No.42全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、0 内任意实数，则函数，2f(x1,x2,L ,xn) sinx1cosx2 sinx2cosx3 Lsin Xn cosxi 的最大值等于No.42高中数学联赛模拟试卷一、填空题：本大题共 8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程log x sinx 2在区间（0,上的实根个数为 . 221 12.设数列 8 （ 1）n 1的刖n项和为Sn ,则满足不等式|Sn 6| 的最小整数 n是31252）是常数，且X1 , X2, L , Xn是区间第-7 -页4 .圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆 内一共有 个交点.5 .一只虫子沿三

2、角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为 .6.设O是平面上一个定点，A,uuruuuuurAC uurABOP-utu OA -utu-,其中|AC|AB|B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足0,）,则点P的轨迹为.（m）能被3整除的唯一值，那么7 .对给定的整数 m ,符号 （m）表示1,2,3中使m201020102010-、(21)(22)(23)8 .分别以直角三角形的两条直角边 a, b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的 体积依次为Va, Vb, Vc,则Va2 Vb2与（2Vc）2的大小关系是 .二、解答

3、题：本大题共 3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.（本小题满分16分）是否存在实数a,使直线y ax 1和双曲线3x2 y2 1相交于两点 A、B,且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数 f：Z1,2,3 ,满足对任意的整数 x, y ,若 |x y| 2,3,5 ,则 f(x) f(y).3.（本小题满分20分）设非负实数a , b , c满足a b c9abc ab bc ca1-(1 9abc)、填空题参考答案1.设 f (x)一，.0 cosx 1 , 2.八一，、1clog x sin x 2 ,贝U f (x)

4、 cosx, 0 x1 xln 2又 0 ln 21 , f （x） 0,即在区间（0,上单调递增,2故方程log x sin x 2 在区22间（0,上有且只有一个实根.22.易知数列 81 一 ,(1)n 1 2 * 是首项是83等比数列，Sn1 C81 ( -)n3-61 (3)6|112523n 111253n 1 250 ,35243 250, 36729 250 ,故最小整数7.2.2a b3. . ab ,2 f(K,X2,L ,Xn)sin x1 cosx2 sin x2 cosx3sin xn cos%22sin x1 cos x22cos %25.2n 2( 1)n3 2n

5、,设第k次到达点A、点B、点C分别为事件 Ak、R、Ck, k=1,2,3,n,从点B到222sin x2 cos x3 l sin xn/-22、/.2222、(sin x cosx1)(sinx2cosx2)L (sinxncosxn)点A为事件D,从点C到点A为事件E,则An=Bn-1*D+Cn-1*E,则（顺便说明一下：A是出发点）取4)= ZU j -口 +E)=川瓦GJ - I'v)+r(r)j=叫周=l -But+Gt =>F(B，i)一 %】.PAn) -. -PAJF(4J -；fQl) - z tv巴尚)Y) ,(-9(-旷uuu6. . OPuuurACuu

6、ur|AC|uuuOAuuu AB uuu ,| abiuurOPuuuOAuur, AB (-uuurI AB|uurAC、 -uuu), |AC|uuu 即APuurABuur|AB|uuurAC . uuur )I AC |uuuAB 又 uuu |AB|uuurACuuur|AC|为单位向量，由向量加法的平行四边形法则,知点P的轨迹为BAC的平分线.7.由二项式定理知,2201041005(31)1005 3p 1,即22010被3除余1,. (22010 1)3,(220102) 1(220103) 22010)、故(21)20102010(22)(23)6.228. - Va2Vb

7、2(-b2a)2(- a2b)2332-ab2(a2b2)22, 2 :a b c 9(2Vc)2 (2 -h2(a3b)24 2 zab.4 2 ”)C4. 4a bc，作商，有22Va2 Vb2(2Vc)24c4a2b22 222(a b )4a2b22 (2ab)24a2b21,故 Va2Vb2(2Vc)2.二、解答题9.解：设交点A、B 的坐标为 A（Xi，y）、B（X2，y2）,由y23x2ax2y22(3 a2)x2 2ax 2 0, 2a 一由韦达定理，得x1 x2 a-7, C3 a2x1x22，3 a2以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点,uuu uuu OA OB ,X1X2

8、V1V20,即 x1x2 (ax11)(ax221) 0,整理，得(a1)x1x2 a(x1 x2) 1 0 d将代入,并化简得经检验，a1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.10.证明：假设存在这样的函数f ,则对任意的整数a , f (n 5)b,其中a,b 1,2,3 ,由条件知ab.由于 |(n 5) (n 2) |3, |n (n 2)| 2f (n2)a 且 f (n 2)f (n 2)是 1,2,3 除去 a ,b后剩下的那个数，不妨设 f(n2)又由于 |(n 5) (n 3)| 2, |n(n 3)| 3, f(n3)f (n2).以n 1代替n ,得f (n 4)

9、f (n3) f(n 2),但这与 |(n 4)(n2)|2矛盾!因此假设不成立，即不存在这样的函数11.证明：先证左边的不等式a b c 1,ab bc ca (ab bcca)(ab c)a2bab2 b2c bc22 ac3abc6abc 3abc 9abc1或者 ab bc ca abc(一 a11)，只证一1c, »-9用排序或者 c1的代换易证。再证右边的不等式.不妨设a bc,注意到条件a b c1,1 4(ab bcca)9abc (a b3c)4(ab c)(ab bc ca) 9abca(a b)(ac)b(b a)(b c)c(ca)(cb)(a b)a(ac)b(b c) c(ca)(c b)0,，1所以 ab