空间直线的一般方程经典实用

1、空间直线的一般方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空间直线的一般方程空间直线的一般方程l一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 注：表示同一直线的一般方程不唯一。注：表示同一直线的一般方程不唯一。第八节第八节 空间直线及其方程空间直线及其方程空间直线的一般方程确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

2、由空间的一点和一个方向来确定一条直线。空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：sl,),(0000lzyxm 设设定定点点0m m ,),(lzyxm smm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 二、空间直线的参数方程与对称式方程二、空间直线的参数方程与对称式方程 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一条已知直线一条已知直线l l，向量，向量 称为称为直线直线l l的的方向向量方向向量ss,000pnmtzzyyxx 则则整理发布整理发布空间直线的一般方程直线的对称式方程直线的对称式方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方

3、向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程消去参数消去参数t，有，有空间直线的一般方程注：注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可转化为一般方程 ; 4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.),(),(222111zyxnzyxm直直线线过过直直线线的的两两点点式式方方程程：设设 121212,zzyyxxs 则则121121121zzzzyyyyxxxx 直直线线方方程程为为：pzznyyxx0000. 3 .,000pzzny

4、yxx理解为理解为:空间直线的一般方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 空间直线的一般方程因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx空间直线的一般方程例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( a，且且和和y轴轴垂垂直直相相交

5、交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx空间直线的一般方程定义定义直线直线:1l,111111pzznyymxx 直线直线:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角空间直线的一般方程两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll

6、 , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直线直线:1l直线直线:2l,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21ll 即即空间直线的一般方程例例 4 4 一一直直线线 l 过过点点(-3,2,5)，且且和和直直线线 15234zyxzx平平行行，求求其其方方程程. 解解 所求直线方程所求直线方程.153243 zyx1 , 3 , 451240121 kjinns方法方法2:设设,pnms 13405204,21pnmpnmpmnsns 1 , 3 , 4 s取取空间直线的一般方程例例5 5 一直线过点一直

7、线过点m0(2,1,3)， 且与直线， 且与直线l: 12131 zyx垂垂直相交，求其方程直相交，求其方程. 取取4 , 1, 210 mkms所求直线方程所求直线方程.431122 zyx解解设所求直线为设所求直线为l , 先求两直线的交点。先求两直线的交点。llm1m0过点过点m0做平面垂直于直线做平面垂直于直线l：3x+2y-z=5代代入入平平面面方方程程的的参参数数方方程程： tztytxl2131所以交点为所以交点为 m1(2/7, 13/7, -3/7)空间直线的一般方程定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的

8、夹角 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 空间直线的一般方程222222|sinpnmcbacpbnam 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam .cos 2 cossin2 空间直线的一般方程例例 6 6 设直线设直线:l21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sin

9、pnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角空间直线的一般方程称称为为平平面面束束。全全部部平平面面组组成成的的平平面面族族定定义义：通通过过一一条条直直线线的的 0022221111dzcybxadzcybxal：0)()(2222211111 dzcybxadzcybxal 束束为为的的全全部部平平面面组组成成的的平平面面则则过过直直线线不同时为零。不同时为零。，21 0)()(22221111 dzcybxadzcybxal 的的面面束束为为则则过过直直线线五、平面束五、平面束空间直线的一般方程例例7 7解解.401284,

10、0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量空间直线的一般方程由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx空间直线的一般方程例例8 8解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(2

11、10lxzxylxzxylm都都相相交交的的直直线线且且与与两两直直线线求求过过点点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxltztytxl的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21, lll).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttbttta和和空间直线的一般方程,)1 , 1 , 1(0三点共线三点共线与与bam).(00为为实实数数故故 bmam 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是bmam,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(ba ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同在直线同在直线和和点点lb