No.50全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、No.50高中数学联赛模拟试卷一、填空题(本题满分64分，每小题8分)1 .在数列 an 中，a1 2, a?1 ,且 an 2 an 1an , n 1,2,L .则 a20ii一 .2 .设a, b, c是正整数，且成等比数列，b a是一个完全平方数，log 6 a log 6 b log 6 c 6 ,贝U a b c .3 . 一列数a1,a2,a3,L满足对于任意正整数 n,都有ai a2 L an n3,则111 a2 1 a3 1a100 14 .设a 1 ,变量x满足x2 ax x ,且x2 ax的最小值为 -,则2 a .5 .正整数n 500,具有如下性质：从集合 1,2,

2、L ,500中任取一个元素 m,则m整除n的概率是,，则n的最大值是1006 .集合1,2,2。门的元素和为奇数的非空子集的个数为7 . 一个直径AB 2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点 S,使AS AB, C为半圆上一个动点，N,M分别为A在SC,SB上的射影.当三 棱锥S AMN的体积最大时，BAC .8 .直线y kx 2交抛物线y2 8x于A,B两点，若AB中点的横坐标为2,则 AB .二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分，共56分)9 .(本小题满分16分)设x,y,z 1,证明不等式2_2_2_2(x2 2x 2)( y2 2y 2)(z2 2z 2)

3、 (xyz)2 2xyz 2 .2210 .(本小题满分20分)已知双曲线C : x2 4 1 (a 0, b 0)的离心 a b率为2,过点P(0,m) (m 0)斜率为1的直线l交双曲线C于A、B两点，且uur uuu uuu uuuAP 3PB, OA OB 3 .(1)求双曲线方程；(2)设Q为双曲线C右支上动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴负半轴上是否存在定点M使得 QFM 2 QMF ?若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由.11 .(本小题满分20分) 设X1,X2,L ,Xn,L是不同的正实数.证明：X1,X2,L ,Xn,L是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数

4、n( 2),都有n 1222刍 .4 为22 .X2 k 1 XkXk 1 X2 X11. 0.因为a12,a21 ,a33,a44 ,a§1,a63,a72 ,a81,a§1,1,a12 1,%0,.所以，自第8项起,每三个相邻的项周期0,故 a2011=0.2. 111.b2ac, log6abc 6,所以，abc 66,故b6236, ac 362.于是，36 a是平方数,所以，a只可能为11, 20, 27,32,35,而a是362的约数，故a 27.进而,48.所以,2时,a1 a2an两式相减,所以1an 11a2 13(13(1an 3n2an3n11,1一(

5、 3n(n 1) 3 n 1,L a3 111,11)()23 2 333100a100(n1) n1(3 994.axx得:(a 1)1)3,n 2,3,L100)(a 1),设 f(x),则f(x)在xa 2 a2 ax (x )24(a 1)处取最小值f ( a 1) a 1,因此 a 1若(a 1) a,即 a22 ,则f (x)在x2处取最小值因此12'L pk数为(1 1)L ( k 1),所以(1 1)L ( k 1) = 5 ,故 n具有p4的形式，而5. 81.由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是np134 81,54 625 500,故n的最大值为81.6

6、.22010.f(x)的展开式中，x的令 f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3> - (1+x2011),问题中要求的答案为奇次项的系数和.故所求的答案为 1(f(1)-f(- 1)=22010SMAN易知BC 面SAC,面AMN . Vs amnNM , AMN所以BC AN,从而AN 面SBC,3 sM为斜边长为所以AN SM ,因此Sanm ,由 SA AB 2 得:五 的直角三角形，面积最大在 AN MN 1时取到,此时， BAC,3 arccos 38.2而.A X1,y1,Bx2, y2,由 y即 ky2 8y 16 0 ,y1y28k,y1y2168,因止匕一y1kk

7、y2 k Xi2x24 4k 4 ,即 kk 2 0,0,于是k 2,再由y为直线y kx 2过0, 2和2,乂一y2 ,则k2y28x,解得 A 2 后 2273, B 273,2273,所以 AB2"5.9.注意到x 1,y 1,所以2_2_2_(x2 2x 2)(y2 2y 2) (xy)2 2xy 2)(2y2)x2(6y_ 2_2-2y 4)x (2y 4y 2)所以2(y2(y1)(x21)(x(y2)x1 y)1)(x1) 0,(x22x222)(y2 2y 2) (xy)2 2xy 2.同理，因为xy 1,z 1(xy)22xy 2)(z22z 2) (xyz)2 2

8、xyz 2 .10. (1)由双曲线离心率为2知，cV3a,双曲线方程化为2 y 3a2又直线l方程为y2 xay3a x I2x22mx m23a2设 A(x1 , y1)，Bdx2m,x1x222m 3a2因为uuuAPuuu3PB，所以(”,m y1) 3(x2, y2m) , x1结合x132m，x2. 代入中23a23 2-m 43a2uuu 且OAumrOB3.uurrOAuuirOBxx2 小y 陷2x1x2 m(x1 x2)(x12 mm)(x2 m)2_2_ 2m 3a 3a ,2 1 .止匕时,册,代入，整理得2x2 276x 9 0,显然该方程有两个不同的实根.a2 1符

9、合要求. 2故双曲线C的方程为X2工1 . 3(2)假设点M存在，设M(t,0).由(1)知，双曲线右焦点为F(2,0).设Q(x0,y0)( X0 1)为双曲线C右支上一点.当 x0 2 时，tan QFM kQFy0- , tan QMF kQM y0-,因为Xo 2X) t2 y0-QFM 2 QMF ,所以 y0- X0.x0 21 (-y0-)2X0 t将 y23X23代入，并整理得，2X2(42t)x04t2X22tX。t23 .于是42t 2 "，解得t 1 4t t2 3当 x0 2 时，QFM 90°,而 t 1 时，QMF 450 ,符合 QFM 2 Q

10、MF .所以t1符合要求.满足条件的点M存在，其坐标为(1,0).11.必要性:若X1,X2,L ,Xn,L是一个等比数列，设n 122(n 1) n 11XXnII2k 1X2 k 1 XkXk 1 r k 1 r22( n 2)1 r L rr2(n1) 1r2 122二 XnX一 22 .X2X1充分性：当n = 2时，两边都等于1.当n = 3时，有222 2为 X3 X3- 一22 ，X2 X1X2 X2X3 & X1化简得X1X3 X2,所以，X1,X2,X3成等比数列.假设x,X2,L ,Xni成等比数列（n4),记 Xk ark11 , k 1,2,L ,nU2(1因为Un 0,所以Un2 unr2n 5