第七章导行电磁波

1、 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波1第七章第七章 导行电磁波导行电磁波 7.1 导行电磁波的一般分析7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性 7.3 矩形波导 7.4 圆柱形波导 7.5 波导的损耗 7.6 同 轴 线 7.7 谐振器 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波2 本章主要讨论矩形波导、圆柱形波导和同轴线的传输模式、场分布以及传输特性。还将讨论几种常用微波谐振器的场分布和主要参数。 用以引导电磁波传输的装置称为导波装置导波装置，或称为传输线或导行系统。在导波装置中沿一定方向传输的电磁波称为导行电磁波导行电磁波。如果导波装置的横截面尺寸、形状、介质分布、材料及边界均沿传输方向不变，

2、则称之为规则导波装置规则导波装置。常用的导行系统如图7-1所示。其中最简单、最常用的是矩形波导、圆柱形波导和同轴线。 如果将一段波导的两端短路或开路，就可以构成微波谐振器。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波3图 7-1 常用的导波装置 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波47.1 导行电磁波的一般分析 一个理想的导行系统由无限长理想导体壁和各向同性均匀理想介质填充所构成。 分析导行电磁波，就是要得出导行电磁波沿轴向（纵向）的传播规律和电磁场在横截面内的分布情况。这里采用纵向分量法分析其电磁场分布。纵向分量法的思想是，将导行系统中的电磁场矢量分解为纵向分量和横向分量，由亥姆霍兹方程得出纵向分量满

3、足的标量微分方程，求解该标量微分方程，得到纵向分量；再根据麦克斯韦方程组，找出横向分量与纵向分量之间的关系，用纵向分量来表示横向分量。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波5z7.1.1 导行电磁波的表达式 无源区域内，时谐电磁场满足齐次亥姆霍兹方程：022eke022hkh （7-1-1a） （7-1-1b） 在导行系统中，电磁波沿其轴向（纵向）传播。建立广义柱坐标系 。对于规则导行系统，电磁场在横截面内的分布与纵向坐标 无关，行波状态下沿 方向传播的导行电磁波可写为 ),(21zuuzzz-2121e),(),(uuezuuez-2121e),(),(uuhzuuh（7-1-2a） （7-1

4、-2b） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波6 拉普拉斯算子可写为222t2z （7-1-3） 将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得),(),(2121uuhuue、满足的方程： 0),(),(212c212tuuekuue0),(),(212c212tuuhkuuh（7-1-4a） （7-1-4b)）其中222c kk（7-1-5） 0ckck 当 时， 称为本征值，由导行系统的边界条件和传输模式决定。导行系统问题归结为求解方程（7-1-4）。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波77.1.2 导波场纵向分量与横向分量的微分方程 将电磁场矢量表示为横向分量和纵向分量之和

5、，即zzeeeetzzhehht （7-1-6a）（7-1-6b） 将式（7-1-6）代入式（7-1-4），可得到关于电场 ),(21uue以及磁场 ),(21uuh横向分量的矢量亥姆霍兹方程和纵向分量的标量亥姆霍兹方程，即0),(),(21t2c21t2tuuekuue0),(),(212c212tuuekuuezz0),(),(21t2c21t2tuuhkuuh0),(),(21z2c212tuuhkuuhz （7-1-7a） （7-1-7b） （7-1-7c）（7-1-7d） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波8 矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此通常并不直接

6、求解 和 ，而是结合导行系统的边界条件求解标量波动方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到纵向场分量后，再利用场的横向分量与纵向分量之间的关系求得所有横向分量。场的横向分量与纵向分量之间的关系式可由麦克斯韦方程组导出。 teth 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波97.1.3 导波场的横向分量与纵向分量之间的关系式 哈密顿算子也可表示为横向分量与纵向分量之和，即zezt（7-1-8） 将式（7-1-6）和（7-1-8）代入无源区域时谐场麦克斯韦方程组的两个旋度方程，并注意到对于行波状态下的导行波有 z可得 tttjehehezzzzzeehjtttttjheeeezzzzzehejtt （

7、7-1-9a） （7-1-9b） （7-1-9c） （7-1-9d） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波10 易看出，只要做变换 、 就可以由式（7-1-10）中的任一式写出另外一式。 由横向方程 (7-1-9a) 和（7-1-9c）可以求得 、 teth，用 j乘以式（7-1-9a），对式（7-1-9c）作 ze运算， 然后两式相加，并利用矢量恒等式 aaa)(cbabcacba)()(，整理可得zzzeheekttt2cj同理可得 zzzeehhkttt2cj（7-1-10a） （7-1-10b） 可见，只要求得了导波场的纵向分量，由式（7-1-10）便可确定导波场的所有横向分量。式（7-

8、1-10）即为行波状态下场的横向分量与纵向分量之间的关系式，简称行波横-纵关系式。he 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波11 在广义柱坐标中， 222111t11uheuhe式（7-1-10）可写为分量形式： )j(122112c1uhhuhekezzu)j(111222c2uhhuhekezzu)j(122112c1uheuhhkhzzu)j(111222c2uheuhhkhzzu（7-1-11a）（7-1-11b） （7-1-11c）（7-1-11d） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波12 zzuuheteej21 zzuuehthhj21， （7-1-12a）其中 112222112

9、c1uhuhuhuhkt （7-1-12b） 式（7-1-11）还可以写成便于记忆的矩阵形式： 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波13的主模。单导体结构的规则金属波导中不能传输tem波。这是因为，tem波的电磁场均在导行系统的横截面内，且电场、磁场相互垂直。由 可知，磁场必须围绕传导电流和（或）位移电流构成闭合回路。 即电磁场各分量均在横截面内，则此种传输波型称为横电磁波，简称tem波或tem模。对于tem波， 。 若电场和磁场在传播方向上的分量 、 ，7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性7.2.1 导行波波型的分类 导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场结构形式，也称为

10、传输模式。导行波波型大致分为三类。 1.tem波0ze0zh0ck tem波是双导体结构传输系统（例如平行双导线、同轴线）djjjejh 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波14 2.te波和tm波 若电场在电磁波传播方向上的分量 ，即电场仅在横截面内，则此种波型称为横电波，简称te波或h波。 在单导体结构的金属波导中，电流只存在于波导壁表面上，而在其内部不存在传导电流。因此，横向磁场必然要由纵向电场所产生的位移电流 来维系。而tem波的纵向场为零，所以不可能存在tem波。zej0ze 若磁场在电磁波传播方向上的分量0zh面内，则此种波型称为横磁波，简称tm波或e波。 ，即磁场仅在横截 te波和

11、tm波的0ck导体结构的规则金属波导，如矩形波导、圆柱形波导。 。常用的te波和tm波传输系统是单3.表面波 所谓表面波是指电磁波沿传输线表面传播的波型。表面波是te波和tm波的混合模式。常用的表面波传输系统有介质波导和光纤等。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波15和 。 7.2.2 导行波的传输特性 1.截止波长与传输条件 由导行电磁波的表达式（7-1-2）可知，导行波的传输状态取决于传播常数，而满足关系： （7-2-1）22c2kk 对于无损耗的理想导行系统， 2k是实数， 波长。 ck是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也是实数。令 ，ccc2kc 因此，随着工作波长的不同，

12、 称为截止波长。2 的取值有三种可能，即 020202、 为工作 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波16这表明，导行系统中的电磁场沿传输方向（ 轴）按指数规律02c 1） ，即 ，则 为实数，导波场表示为zuuezuue-2121e ),(),(zuuhzuuh-j2121e ),(),(（7-2-3a） （7-2-3b）z02时为截止状态。衰减，不是传输的波，故称02cj2），即，则为虚数，导波场表示为zuuezuue-j2121e ),(),(zuuhzuuh-j2121e ),(),(（7-2-3a） （7-2-3b） z02上式表明，导行系统中的电磁场是沿轴传输的等幅波，故称时为传输状

13、态。02c3） ，即 ，此时),(),(2121uuezuue),(),(2121uuhzuuh（7-2-4a） （7-2-4b） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波17可见，导行系统中的电磁场不是传输波，称为临界截止状态。 cc由上述可知，当 时为传输状态，而故导行系统的传输条件为时为截止状态，c （7-2-5） 2相速、波导波长与群速无耗的传输状态下，j ，由式（7-2-1），有2c2c2)(12kk （7-2-6） 按相速的定义，可得导行波的相速表达式：2cp)(1vv （7-2-7） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波182g导行系统中，沿轴向相位差为的两点之间的距离称为。根据波导波长

14、的定义，有 波导波长，记为2cpg)(12fv（7-2-8） 根据群速的定义，并由2c22c22kk （7-2-9）可得导行波群速gv的表达式：2cg)(1ddvv（7-2-10） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波19 ，因而，其相速和群速都是频率的函数，即te波和tm波为色散波。对于tem波， ，则有， 显然，相速和群速满足关系2gpvvv（7-2-11） 由式（7-2-7）和（7-2-10）可见，对于te波和tm波， 0ck0ckrrgpcvvv其传播速度与频率无关，因此tem波为非色散波。 3波阻抗 ， 导行系统中，传输模式的横向电场分量振幅与横向磁场分量振幅之比称为导行波的波阻抗，记

15、为 ，即wz1221ttwuuuuhehehez （7-2-12） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波200zej对于te波，注意到 ，由行波横纵关系式（7-1-11），可得2cwte)(1z （7-2-13）对于tm波，0zh，同理可得2cwtm)(1z（7-2-14） 由波阻抗的定义和式（7-1-10），可以得到，无论是te波还是tm波，其电场横向分量与磁场横向分量之间存在如下关系：zehzetwttwt1eezhz， （7-2-15） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波214传输功率导行波的复坡印廷矢量为 *21hes可得，沿导行系统 + z 方向传输的平均功率为ehehepzd)(re

16、21d)(re21*tthzezd2d212tw2tw （7-2-17）这里为导行系统的横截面面积。对于tem波，有rrrr0wtem120z （7-2-16），利用式（7-2-15） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波227.3 矩形波导 规则矩形波导（简称矩形波导）的横截面为矩形，它是微 波导行系统的主要形式。对于矩形波导，横截面坐标采用直角 坐标 ，设矩形波导横截面的宽边尺寸为 ，窄边尺为 ， ),(yxab如图7-3-1所示。 图 7-3-1 矩形波导 在单导体结构的波导中，只能存在te波和tm波。下面具体分析矩形波导中的这两种波型。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波23 7.3.1

17、 矩形波导中的te波 行波状态下，te波满足0ze， z-je),(),(yxhzyxhzz （7-3-1）其中， ),(yxhz满足标量波动方程： 0),(),(2c2tyxhkyxhzz（7-3-2） 在直角坐标系中，上述方程可写为02c2222zzzhkyhxh （7-3-3） 对于规则矩形波导，可应用分离变量法，令)()(),(yyxxyxhz （7-3-4） 将上式代入式（7-3-3），整理可得 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波24当传输模式一定时， 2c2222)(d)(1d)(d)(1kdyyyyyxxxxx（7-3-5）ck为常数。令222d)(d)(1xkxxxxx222)

18、(d)(1ykdyyyyy则有 0)(d)(d222xxkxxxx0)(d)(d222yykyxyx（7-3-6a）（7-3-6b） 其中 2c22kkkyx （7-3-7）， 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波25 式（7-3-6a）和（7-3-6b）均为二阶常系数齐次微分方程，其解为)sin()cos()(21xkaxkaxxxx)sin()cos()(21ykbykbyyyy 将 )(xx和 )(yy的解代入式（7-3-4），可得方程（7-3-2）的解： )sin()cos()sin()cos(),(2121ykbykbxkaxkayxhyyxxz（7-3-8） 式中 1a 、 、 、

19、2a1b2b和 xk、 yk为待定常数，由边界条件、 传输模式以及激励源的强度来确定。 由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件，可得te波的电场在波导内壁上所满足的边界条件：0, 0axye， 0,0byxe 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波26 根据行波横-纵关系式（7-1-11），有0j, 02caxzyxhke0j, 02cbyzxyhke即0, 0axzxh， 0, 0byzyh（7-3-9） 综合以上两式，对于任何金属波导，te波的边界条件可概括为 0波导壁上nhz（7-3-10)将式（7-3-8）代入式（7-3-9），可得02a3 , 2 , 1 , 0mamkx （7-3-1

20、1a）、 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波2702b 将式（7-3-11）代入式（7-3-8），并令 3 , 2 , 1 , 0nbnky（7-3-11b）mnhba11 ，可以 得到矩形波导中te波的磁场纵向分量的基本解为zj -)e(cos)cos(),(ybnxamhzyxhmnz （7-3-12）其中， mnh的值由激励源的强度决定； nm、称为波型指数， 分别表示场在横截面内沿宽边和沿窄边的半驻波个数。 nm,不同，其场的结构就不同，故不同的 nm、代表不同的模式，称为mnte模或 mnh模。每一种模式可以单独存在于矩形波导 中，多种模式也可以同时存在于矩形波导中。因此，所有 nm

21、、的组合也是方程（7-3-2）的解，于是， mnte模纵向磁场分量的一般解为00zj -)e)cos(cos(),(mnmnzybnxamhzyxh（7-3-13a）、 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波28将上式以及 0ze代入行波横-纵关系式（7-1-11），可 mnte模的所有横向电磁场分量：00zj -2c)e)sin(cos(j),(mnmnxybnxamhbnkzyxe00zj -2c)e)cos(sin(j),(mnmnyybnxamhamkzyxe00zj -2c)e)cos(sin(j),(mnmnxybnxamhamkzyxh00zj -2c)e)sin(cos(j),(m

22、nmnyybnxamhbnkzyxh（7-3-13b） （7-3-13c） （7-3-13d） （7-3-13e）其中222c)()(bnamk （7-3-14）式（7-3-13）是矩形波导中 mnte模的一般表达式。由此可见， nm、不能同时取零，即矩形波导中不存在 00te模，但可以 0tem模、 n0te模和 )0,(tenmmn模。 存在 得到 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波297.3.2 矩形波导中的tm波 行波状态下，tm波满足0zh， z-je),(),(yxezyxezz（7-3-15） 其中， ze满足标量波动方程： 0),(),(2c2tyxekyxezz（7-3-16

23、） 同理可以解得)sin()cos()sin()cos(),(2121ykbykbxkaxkayxeyyxxz（7-3-17） 由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件，tm波的边界条件可概括为0波导壁上ze（7-3-18） 对于矩形波导，具体表示为0),() 0 ,(),(), 0 (bxexeyaeyezzzz （7-3-19） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波30将式（7-3-17）代入式（7-3-19），可得01a, 3 , 2 , 1mamkx（7-3-20a）01b, 3 , 2 , 1nbnky （7-3-20b） 所以， mntm模纵向电场分量的一般解为11zj -e )si

24、n()sin(),(mnmnzybnxamezyxe（7-3-21a） 将上式以及 0zh代入行波横-纵关系式（7-1-11），可得 mntm模的所有横向电磁场分量：11zj -2c)esin()cos(j),(mnmnxybnxameamkzyxe（7-3-21b）11zj -2c)ecos()sin(j),(mnmnyybnxamebnkzyxe（7-3-21c） 11zj -2c)ecos()sin(j),(mnmnxybnxamebnkzyxh（7-3-21d)）11zj -2c)esin()cos(j),(mnmnyybnxameamkzyxh（7-3-21e） 第七章第七章 导行电

25、磁波导行电磁波31式中，222c)()(bnamk 为使场量不为零，式（7-3-21）中的波型指数 nm、能取零，因此，不存在诸如 00tm0tmm和 n0tm这样的波型。 注意，矩形波导中，可以存在 0tem和 n0te模，却不能存在 0tmm和 n0tm模。尽管te波和tm波的场方程具有对偶的形式， 但是，由理想导体表面电场切向分量为零的边界条件所导出的te波和tm波的边界条件表达式却不具有对偶性，导致了这两种模式选择条件的差异。 由上述分析可知，矩形波导中能够存在 mntemntm无穷多 种模式。但在实际系统中究竟哪些模式确实存在，以及这些模 式的强度分布如何，则要由激励源的频率、激励方

26、式、波导横截面尺寸和波导中填充的介质等具体因素来决定。均不 、 、 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波327.3.3 矩形波导的截止波长 矩形波导中， ntem模和 ntmm模的截止波数均为22c)()(bnamk （7-3-21）故截止波长为22cc)()(22bnamk （7-3-22） 将上式代入式（7-2-6）（7-2-10），可得各 ntem、 ntmm模的传播常数、相速、群速、波导波长和波阻抗。 由导行系统的传输条件可知，当工作波长 小于某 ntem模 ntmm的截止波长c时，电磁波就能够以此模式在导行系统中 和传播，此模式称为传输模。而当工作波长 大于某模式的截止 第七章第七章

27、导行电磁波导行电磁波33长最长的传输模式称为波导的主模或最低次模，其它模式均为高次模。 波长 时，该模式就不能在波导中传输，称为截止模。截止波在ba2图 7-3-2 不同模式截止波长的分布 矩形波导的主模是 10te模。并且，对于相同的 m和 ， nntemntmm模和 模的截止波长相同。这种不同模式具有相同截 止波长的现象称为简并现象，这些模式称为简并模。对于矩形 c的矩形波导中，不同模式截止波长的分布情 况如图7-3-2所示。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波34当ntmm模是简并的，也称为波导，ntem和 mn、 分别相等时，e-h简并。【例】规则金属矩形波导bj-100 (a=22.

28、86mm, b =10.16mm)， 其中填充 1 . 2r的聚四氟乙烯。 求截止波长较长的前五个模式 的截止频率。 若工作频率分别为9ghz和11ghz， 问波导中可能 存在哪些模式？ 解： 由 ，22c)()(2bnamcrcccvf，可得 对于 模， ， ； 10tecm572. 42c azcgh528. 4f对于 模， ， ； 20tecm286. 2c azcgh056. 9f对于 模， ， ； 01tecm032. 22c bzcgh188.10f对于 和 模 ， ， ； 11te11tmcm857. 1222cbaabzcgh149.11f 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波3

29、5足 ，故仅可以存在 模。当工作频率为9ghz时，工作波长 ， cm300. 2满足 1020tectec)()(，或 2010tectec)()(fff即仅有 模满 10tecff 10te当工作频率为11ghz时，工作波长 ， cm882. 1此时满足 传输条件 的有 、 和 三种模式 ， c10te20te01te中可以存在这三种模式。 故该系统 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波36（ 模）是矩形波导的主模，7.3.4 矩形波导中的10te模 10te10h 模式，其优点是场结构简单、频带宽、损耗小、传输稳定，而它是矩形波导中最常用的1、10te模的场结构10te 模的场复数表达式：

30、zzxahhj -10e)cos(zyxahazyxej -10)esin(j),(zxxahazyxhj -10)esin(j),(0),(),(),(zyxhzyxezyxeyzx（7-3-23a）（7-3-23b）（7-3-23c）（7-3-23d） 而且易于激励和实现单模传输。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波37 其瞬时值表达式为)cos(cos(),(1010ztxahtzyxhz)sin(sin(),(1010ztxahatzyxey)sin(sin(),(1010ztxahatzyxhx0),(),(),(tzyxhtzyxetzyxeyzx （7-3-24a）（7-3-24

31、b）（7-3-24c） （7-3-24d） 10te模的电场只有 ye分量，磁场有 xh和 zh与 y无关，这表明场的各分量沿 y分布。 ye沿 x轴（即波导宽边）0 x、 ax 处， ye和 均为零，在 2ax 处 和 xh均为最大值； 均呈正弦分布，在ye和 xhxh分量，它们 轴（即波导窄边）均匀 zh沿 x轴呈余弦分布，在 0 x和 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波38 的幅值最大，在 处 为零。因此， 、 和 沿波导宽边都是半个驻波分布。 和 在 平面内构成闭合回路。 、 和 沿 轴和 轴的瞬时分布如图7-3-3所示。 模的瞬时场结构如图7-3-4所示。zhax 处 zh2ax y

32、exhzhxhzhxzyexhzhxz10te 图 7-3-3 轴的瞬时分布 yexhzhzh和 沿 xz、 和 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波39模的瞬时场结构 10te图 7-3-4 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波40 在 平面上 2.10te模在波导内壁上引起的电流分布 理想导体表面面电流密度为 入，可得 hejsn10te模在波导内壁上引起的面电流分布：将式（7-3-24）代 0 xjss100eeeeezyxzzyzyxjjhhh （7-3-25a） 在 平面上 ax-jss10aeeeeezyxzzyzyxjjhhh （7-3-25b） 在 平面上 0ys0e(ee)(ee

33、)yxxzzxzzxyjhhhh-j10j ae cos()esin()ezxzhxxaa（7-3-25c） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波41在 平面上 -j10j e cos()esin()ezxzahxxaa（7-3-25d） 模瞬时壁电流分布如图7-3-5所示。 bysbe(ee)( ee)yxxzzxzzxyjhhhh 10tete10模在矩形波导内壁上的瞬时电流分布 图 7-3-5 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波42壁电流分布特点：两宽壁上面电流分布具有高频电流，故不影响波导内电磁波的传播。这样的一条狭缝可两窄壁上电流分布具有对称性；反对称性。并且 在 处，宽壁横向电流为零

34、，只存在纵 2ax 向面电流。因此，在矩形波导宽壁中央开一纵向狭缝，不会切于波导内场幅分布和传播特性的测量。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波433、 te10模的传输特性 （1） 截止波长与单模传输条件cc22ak截止波长:（7-3-26） （2）单模传输条件:aba22（7-3-27） 当 时， 。 ba2aa2（3）相位常数与波导波长分别为2te)2(1210a2g)2(1a （7-3-28） （7-3-29） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波44（4）相速与群速分别为2p)2(1avv2g)2(1avv （7-3-30） （7-3-31）（5）波阻抗为2wte)2(110az （7

35、-3-32）（6）传输功率为yxheehepa bxyzxyddre21d)(re210 0te*101010te210te2102344zeabhba （7-3-33） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波457.4 圆柱形波导 规则圆柱形波导（简称圆波导），它常用于毫米波的远距离通信、精密衰减器、天线的双极化馈线、微波谐振器等。对于圆波导， 设圆波导的横截面半径为 ，如图7-4-1所示。a图7-4-1 圆柱形波导 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波467.4.1 圆波导中的te波在极坐标系中， te波满足0zezzzhzh-je ),(),(（7-4-1）),(zh满足的标量波动方程为0),

36、(1)(12c222zhk（7-4-2） 应用分离变量法，令)()(),(rhz （7-4-3） 将式（7-4-3）代入（7-4-2），整理可得 0d)(d)(1)()d)(dd)(d)(1222c2222rkrrr（7-4-4） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波47令0)(d)(d222m （7-4-5） 则有0)()(d)(dd)(d22c2222rmkrr （7-4-6） 方程（7-4-5）的解为3 , 2 , 1 , 0, )sin()cos()(21mmama或记为)sin()cos()(mma（7-4-7） 式（7-4-6）是贝塞尔方程，其解为)()()(c2c1knbkjbrm

37、m （7-4-8） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波48式中， 和)(xjm)(xnmm分别为第一类和第二类阶贝塞尔函数。图7-4-2给出几条低阶贝塞尔函数、纽曼函数和贝塞尔函数导数的曲线。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波49图 7-4-2贝塞尔函数及其导数曲线 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波50 由图7-4-2(b)可知，当 时， 0 表达式为)(cknm 处为有限值，因此，式（7-4-8）中 。由于场量在0 再代入式（7-4-1），可得 的基本02b （7-4-8）代入式（7-4-3）， 。将式（7-4-7）和zhzmzmmkjczhj -ce)sin()cos()(),( （7

38、-4-9）应用 te 波的边界条件表达式 （7-3-10） ，有 0azh所以0)()(mnmcmjakj可得akmnc （7-4-10） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波51表7-4-1 第一类贝塞尔函数导数的根值表（ ）式中， 为 阶贝塞尔函数导数的第 个根， mnmn, 2, 1, 0m是贝塞尔函数的阶数， , 3, 2, 1n的根值如表7-4-1所示。 是根的序号。贝塞尔函数导数 由于每一组 便构成一种场结构， nm、而 所有组合的 nm、场可同时存在于导行系统中。令 mnhc ，于是，圆波导中 mnte模纵向磁场分量的一般表达式为 01j -e)sin()cos()(),(mnzm

39、nmmnzmmajhzh （7-4-11a）mn 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波52 将上式代入行波横-纵关系式（7-1-11），可得圆波导中te波的所有横向电磁场分量： 01j -22e)cos()sin()()(j),(mnzmnmmnmnmmajhmaze（7-4-11b） 01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmajhaze （7-4-11c）01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmajhazh（7-4-11d） 01j -22e)cos()sin()()(j),(mnzmnmmnmnmmajhmazh （7-4-11e） 第

40、七章第七章 导行电磁波导行电磁波53应用 波的边界条件 7.4.2 圆波导中的 波 tmtm波满足 0zh， zzzeze-je ),(),(， （7-4-12） ),(ze的方程为0),(1)(12c222zek（7-4-13） 与 模同理，可得方程的基本解： mntezmmnzmmkjezejce)sin()cos()(),(（7-4-14） tm0aze （7-4-15）可得akmnc （7-4-16） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波54表7-4-2 第一类贝塞尔函数的根值表（ ）式中， 为 阶贝塞尔函数的第 个根。 nmmn贝塞尔函数的根值如表7-4-2所示。tm波的各个场分量为m

41、n)01j -e)sin()cos()(),(mnzmnmmnzmmajeze （7-4-17a)） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波5501j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmajeazh01j -22e)cos()sin()(j),(mnzmnmmnmnmmajemazh01j -22e)cos()sin()(j),(mnzmnmmnmnmmajemaze01j -e)sin()cos()(j),(mnzmnmmnmnmmajeaze （7-4-17b） （7-4-17c）（7-4-17d） （7-4-17e） 在te波和tm波中，m、n 不同，场的结构不同。

42、 m表示场沿圆周方向整驻波分布的个数，n表示是沿半径方向最大值或零点的个数。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波567.4.3 圆波导的传输特性1截止波长和单模传输条件圆波导中 模的截止波长为 mntemnak22cc （7-4-18）tmmn模的截止波长为mnak22cc （7-4-19） 圆波导中的几个不同模式的截止波长列于表7-4-3，其分布图如图7-4-3所示。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波57表7-4-3 圆波导中不同模式的截止波长图 7-4-3 圆波导中不同模式截止波长分布图 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波58 是圆波导的主模，其单模传输条件为 11te （7-4-20）

43、 aa413. 3613. 22. 简并现象 圆波导中存在两种简并现象，一种是 模和 mntemntm简并（e-h简并）， 另一种是极化简并。 （1）e-h 简并。对于圆波导而言，由于 , 因此， nn10nn10tmctec)()(，故 n0te模和 模为e-h 简并模。 n1tm （2）极化简并。对同一组 m,n 值，只要 0m，场量沿 坐标就可能存在 )(cosm和 )(sinm两种分布，两者的场结构形式 完全相同，只是极化面不同，它们相互垂直，这种简并称为极化简并。利用圆波导的极化简并可以设计极化分离器和极化衰减器等器件。 之间的 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波59 尽管 模是圆波

44、导中的主模，但它不宜作为传输模式。 te11 模存在极化简并现象。由于圆波导加工中可能出现细微 的不均匀性，传输过程中 7.4.4 圆波导中的常用模式圆波导中的常用模式有 te11 模、tm01 模和te01 三种模式。1. te11模 11te模是圆波导中的最低次模，即主模，其截止波长 a413. 3c。 11te模的场结构如图7-4-4所示。te11 模的场结构与矩形波导中的te10换器实现矩形波导te10 模相似，利用该特点可用方-圆波导变模到圆波导te11 模的激励。 11te模场的极化面会发生旋转，因此， 11te 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波60图7-4-4 圆波导中 模的场

45、结构 11te 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波61个高次模。截止波长为 ,2 模 01tm01tm模是圆波导中e波的最低次模，也是圆波导中的第一 a613. 2c01tm模无极化简并现象，且为轴对称或圆对称模。 01tm模只有 和 三个场分量，eh 、ze场结构如图7-4-5所示。由于 01tm模场结构特点及轴对称性，该模常被用于雷达天线馈电系统的旋转铰链中。圆波导中 模引起的壁电流分布为 01tmazashehej （7-4-21）模的壁电流分布只有z分量。 01tm对于传输该模式的圆波导，可以沿波导纵向开窄槽，插入金属探针作为测量线使用。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波62图7-4

46、-5 圆波导中 模的场结构 01tm 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波63模是圆波导的高次模，其截止波长为 ，301te 模01tea640. 1c该模式也是一种无极化简并现象的轴对称模式。 01tehe 、zhe模只有和三个场分量，且图7-4-6所示。构成闭合回路，场结构如圆波导中， 模引起的壁电流分布为 01teazazshehej（7-4-22）可见， 模的壁电流分布只有 分量。该特点使得 模在高频下的损耗最小，故常被作为毫米波远距离传输模式。 01te01te 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波64图7-4-6 圆波导中 模的场结构 01te 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波65中

47、所填充的介质是非理想介质，所以电磁波在导行系统中传输时有一定的导体损耗和介质损耗。有损耗的波导中，电磁波的传播常数是复数 7.5 波导的损耗实际上波导壁是非理想导体，其电导率值有限，导行系统j，其中 为衰减常数。 7.5.1 波导壁损耗 由于存在损耗，电磁波在传播过程中，其电磁场量的幅度按 ze衰减，传输功率按 衰减。因此，z处的传输功率 z2ezpzp20e)( （7-5-1）其中 为 处的传输功率。若仅考虑波导壁的损耗， 0p0z c为 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波66单位长度上的损耗功率为pzppcl2dd （7-5-2） 所以pp2lc （7-5-3） 由电磁场理论，这两部分功率

48、分别为hepd)(re21*（7-5-4） d)(re21*slheps（7-5-5） 是波导的横截面面积，微分面元矢量 的方向为+z 方向。d 是单位长度的波导壁表面面积， 微分面元矢量 的方向为波导壁内表面的法线方向 dne的电磁场量。 se。和sh是波导壁内表面上 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波67应用 ， 假定波导壁的电导率不影响波导中电磁场的分布，也不影响波导壁内表面上的磁场；它的影响仅在于在波导壁内表面上产生了切向电场。波导壁的电导率较大，这样的假设不会引起显著的误差。在该假设下，式（7-5-4）中的场量以及式（7-5-5）中的场量可以用理想波导中的场量来替代。 sh根据式（7

49、-2-17），（7-5-4）可写为 hzpd22tw （7-5-6） 在穿透深度内的电磁波可近似看作导电介质中的平面电磁波，因此有ssheen（7-5-7）其中， 为波导壁的波阻抗。将式（7-5-7）代入（7-5-5），并srre可得波导壁的损耗功率： 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波68hrpsd212tsl（7-5-8）则单位长度波导壁的损耗功率为lhrplsd212tsl （7-5-9）式中， 是波导壁内表面上磁场的切向分量； 为波导横截面的tshl将式（7-5-6）和（7-5-7）代入式（7-5-3），可得m)/(npdd212tw2tsclshzlhr（7-5-10） 其中1np=

50、8.686db。 周界。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波69（7-5-11） 若介质损耗较小，且波导工作在远离截止的传输状态，从而 有 则上式可写为 若波导壁为理想导体，波导内填充的是有耗介质，其损耗角正切为 ，衰减常数为 。由 ， 有 ，以及 2c22tank7.5.2 介质损耗tand22c2kk22k)tanj1 ( )tanj1(j22c22cdkkk2c222c2tanj1jkk)(2tanj1(jj2c222c2dkk 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波70比较等式两边，可得m/np)(1tantan2tan2c22dk （7-5-12）)(2c22c2kc、k式中，为工作频率

51、， （电磁参量为）的波导的截止频率，为相应无损介质中的波数。是填充无损介质 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波717.6 同 轴 线 同轴线分为硬同轴线和同轴电缆两种，由同轴的内、外导体和导体间填充介质构成，其结构如图7-6-1所示。同轴线能够传输tem波、te波和tm波，主模是tem波。同轴线的频带非常宽，从直流至毫米波段，因而被广泛应用于微波系统中。图 7-6-1 同轴线 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波727.6.1 同轴线中tem波的场分布0zzhetem 模的纵向场分量，因此不能采用纵向分量法求解tem模的场分布。可以直接由麦克斯韦方程组中的旋度方程来求解。 因为电磁场量只有横向分

52、量，而且磁场线必须是闭合回路，故磁场仅有 分量；又因为电场、磁场相互垂直，所以电场只有 分量。由于同轴线的结构对称性， 、 都是轴对称的， heeh即 和 都与 无关。因此，同轴线中导行电磁波可以表示为 ehzkeeezej)(),(， zkehezhj)(),( 的旋度方程可写为 h 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波73ekhzhhjj)(0j)(1)(zzehh0)(hh0)(hhzj -0e),(khzhehzeeehzj001可见 常数。令 ，于是得到 （7-6-1） 从而可得（7-6-2a）由式（7-6-2b），有 （7-6-3） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波74从而可得由式

53、（7-6-2a），可得zkzkehhhkzej -0j -0ee),(（7-6-4）tem 波的场结构如图7-6-2所示。 图7-6-2 同轴线中tem模的场结构 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波757.6.2 同轴线中 tem 波的传输特性 1相速、群速与波导波长同轴线中tem波的相位常数 2k （7-6-5） 其相速与群速分别为rrpckv（7-6-6） pgddvkv（7-6-7） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波76波导波长为kfv2pg （7-6-8） 2特性阻抗 由安培环路定理，并利用式（7-6-3），可得同轴线内导体 上的纵向电流：zj020e2dd)(klhhlhzi（7-

54、6-9）同轴线内外导体之间的电压为dede)(j0j -0zkbabazkeeuzuzkzkabhabej0j -0e)ln(e)ln( （7-6-10） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波77于是，可得同轴线的特性阻抗：)ln(2)()(0abzizuz （7-6-11）对于非磁性介质， ，上式可写为 1r)lg(138)ln(600ababzrr（7-6-12） 3传输功率将式（7-6-4）代入式(7-2-17)，可得传输功率：)ln(d221d212022abeeepba（7-6-13） 当同轴线中的最大电场达到介质的击穿场强 时，功率达到极限值，称为同轴线的功率容量，记为 由式（7-6

55、-4）可知，brebrp 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波78将上式代入式（7-6-13），可得功率容量：)ln(2br2brabeap（7-6-14） 可见，功率容量与同轴线的横截面尺寸、介质参数以及 有关。 ab4衰减 由式（7-5-10）和（7-5-12）可得，同轴线单位长度上的导体损耗和介质损耗分别为)m/np()ln()11(2cabbars（7-6-15）aee0br同轴线中 处电场最强，即有 a 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波79 若同轴线的横截面尺寸与波长相比足够大时，同轴线中可能会出现te波或tm波。对于同轴线中的te波或tm波来说，其截止波数kc 所满足的方程都是超越

56、方程，严格求解很困难，一般采用近似方法得到其截止波长的近似表达式，这里仅给出结果。 由式(7-6-15)可知，导体损耗也与比值 有关。 ab)m/np(tand0m （7-6-16）7.6.3 同轴线中的高次模 对于 tem1 模（ ），截止波长为 ，321,)()(1tecmmbam（7-6-17）于是，te 波的最低高次模 te11 的截止波长为 )()(11tecba （7-6-18） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波80对于 模，其截止波长为 nmtm, 3 , 2 , 1,321 , 0),(2)(ntmcnmabnm，（7-6-19） tm波的最低高次模 的截止波长为 10tm)

57、(2)(10tmcab （7-6-20） 由式（7-6-18）和（7-6-20）可知，同轴线中te波和 tm波的最低高次模为 模。 11te7.6.4 同轴线的单模传输条件和尺寸选择1单模传输条件由于tem波的截止波数 ，其截止波长 , 0cktemc)(而 模的截止波长为 ，欲实现tem波单模传输，应满足 11te)()(11tecba)(minba （7-6-21） 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波812. 尺寸选择当给定工作频率时，为确保单模传输，必须选择合适的内 导体半径 a 和外导体内半径b 使之满足式（7-6-21）。在满足式（7-6-21）的同时，还要根据损耗和功率容量的实际要

58、求确定a 和 b 的比值。 不妨令b为常数。当要求衰减最小时，应满足 ，由 0ca式（7-6-15），可得591. 3ab （7-6-22） 而当要求功率容量最大时，则应满足 。由式（7-6-14）， 0brap649. 1ab（7-6-23） 可得 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波82有 和 的两种。 可见，获得最大功率容量和获得最小衰减的条件并不相同。兼顾两者，可取 。此时，空气填充同轴线的特性阻抗 303. 2ab 500z。根据损耗和功率容量的实际需要，常用的同轴线 750z 500z 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波837.7 谐振器 低频波段的谐振电路通常由集总参数元件所构成。

59、当工作频率升高时，所需要的电感和电容减小，难以实现；同时导体损耗、介质损耗和辐射损耗等将增大。所以在微波波段，常用的谐振电路通常是由一段导行系统两端短路而构成，统称为谐振器。由于谐振器一般是腔体结构的形式，故也称为谐振腔。 谐振器中的电磁场分布是满足特定边界条件的齐次亥姆霍兹方程的解。因此，电磁场理论是分析谐振器的基本理论。7.7.1 谐振器产生振荡的物理过程 微波谐振器具有多谐性和驻波特性。所谓多谐性是指同一谐振器可谐振于不同的频率上。所谓驻波特性是指谐振器中的电磁场呈现驻波分布特性。 第七章第七章 导行电磁波导行电磁波84 设频率为 的电磁波在无限长矩形波导中沿 方向传输。在 横截面处放置

60、一块理想导体板使波导短路，则沿 轴方向形成驻波。在 （ ）处为横向电场的波节。 其场分布将不受影响。这样的两端短路的一段矩形波导就构成了矩形谐振器，其腔体尺寸为 ，其中， 。 以矩形谐振器为例，分析谐振器中电磁振荡的物理过程。1fz0zz2 , 1p21gpzlba21gl 可以设想，若将 处的导体板取出，并逐渐升高波源频 率，波导波长随之变短，波导中的电场波节将逐渐向 处移 动。当频率升高到 时， 处又出现了横向电场的波节，但该 波节点是离开 处的第二个波节点。此时在该处重新放入导体 板，又构成了尺寸未变的矩形谐振器，但谐振频率已不再是 ， 而是 。此时， ，依次类推，同一尺寸的谐振器可以谐