全等三角形与四边形综合练习

1、全等三角形与四边形综合练习1（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=80°，A+C=180°，点M是AD边上一点，把射线BM绕点B顺时针旋转40°，与CD边交于点N，请你补全图形，求MN，AM，CN的数量关系；图1图2图3（2）如图2，在菱形ABCD中，点M是AD边上任意一点，把射线BM绕点B顺时针旋，与CD边交于点N，连结MN，请你补全图形并画出辅助线，直接写出AM，CN，MN的数量关系是；（3）如图3，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在AD，CD上，若DMN的周长为2，则MBN的面积最小值为4解：（1）1延长DA到点E，使AE=CN，连接B

2、EBAD+C=180°EAB=C又AB=BC，AE=CN，ABECBNEBA=CBN，BE=BN2EBN=ABCABC=80°，MBN=40°，EBM=NBM=40°BM=BM，EBMNBMEM=NM3MN=AM+CN4（2）5MN<AM+CN6（3）2. 已知，点P是ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3

3、）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明. -2分2.解：（1）AEBF，QE=QF，（2）QE=QF，证明：如图2，延长EQ交BF于D，-3分AEBF，AEQ=BDQ，在BDQ和AEQ中-4分BDQAEQ（ASA），QE=QD，BFCP，FQ是RtDEF斜边上的中线，-5分QE=QF=QD， 即QE=QF（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，AEBF，AEQ=D，在AQE和BQD中， 图3-6分AQEBQD（AAS），QE=QD，BFCP，-7分FQ是RtDEF斜边DE上的中线，QE=QF说明：第三问画出图形给1分3

4、ABC中，ABC45°，AHBC于点H，将AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH图2图1（1）如图1，当BAC为锐角时，求证：BEAC；求BEH的度数；（2）当BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系3（1）证明：AHBC于点H，ABC45°，ABH为等腰直角三角形，AHBH，BAH45°，AHC绕点H逆时针旋转90°得BHD，图11由旋转性质得，BHDAHC，12 1分1C90°，2C90°，BEC90°，即BEAC

5、 2分解法一：如图11，AHBAEB90°，A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上， 3分BEHBAH45° 4分解法二：如图12，过点H作HFHE交BE于F点，FHE90°，即4590°又35AHB90°，34在AHE和BHF中，图12AHEBHF， 3分EHFHFHE90°，FHE是等腰直角三角形，BEH45° 4分（2）补全图2如图； 5分图22ECEDEH 7分4在ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使CPE=CAB，过点C作CFPE交PE的

6、延长线于点F，交AB于点G.（1）如果ACB=90°，如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与CDG全等的一个三角形；如图2，当点P不与点A重合时，求的值；（2）如果CAB=a，如图3，请直接写出的值.（用含a的式子表示）图2图1图3 4.（1） 作图. 1分（或）.2分过点P作交于点，交于点，.3分CPE=CAB，CPE=CPNCPE=FPN，PFC=PFN=90° PF=PF，.4分由得：.5分（2）.7分5在菱形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点（1）依题意补全图形；备用图（2）求证：；（3）用等式表示线段，之间

7、的数量关系：_5. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示1分图1 图2（2）方法一：证明：连接BE，如图2四边形ABCD是菱形，ADBC，是菱形ABCD的对角线，2分由菱形的对称性可知，3分，4分在与中，5分方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3四边形ABCD是菱形，ADBC，是菱形ABCD的对角线，2分由菱形的对称性可知，3分，图34分在与中，5分（3） 7分6在等边ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD,CD，其中CD交直线 于点E（1）依题意补全图1；（2）若PAB=30°，求ACE的度数；（3）如图2，若60°<PAB <120°，判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.图1图26解：（1）补全图形，如图1所示. 1分（2）连接AD，如图2.点D与点B关于直线AP对称，AD=AB，DAP = BAP=30°. AB=AC, BAC=60°. AD=AC, DAC=120°.图1图22ACE+60°+60°=180°ACE=30° 3分（3）线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形. 4分证明：连接AD，EB，如图3.点D与点B关于直线AP对称，图3AD=AB，DE=BE