选修45基本不等式三元均值不等式经典实用

1、选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)11/1/2021 三个正数的算术-几何平均不等式选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)复习回顾复习回顾22,2,a brababab1.基本不等式: (1)如果，那么 当且仅当时，等号成立(2),0,2aba babab如 果， 那 么 当 且 仅 当时 ， 等 号 成 立 2(3),0() ,2aba babab如果，那么当且仅当时，等号成立选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)问题探讨问题探讨222( ,),abab a br3.我们先考虑把不等式 推广到三个正数的情形 结果是什么？( ,)2,abab a br1.把 不 等 式推 广 到 三

2、 个 正 数 的 情 形 结 果 是 什 么 ？3( , ,).3abcabc a b cr3333( , ,)abcabc a b cr2.怎么证明以上不等式？选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)问题探讨问题探讨333, ,3a b crabcabc已知求证，并探讨等号成立的条件3333abcabc证:3223223(33)333aa babba babcabc3322()333abca bababc22()()()3()abcabab ccab abc222()23abc aabbacbccab222()abc abcabbcac33223()33xyxx yxyy3322()()xy

3、xy xxyy选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)问题探讨问题探讨333, ,3a b crabcabc已知求证，并探讨等号成立的条件3333abcabc证:2221()2222222abcabcabbcac2221()()()() 0,2abcabbcac3333,abcabcabc当且仅当时，等号成立选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)问题探讨问题探讨3( , ,)3abcabc a b cr怎么证明不等式？3333333()()()3abcabcabc证：，abc当且仅当时，等号成立3333( , ,)abcabc a b cr3, ,3abca b crabcabc 如果那么，

4、当且仅当时，等号成立定定理理3 3即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)定理3可以推广一般的情形：3, ,.3abca b crabc若则（）121212,.nnnnaaaa aara aan若则（）2,.2aba brab若则（）基本不等式的变形：选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)例例1 1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值. .()( ,)yxx211303 10,1 30,3xx 故得解解：24 33(1 3 )(1 3 )922xxyxxx34 3 /23 /2 1 31.932

5、43xxx 3213 ,29xxx当即当 且 仅时 ，21(1 3 )243yxx函数取最大值选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)xyz当且仅当当且仅当xy=yz=xz, xy=yz=xz, 即即x=y=zx=y=z时，时，v v2 2有最大值，有最大值，证：证： 设长方体同一顶点处的三条棱长设长方体同一顶点处的三条棱长分别为分别为x,y,z, x,y,z, 体积为体积为v,v,表面积表面积为为s s，则，则s=2(xy+yz+xz),s=2(xy+yz+xz),于是得于是得例例2 2 求证求证: :在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中, ,以正方体的体积以正方体的体积最大最大.

6、.()vxyzxy xz yz22 ()( )xyxzyzs3336 ，从而可知，表面积为定值从而可知，表面积为定值s s的长方体中，以正方的长方体中，以正方体的体积最大体的体积最大. .选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)例例3:3: 如图，把一块边长是如图，把一块边长是a a 的正方形铁片的各角切的正方形铁片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时？才能使盒子的容积最大？少时？才能使盒子的容积最大？xa解解: : 设小正方形边长为设

7、小正方形边长为x, x, 盒子的容积为盒子的容积为v,v,则则21(2 )(2 ) (2 ) 4 4vaxxaxaxx331 (2 )(2 )42,4327axaxxa24 ,6aaxxx当且仅当即时, 等号成立,即小正方形的边长是原正方形边长312627a的 时, 盒子的容积取最大值选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)课堂练习：课堂练习：211.(1 5 ) (0)5yxxx求函数的最大值max24.15675xy当时,答答案案: :2,8,2x yrxyxy2.若且求的最小值2,22xyxy当时,取最小值6答答案案: :223.(0)yxxx求函数的最小值min13.xy当时,答答案案: :270,()xyxxy y-4.若求则的最小值为 9 9 选修4-5 基本不等式(三元均值不等式) 小小 结结1.基本不等式：22,2a brabab若，则,2aba brab若则333, ,3a b crabcabc若则3, ,3abca b crabc若则121212,.nnnnaaaa aara aan若则选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)3, ,.3abca b crabc若则（）12121 2,.nnnnaaaa aaraaan若则（）2,.2a