中国矿业大学工程力学第十章弯曲内力(1)

1、弯曲内力弯曲内力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY10-1 10-1 引言引言CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYqP1.1.受力特点：受力特点：外力垂直于杆件的轴线。外力垂直于杆件的轴线。2.2.变形特点：变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线杆件的轴线由直线变成曲线以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件梁梁CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY弯曲的概念弯曲的概念1. 弯曲:

2、 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, ,轴轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁：以以弯曲变形为主的弯曲变形为主的 构件通常称为构件通常称为梁梁。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY纵向纵向对称面对称面变形前的轴线变形前的轴线变形后的轴线变形后的轴线横截面对称轴横截面对称轴二、平面弯曲的概念二、平面弯曲的概念CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOL

3、OGY10-2 10-2 梁的计算简图梁的计算简图梁的支座按它对梁的支座按它对梁的约束情况，可简化为三种基本形式梁的约束情况，可简化为三种基本形式1 1、固定端、固定端 限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。限制梁端截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴移动。一、梁的支座分类一、梁的支座分类3个约束，个约束，0个自由度个自由度2 2、固定铰支座、固定铰支座限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动。 2个约束，个约束，1个自由度个自由度3 3、活动铰支座、活动铰支座使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。使杆件与沿支承面方向移动亦可绕支承点转动。 1个约

4、束，个约束，2个自由度个自由度CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1 1、集中载荷、集中载荷2 2、分布载荷、分布载荷3 3、集中力偶、集中力偶特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、几种静定梁的基本形式三、几种静定梁的基本形式利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为利用平衡方程可确定全部支反力的梁，称为静定梁静定梁. .1 1、简支梁、简支梁一端为固定铰支座一端为活动铰支座。一端为固定铰支座一端为活动铰支座。2 2、

5、外伸梁、外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁。一端或两端向外伸出的简支梁。3 3、悬臂梁、悬臂梁一端固定支座一端自由。一端固定支座一端自由。仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为仅利用平衡方程不能确定全部支反力的梁，称为静不定梁静不定梁. .CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY10-3 10-3 剪力与弯矩剪力与弯矩P2P3m mxFBP1P2P3xyAB一、剪力和弯矩一、剪力和弯矩m mxm m截面形心截面形心O步骤：步骤：（1）先求约束反力）先求约束反力FA 、FB ；（2）由截面法求横截面上的内力；）由截面法求横截面上的内力；FAFBsFMy

6、xFAP1axA（如：求（如：求 m m 截面的内力）截面的内力）0,YF 1s0AFPFs1AFFP , 0OM1()0AF xP xaM1()AMF xP xasFMa弯曲内力弯曲内力剪力剪力 Fs弯矩弯矩 MCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYFsFsFsFs左上右下为正左上右下为正剪力、弯矩的数值：剪力、弯矩的数值：剪力剪力 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；轴上投影代数和；弯矩弯矩 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心截面形

7、心矩的代数和；矩的代数和；sFsFsFsFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（）（）（）（）MMMM上压下拉上压下拉 (上凹下凸上凹下凸) 为正为正CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYFsFsFsFs左上右下为正左上右下为正剪力、弯矩的数值：剪力、弯矩的数值：剪力剪力 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在在数值上等于截面以左（或以右）所有外力在y轴上投影代数和；轴上投影代数和；弯矩弯矩 在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对在数值上等于截面以左（或以右）所有外力对截面形心截面形心矩的代数和；矩的

8、代数和；sFsFsFsFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY（）（）（）（）MMMM上压下拉上压下拉 (上凹下凸上凹下凸) 为正为正CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYAB11221. 5 m1. 5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN /mRARB , 0BM05 . 13125 . 486ARkN15AR , 0Y03128BARRkN29BR8 kN11ARA2 m1. 5 m1sF1M , 0Y081sAFRkN71sF , 0OM05 . 0821MRAOmkN261Ms2F2M22R

9、B12 kN /m1.5 mBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYAB11221. 5 m1. 5 m3 m1.5 m2 m8 kN12 kN /mRARB8 kN11ARA2 m1. 5 m1sF1MO2sF2M22RB12 kN /m1.5 mB , 0Y05 . 1122BsRFkN112sF , 0OM05 . 175. 05 . 1122BRMmkN302MCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY8sAFR取左半部分取左半部分向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向下的外力

10、向下的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力负的剪力。取右半部分取右半部分向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起正的剪力正的剪力；向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起负的剪力。负的剪力。3. 剪力、弯矩的正负与横向外力的关系剪力、弯矩的正负与横向外力的关系12 1.5sBFR8 kN11ARA2 m1. 5 m1sF1MO截面形心截面形心22RB12 kN /m1.5 m2sF2MB（1）剪力：）剪力：（2）弯矩：）弯矩： 取左半部分取左半部分5 . 0821ARM向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的

11、弯矩。取右半部分取右半部分5 . 175. 05 . 1122BRM向上的外力向上的外力在截面上引起在截面上引起正的弯矩正的弯矩；向下的外力向下的外力在截面上引起在截面上引起负的弯矩负的弯矩。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYaa例例 2：图示简支梁，试求指定截面的剪力图示简支梁，试求指定截面的剪力Q和和弯矩弯矩M 。解：解：（1）先求约束反力；）先求约束反力；RA 、 RBRB（2）求指定截面）求指定截面Fs和和MRA2 2截面：截面：RA2sF2M , 0Y20AsRPF2sAFRP , 0OM0)(22122MmmaxPxRA21222)(

12、mmaxPxRMA1 1截面：截面：RB1sF1M , 0Y10sBFR1sBFR , 0OM0)(1211MmmxlRB2111)(mmxlRMBCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系aRA2sF2MRB1sF1M2sAFRP21222)(mmaxPxRMABsRF12111)(mmxlRMB弯矩：弯矩：取左半部分取左半部分顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩逆时针转向逆时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩取右半部分取右半部分逆时针转向逆时

13、针转向的外力偶引起的外力偶引起正的弯矩正的弯矩顺时针转向顺时针转向的外力偶引起的外力偶引起负的弯矩负的弯矩CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 5 . 0ADBl 5 . 0lPEPlM 例例 :已知已知:P 、M=Pl、l 求：求：横截面横截面D- 、E、A+的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。 0AM解：解：（1）计算支反力）计算支反力（2）计算截面）计算截面 E 的剪力和弯矩的剪力和弯矩BFAF02PllPlFB 0Y0PFFAB解得：解得：PFPFBA3,2l 5 . 0AEMsEFAFEMAM1cAAsFAMAF0 0Y 0EM0AsEFF05

14、 . 0MlFMAE2 ,0sEEFP M 解得：解得：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 5 . 0ADBl 5 . 0lPEPlM 例例 3:已知已知:P 、M=Pl、l 求：求：横截面横截面D- 、E、A+的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。BFAFAM1cAAsFAMAF0D2cDDsFDMP0（3）计算截面）计算截面A+ 和和D-的剪力和弯矩的剪力和弯矩0yF 0AsAFF 0AM0MFMAA解得：解得：2 ,sAAFP MPl 同理：同理：sDFP0DMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYsF

15、sF Mll llMFsFsCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYRBRD11223344例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。 , 0BMqaRD45 , 0yFqaRB41qaFS1qaFS2BR)41(qaqaqa45BSRqaF3qa45BSRqaF4DRqa45aqaM211221qaaqaM2120BR221qaaqaM233aRBaqaqa)41(232247qaaRDmM322453qaqa 247qaaRMD4aqa45245qam=3qa2ADBCqaaaCHINA UNIVERSITY OF M

16、INING AND TECHNOLOGY10. 4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图)(xFFSS)(xMM 表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，则要分段。注意：

17、注意：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 已知已知:P 、l求：梁的剪力图和弯矩图。求：梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程：剪力方程和弯矩方程：PxFS)(0MlABPSFxMxPl)0(lx PxxM)()0(lx PPlMFS(x)为一常量为一常量由此可以绘出剪力图和弯矩图由此可以绘出剪力图和弯矩图x时0 x时lx xyPFSmaxPlMmaxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例2解：解：BRAR先求约束反力：先求约束反力：2qlRRBAlABq 已知已知:q 、l 求：求：梁的梁的FS图

18、和图和M图。图。x列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：qxqlqxRxFAS2)()0(lx 222)(2qxqlxxqxxRxMA)0(lx SFxxy画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图2| )(0qlxFxS2| )(qlxFlxS0| )(0 xxM0| )(lxxM斜直线斜直线二次抛物线二次抛物线2ql2qlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYMx0| )(0 xxM0| )(lxxM求弯矩的极值点（抛物线顶点）：求弯矩的极值点（抛物线顶点）：222)(xqqlxdxddxxdMqxql20时时 求求得得2lx 8| )(22qlxMlx

19、二次抛物线二次抛物线maxM82qll /2BRARlABqxSFxxy2ql2qlCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例3画出图示梁的画出图示梁的FS图和图和M图。图。解：解： 列剪力方程和弯矩方程：列剪力方程和弯矩方程：lSFxMxxxyql22qlqxxFS)(2)(xqxxMlx 0221qxlx 0画剪力、弯矩图画剪力、弯矩图0|0 xSFqlFlxS|0|0 xM221|qlMlx 斜直线斜直线 二次抛物线二次抛物线qlFSmax22maxqlMqCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYxyA

20、BlFAFBxqxFs2ql2qll /2xM82qll /2小结：小结：Fs：均匀分布载荷区域，均匀分布载荷区域， Fs为斜直线，为斜直线，斜率为载荷集度斜率为载荷集度 q ；M：(1) 均匀分布载荷区域，均匀分布载荷区域，M为二次抛物线为二次抛物线 ，曲线三点的曲线三点的 M 值确定值确定 ；(2) 端部铰链处，端部铰链处，M = 0；Q 、M 的最大值：的最大值：max2sqlF82maxqlM(3) M 为极值点处，为极值点处，Fs = 0。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4解：解：BRARABPlbCa（1）先求出约束反力：）先求

21、出约束反力：lPbRAlPaRBSFx（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：lPbRxFAS)(1)0(ax lPbxxRxMA)(1)0(ax（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图CB段：段：lPaRPRxFBAS)(2)(lxa)()()()(2xllPaxlRaxPxRxMBA)(lxaxyMxxx画出图示梁的画出图示梁的FS图和图和M图。图。AC段：段：lPblPalPablPbFSmaxlPabMmaxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例5SFxxxABMlbCa解：解：lMRAlMRBlMRxFAS)(1)0(ax lM

22、xxRxMA)(1)0(ax lMRxFAS)(2)(lxaMxlMMxRxMA)(2)(lxaMxxy画出图示梁的画出图示梁的FS图和图和M图。图。（1）先求出约束反力：）先求出约束反力：（2）剪力方程和弯矩方程：）剪力方程和弯矩方程：AC段：段：CB段：段：（3）画出剪力、弯矩图）画出剪力、弯矩图0|0 xMlmaMax|lmbMax|0|lxMlMlMalMbBRARCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY小结：小结：(1) m (2) 0M(3) (4)lmaMmaxsF 该处的反力值该处的反力值xyFAFBxaABblCmxFslmxMlma

23、lmbCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYABCPq3m1m图示外伸梁。图示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。试列出剪力方程。试列出剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：（1）求约束反力；）求约束反力；RARBkN2ARkN7BR（2）列剪力和弯矩方程；）列剪力和弯矩方程；xAB段：段：qxRxFAS)(x2230 xxqxxRxMA21)(22xx30 xBC段：段：PxFS)(xkN343 x)4()(xPxM)4(3x43 x（3）作剪力和弯矩图；）作剪力和弯矩图；kN2kN4kN3mkN3xdxx

24、dM22)(0时时 当当 m1xmkN1|m1xM 极值点极值点1mmkN1例例6xySFxMxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY10.5 10.5 载荷集度与剪力、弯矩间的关系载荷集度与剪力、弯矩间的关系 0CM( ) ( )d( )( )d0sssF xF xF xq xx0yF d( )( )d( )( )( ) d02sxM xM xM xF x dxq xx略去高阶微量，得略去高阶微量，得: :d( )( )dsF xq xxd( )( )dsM xF xx)(a)(b利用（利用（a）和（）和（b），得），得: :22d( )d( )(

25、 )ddsF xM xq xxxq x( )dxxq x( )( )sF x( )d( )ssF xF xM x( )M xM x( )( ) ddxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系d( )( )dsF xq xxd( )( )dsF xq xx21d( )( )dxBsAxF xq xx21( )dxsBsAxFFq xxq x( )xx2x1ABd( )( )dsM xF xxd( )( )dsM xF xx21d( )( )dxBsAxM xF xx21( )dxBAsx

26、MMF xxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYd( )( )dsF xq xxd( )( )dsM xF xx22d( )d( )( )ddsF xM xq xxx三、小结三、小结Fs图：图：M图：图：（1）q(x)=0（2）q(x)=常数常数（4）集中力偶）集中力偶（3）集中力）集中力水平直线水平直线 斜直线斜直线 q向下斜向下向下斜向下 q向上斜向上向上斜向上剪力图有突变剪力图有突变作剪力图，从左往右，力上图就上，作剪力图，从左往右，力上图就上，力下图就下力下图就下剪力图无明显特征剪力图无明显特征（1）q(x)=0（2）q(x)=常数常数（4

27、）集中力偶）集中力偶（3）集中力）集中力斜直线斜直线抛物线抛物线 Fs为负斜向下；为负斜向下； Fs为正斜向上为正斜向上弯据图有突变弯据图有突变作剪力图：从左往右力偶顺时针，图就上；作剪力图：从左往右力偶顺时针，图就上；力偶逆时针图就下力偶逆时针图就下开口：与开口：与q方向一致；顶点：方向一致；顶点： Fs=0弯矩图无明显特征弯矩图无明显特征CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY载荷载荷Fs图图d( )( )dsF xq xxM图图d( )( )dsM xF xxq+一一次次二二次次FFM无变化无变化M+水平线水平线q+一一次次二二次次CHINA U

28、NIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY剪力剪力Fs 、弯矩、弯矩 M 图特点小结：图特点小结：1. 无分布载荷区，无分布载荷区，Fs 为水平线；为水平线；M 为斜直线为斜直线Fs02. 有均布载荷区有均布载荷区M 为抛物线为抛物线Fs 为斜直线为斜直线q 向下向下；q 向上。向上。q 向下向下；q 向上。向上。3. 集中力集中力P作用处作用处Fs 存在突变现象，存在突变现象，突变值为该集中力突变值为该集中力 P 的值；的值；M连续，但两侧斜率不同连续，但两侧斜率不同当当P 向下向下；当当P 向上向上。4. 集中力偶集中力偶 m 作用处作用处Fs 不变化；变化；M

29、有突变，突变值即为有突变，突变值即为m，且两侧斜不变；，且两侧斜不变；5. 端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用， 则则 M=0，|Fs| = 端部的横向外力数值。端部的横向外力数值。6. 分布载荷作用区，分布载荷作用区，Fs= 0 处，处，M 取极值（并不一定是最大值）。取极值（并不一定是最大值）。 1、 q、Fs、M 间微分关系的应用间微分关系的应用Fs1Fs2Fs1Fs2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：ABCD3kN/m3kNm2m4m2m图示外伸梁，试用载荷集度、剪力、弯图示外伸梁，试用载荷

30、集度、剪力、弯矩间的微分关系，直接作矩间的微分关系，直接作 Fs 、M 图。图。解：解：RARBkN5 . 3ARkN5 .14BRxFsxM3.5kN7kNms0|0 xMmkN0 . 7|02xM2|3.5kNsxF06|8.5kNsxF 8.5kNm6134kNm6kNm6.04kNm06|6kNsxF8|0sxF6kNCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：ABCDaaaqm图示外伸梁，图示外伸梁，q =20 kN/m，m =20kNm，a =1m，求，求 Q 、M 图。图。解：解：约束反力：约束反力：RARBkN35ARkN15BRxFs0kN2kN15xMmkN10mkN5mkN15剪力剪力Fs 图图CA段：段： 均布载荷，均布载荷，Fs为斜直线；为斜直线；AD段：段： 无