概率论边缘分布PPT课件

1、FY(y)F (+, y) PYy 称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数. )y,x(Flimy )y,x(Flimx 2.5.边缘分布与独立性一、边缘分布函数FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。第1页/共20页例1.已知(X,Y)的分布函数为 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)与FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第2页/共20页二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为 (

2、p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称 PXxipi. ，i1, 2, 为(X, Y)关于X的边缘分布律； 1jijp 1iijpPY yjp.j ，j1, 2, 为(X, Y)关于Y的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。第3页/共20页例例2 2. .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布律如下的分布律如下, ,求求X X、Y Y的边缘分布律。的边缘分布律。xy10 11/10 3/100 3/10 3/10解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于X和Y的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/

3、53/52/53/52/53/5第4页/共20页三、边缘密度函数为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称 为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N( 1, 12)的密度函数，而fY(y)是N( 2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。第5页/共20页例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常数求常数c;(2)c;(2)求关于

4、求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性 1021xxcdydx6 c dyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622 xxxdyxx第6页/共20页设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布，求关于求关于X X的和关于的和关于Y Y的边缘的边缘概率密度概率密度x=yx=-y othersxdyxdyxfxxX01001)(11 othersydxyfyyY010)(第7页/共20页设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为(1)(1)求常数求常数c.(2)c.(2)求关于求关于X X的和关于的和关于Y

5、Y的边缘概率密度的边缘概率密度. .01,0( , )0cyxyxf x yothers20166301( )066 (1)01( )0 xXYycydyxxfxothersydxyyyfyothers答：第8页/共20页四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性定义定义 称随机变量称随机变量X X与与Y Y独立独立，如果对任意实数，如果对任意实数ab,cdab,cd，有，有paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即即事件事件aXaX bb与事件与事件cYcY dd独立，则称随机变独立，则称随机变量量X X与与Y Y独立。独立。定理定理：随机变量：

6、随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是F(x,y)=FX(x)FY(y) 第9页/共20页定理定理: :设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维连续型连续型随机变量，随机变量，X X与与Y Y独立独立的充分必要条件的充分必要条件是是f(x,y)=f(x,y)=f fX X(x)f(x)fY Y(y (y) )定理定理. . 设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维离散型离散型随机变量，其分布律随机变量，其分布律为为P Pi,j i,j=PX=PX=x xi, i,Y Y= =y yj j,i,j,i,j=1,2,.=1,2,.，则，则X X与与Y Y独立的充分独立的充分必要条

7、件必要条件是对任意是对任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i . .P P j j。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取值的每一对可能取值点点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即可边缘分布的乘积都等于联合分布即可第10页/共20页EXEX：判断例判断例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否相互独立是否相互独立例4.已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.15 0.151ab且

8、知X与Y独立，求a、b的值。解:由归一性0.150.151ab0.7ab由独立性0.15(0.15) 0.3a0.35,0.35ab第11页/共20页例例5 5. .甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地在某地会面。设两人都随机地在这期会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最间的任一时刻到达，先到者最多等待多等待1515分钟过时不候。求两分钟过时不候。求两人能见面的概率人能见面的概率。解解: :221156060GGSP XYdxdy2216024515752GS 21575150.437560P XY第12页/共20页定义. 设n维随机变量(X1,X2,.,Xn

9、)的分布函数为F(x1,x2,.,xn), (X1,X2,.,Xn)的k（1 kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1, X2）的边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2, . )若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n, )().()(),.(21121nXXXnxFxFxFxxFn 五n维随机变量的边缘分布与独立性则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立的。第13页/共20页对于离散型随机变量的情形，若对任意整数i1, i2, , in及实数有则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立。niii,.,x,xx211111

10、nnnniiiiiiiixX.PxXPx,.,XxPX 设X1，X2，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, , xn) Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。 第14页/共20页定义定义 设设n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )的分布函数为的分布函数为F FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) )；m m维随机变量维随机变量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的的分布函数为分布函数为F FY Y(y(y1,1,

11、y y2 2, ,y ym m), X), X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m组成的组成的n+mn+m维随机变量（维随机变量（X X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的分布函数为的分布函数为F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m).).如果如果F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m) )= F= FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x x

12、n n) F) FY Y(y(y1,1,y y2 2, ,y ym m) )则称则称n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )与与m m维随机维随机变量变量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )独立。独立。第15页/共20页定理定理 设设(X(X1 1, , ,X X2 2, , , , X Xn n) )与与(Y(Y1 1, Y, Y2 2, ,， Y Ym m) )相互相互独立，则独立，则X Xi i (i=1, 2, (i=1, 2, , n), n)与与Y Yi i (i=1, 2, (i=1, 2, , , m)m)相互独立；又若相

13、互独立；又若h, gh, g是连续函数，则是连续函数，则h(Xh(X1 1, , ,X X2 2, , , , X Xn n) )与与g(Yg(Y1 1, Y, Y2 2, ,， Y Ym m) )相互独立相互独立. .第16页/共20页2.7(续续) 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或第17页/共20页 EXEX 设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立，且均服从独立，且均服从0-1 0-1 分分布，其分布律均为布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) (1) 求求WWX XY Y的分布律的分布律; ;(2) (2) 求求V Vmax(X, Y)max(X, Y)的分布律；的分布律；(3) (3