmmJJC将将mC代入代入(51)(51)即得问题即得问题(44)-(46)(44)-(46)的解为的解为.)(4),(2)0()()0(01)0

9、(212)0()0(2tammmmmmerJJJtru11由导体壁构成的空圆柱，由导体壁构成的空圆柱，圆柱的圆柱的高高为为例例2(2(圆柱形域内的电势圆柱形域内的电势) )u),(zuu和和下底下底的电势为的电势为0 0， 试求圆柱体内部的电势。试求圆柱体内部的电势。解解 由于区域为圆柱形，所以采用柱坐标系。由于区域为圆柱形，所以采用柱坐标系。 由于由于边界条件域角度边界条件域角度因此，所求的电势因此，所求的电势两个变量的函数两个变量的函数于是定解问题如下：于是定解问题如下：, h, b半径半径为为,U设设上底上底的电势为的电势为侧面侧面无关，无关，只是只是z ,|, 0|0Uuuhzz),0

10、,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54)其中其中U为常数。为常数。12),()(),(zZRzu01 ZRZRZRZZRRR 1, 0 ZZ. 022 RRR应用应用分离变量法分离变量法， 令令代入代入(52)(52)得得由此得由此得(55)(55)(56)(56),|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54)13,|u,| )0(|R. 0)(bR由问题的物理意义可知，由问题的物理意义可知， 电势函数电势函数u应满足条件应满足条件因而函数因而函数R应满足应满足(57)(5

11、7)并且由并且由齐次边界条件齐次边界条件(54)(54)可得可得(58)(58),|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54), 0 ZZ. 022 RRR(55)(55)(56)(56)14(56)-(58)(56)-(58)构成了构成了0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程的固有值问题的固有值问题：0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(56)(56)的的通解通解为为),()()(00DYCJR(56)(56), 022 RRR,| )0(|R. 0)(bR | )0(| R0)(bR, 0D, 0)(0bJ知知再利用条件再利用条件

12、(58)(58)得得由条件由条件(57)(57)b即即0)(0 xJ是是的零点。的零点。)(nm以以)(0 xJ表示表示. 0)()0(0mJ即即则得方程则得方程的正零点，的正零点，(58)(58)(57)(57)(56)(56)在条件在条件(57)(58)(57)(58)下的固有值及相应固有函数为下的固有值及相应固有函数为15)., 2, 1( m,2)0()0(bmm.)()0(0bJRmm)0(m,)()0()0(zbmzbmmmmeDeCzZ从而从而现考虑方程现考虑方程将将代入方程代入方程(55)(55)得其得其通解通解).()(),()0(0)0()0(bJeDeCzumzbmzbm

13、mmm,|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54), 0 ZZ(55)(55)16, 0)()()0 ,(1)0(0mmmmbJDCu. )()(),(1)0(0)0()0(mmzbmzbmbJeDeCzumm)., 2, 1(0 mDCmm根据根据叠加原理叠加原理，方程，方程(52)(52)满足条件满足条件(54)(54)的解为的解为(59)(59)再由条件再由条件(53)(53)中的中的第一式第一式得得于是得于是得,|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53

14、)(54)(54)(60)(60)17,)()(),(1)0(0)0()0(UbJeDeChummhbmhbmmm,|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54). )()(),(1)0(0)0()0(mmzbmzbmbJeDeCzumm根据根据叠加原理叠加原理，方程，方程(52)(52)满足条件满足条件(54)(54)的解为的解为(59)(59)再由条件再由条件(53)(53)中的中的第二式第二式得得利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有18.)(2)0(2120)0(0)0()0

15、(mbmhbmhbmJbdbUJeDeCmm利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(61)(61)dbUJbm0)0(0 dxxxJUbmm)0(002)0(2 )0(012)0(2mxxJUbm,)0(1)0(2mmJUb,)0(xbm先计算分子，先计算分子， 令令则则则则(61)(61)式化简为式化简为19.)(2)0(1)0()0()0(mmhbmhbmJUeDeCmm利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(61)(61)., 2, 1(0 mDCmm(60)(60),)(sh)0(1)0()0(mmmmhJ

16、bUC联立联立(60)(61)(60)(61)可解得可解得.)(sh)0(1)0()0(mmmmhJbUD2shxxeex20将将mmDC ,代入代入(59)(59)即得问题即得问题(52)-(54)(52)-(54)的解为的解为.shsh2),()0(0)0(1)0(1)0()0(bzJbhJbUzummmmmm,|, 0|0Uuuhzz),0,0(01hzbuuuzz , 0|bu(52)(52)(53)(53)(54)(54),)(sh)0(1)0()0(mmmmhJbUC.)(sh)0(1)0()0(mmmmhJbUD. )()(),(1)0(0)0()0(mmzbmzbmbJeDeC

17、zumm(59)(59)21设有一设有一半径半径为为圆形膜，圆形膜，圆周固定圆周固定，例例3(3(圆形膜轴对称振动问题圆形膜轴对称振动问题) )u),(truu 高度高度突然放手突然放手任其振动任其振动，解解由于方程是齐次的，并且定解条件与角度由于方程是齐次的，并且定解条件与角度因此，在极坐标系下位移函数因此，在极坐标系下位移函数两个变量的函数两个变量的函数于是定解问题如下：于是定解问题如下：0hB的的 若在膜的若在膜的中心中心掀起一个掀起一个很小很小而而静止静止，无关，无关，只是只是tr ,. 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(6

18、2)(62)(63)(63)(64)(64)试求该膜的试求该膜的振动规律。振动规律。22),()(),(tTrRtruTRrRaTR)1(2 RRrRTaT 12, 02 TaT. 022 RrRrRr应用分离变量法，应用分离变量法， 令令代入代入(62)(62)得得由此得由此得(65)(65)(66)(66). 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64)23,|u,| )0(|R. 0)(BR由问题的物理意义可知，由问题的物理意义可知， 位移函数位移函数u应满足条件应满足条件因而函数因而函数R

19、应满足应满足并且由并且由齐次边界条件齐次边界条件(63)(63)可得可得(67)(67). 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64), 02 TaT. 022 RrRrRr(65)(65)(66)(66)24从而构成了从而构成了0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程的固有值问题的固有值问题：0 0阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(66)(66)的的通解通解为为),()()(00rDYrCJrR(66)(66), 022 RrRrRr,| )0(|R. 0)(BR | )0(| R0)(BR, 0D, 0)(0

20、BJ知知再利用条件再利用条件(67)(67)得得由由有界有界条件条件B即即0)(0 xJ是是的零点。的零点。)(nm以以)(0 xJ表示表示. 0)()0(0mJ即即则得方程则得方程的正零点，的正零点，(67)(67)(66)(66)在在有界有界条件及条件及(67)(67)下的固有值及相应固有函数下的固有值及相应固有函数为为25)., 2, 1( m,2)0()0(Bmm.)()0(0rBJrRmm)0(m,sincos)()0()0(tBabtBaatTmmmmm从而从而现考虑方程现考虑方程将将代入方程代入方程(65)(65)得其得其通解通解).()sincos(),()0(0)0()0(r

21、BJtBabtBaatrummmmmm, 02 TaT(65)(65). 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64)26, 0)()0(0)0(rBJbBmmm. )()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru)., 2, 1(0 mbm根据根据叠加原理叠加原理，方程，方程(62)(62)满足条件满足条件(63)(63)的解为的解为(68)(68)再由再由初始条件初始条件(64)(64)中的中的第二式第二式得得于是得于是得. 0|),1 (|00tttu

22、Brhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64)27),1 ()()0 ,(1)0(0BrhrBJarummm利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有. 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64). )()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru根据根据叠加原理叠加原理，方程，方程(62)(62)满足条件满足条件(63)(63)的解为的解为(68)(6

23、8)再由再由初始条件初始条件(64)(64)中的中的第一式第一式得得28.)()()()(021200021mBmmJBdrrBJBrrha利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(69)(69)drrBrJhBm0)0(0 dxxxJhBmm)0(002)0(2 )0(012)0(2mxxJhBm,)0(1)0(2mmJhB,)0(xrBm先计算分子，先计算分子， 令令则则29.)(2)1 ()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(69)(69)drrBJrBh

24、Bm0)0(02 dxxJxhBmm)0(0023)0(2,)0(xrBm先计算分子，先计算分子， 令令则则 dxxxJxhBmm)0(003)0(2 dxxxJxJxhBmmm)0()0(010123)0(230)0(1)0(2mmJhB,)()0(003)0(2mdxxJhBm dxxJxxJJhBmmmmm)0()0(0000)0(12)0(3)0(2)()(.)(2)1 ()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(69)(69)drrBJrBhBm0)0(02,)0(xrBm先计算分子，先计算分

25、子， 令令则则 dxxxJxJxhBmmm)0()0(010123)0(231)0(1)0(2mmJhB,)()0(003)0(2mdxxJhBm.)(2)1 ()0(2120)0(0mbmmJBdrrBJBrrha利用利用傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数公式公式(43)(43)则有则有(69)(69)drrBJrBhBm0)0(02drrBrJhBm0)0(0,)0(1)0(2mmJhB.)()(2)0(00)0(213)0(mdxxJJhammm将以上结果代入将以上结果代入(69)(69)式得式得32将将mmba ,代入代入(68)(68)即得问题即得问题(62)-(64)(62)-(64)的解为的解为.cos)(2),()0(0)0(100)0(213)0()0(rBJBtadxxJJhtrummmmmm. 0|),1 (|00tttuBrhu ),0(1(2Bruruaurrrtt ), 0|Bru(62)(62)(63)(63)(64)(64),)()(2)0(00)0(213)0(mdxxJJhammm)., 2, 1(0 mbm. )()sincos(),(1)0(0)0()0(mmmmmmrBJtBabtBaatru(68)(68)内容小结内容小结1.n阶阶贝塞尔方程的固有值问