Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用要点

1、Virial 定理及 Hellmann-Feynman 定理的应用摘 要：Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及处 理 分 子 结 构 中 得 到 广 泛 的 应 用 。 本 文 首 先 着 重 论 述 了 Virial 定 理 及 Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理 的 推 导 过 程 分 析 两 定 理 之 间 的 内 在 联 系 。 最 后 介 绍 了 Virial 定 理 及 Hellmann-Feynman 定 理 的 推 广 及 应 用 。 研 究 得 知 Virial 定 理 及 Hel

2、lmann-Feynman 定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨论， 而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式； 同时 Hellmann-Feynman 也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的能量计算公式。关键词：Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用The applications of Virial and Hellmann-Feynman theoremAbstract: The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widelyapplied in t

3、he atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of molecules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem

4、 was also given. From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were used in dealing with energy average values and the certification of other theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new energy calculation formulas.Key words: Virial th

5、eorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization;Applications- 1 引言当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相 当一部分自然规律的一贯认识。正如Feynman所说的那样，”要理解这个世 界上我们所见到的几乎所有现象的背后，自然界真正如何运行，我们非违 背常识不可”。其中，包括许多量子力学的基本定理，它们的应用极大地简 化了计算，减少了运算量。本论文着重论述了 Virial定理及 Hellamnn-Feynman定理的基本内容，进而通过两定理的推导过程分析两定 理之间的内在联系。当然，文章以实例列举了它们在计算力

6、学量平均值以 及分析体系的能级结构中的重要作用，并进一步探究两定理的推广形式， 讨论它们的应用。1 .定理的证明量子力学中的体系存在一种特殊的状态一一定态。在该态下，体系的一切力学 量的平均值和概率分布都将不随时间而改变。而在定态条件下，平均值随时间 的变化遵循一个特殊的定理，即 Virial定理。1.1 Virial 定理1.1.1 广义的Virial定理我们设粒子处于势场V(力中，其Hamilton量可表示为?24/、H=；JV(r)(1)力学量r p的平均值随时间的变化将遵循 Ehrenfest关系，即哈(?，?)=(i? '?, H )(2)我们对(2)式右边进行如下求解? ?

7、,H?=x?xH y?y,由z?z,H?= x,H?x x?x,H? y, H?y 乂？y,H? z, H?z z?z,H?不难求出X,H？=-?x, ?x,H? = -ifi,其余项类似，于是X? ?闻”?2-小冬 小?2 心上 g?25z2 xyz”优-访(？ 7)代入(2)式，可得=守(?，?>(? ”V)(3)对(3)式，我们已经知道，在定态下，任何力学量的平均值都不随时间变化， 即有0"<*母)=0结合动能平均值，?)=僚)，可得Virial定理表达式为2 =(?W)(6)1.1.2狭义的Virial定理设粒子所处势场为n次齐次函数V 5x2 y, Kz),即有

8、V(Kx, K y,z) =九 nV(x, y, z)(7)简记为V(九3 = ?J('),则此时的Virial定理可表示为>,W(，)=nV(：)(8)对线性谐振子，V(r) = ：mo2r2,即为n =2的齐次函数，于是有T)=(V);对库仑场，(为二迪士，即为n = -1的齐次函数，于是有 =-1”)。 r21.2 Hellmann-Feynman 定理束缚态下，设体系的 Hamilton量H?中含有某参量九，En为彳的本征值，对应的归一化本征函数为中n,其中n为一组完备的量子数。按上述假设，我们有H?匕) = EnWn)(9)(7)式两边同时参量九求偏导，则有, 3 ,E

9、n ,史/n)"必=里卜n>、Eh )c?u I H 九 J整理上式，我们得到面乐n '；=(En -4)：n(10)再对（8）式两边左乘左矢n ,可得=nU (En-H?)：n进一步得到j他cACA(11)对（9）式左边结合H?为厄米算符进行化简，有也停叫Tn鲁ElCACA= En= En：n| 一-En：1-J=0于是，我们得到M”（WnM"0C/uH ：En而与态函数In）无关，即或简记为：En(12)1 # 1上式（12）即为Hellmann-Feynman定理，简称H-F定理。2.两定理之间的联系Virial定理和Hellmann-Feynman定理

10、之间有着较为紧密的联系，我们可以从 Hellmann-Feynman定理推导出 Virial 定理。由（10）式我们知道Hellmann-Feynman定理向我们表示了能级对某参量的偏微分£且与Hamilton量对该参量的偏微分在态匕下的平均值之间的关系在坐标表象中，体系的 Hamilton量H?=方2I奈2+V伯，我们取力为参量，有, 5 ,(13)(14)(15)(16)(17)由 Hellmann-Feynman定理,在动量表象中，体系的Hamilton量H? = $+V（力，其中#=i力仍取力为参量，有同理可知与二1 "V, 一方h n由（12）、（14）两式可得2

11、：叱=?、此即在匕态下的Virial定理。分析上述求解我们知道，Virial定理可认为是Hellmann-Feynman定理的特殊形 式，但有时运用Virial定理求解问题较为简洁，有时只能运用 H-F定理，有时 却要将两者结合起来运用。3.定理的应用r-f例1.质量为N的粒子在中心力场V（r） =-三（其中o（a0,sa0）中运动，证明: r（1）存在束缚态的条件为0 :二s ：二2;（2）在E > 0 -存在无数多个束缚态能级.解：（1）根据狭义的Virial定理（8）式，可知2T 7V粒子能量（以动能平均值表示）E=E ： V "2）Ts动能平均值<T>>

12、;0,而束缚态要求能量E<V<0,即有1 - 0 0s结合题干s>0,可得0 :二 s :二 2（2）由（18）式关系，粒子能量（以势能平均值表示）E=（T« V S ） V(18)(19)(20)(21)(22)当r很大且r » Ar , r附近存在无数个使得Et 0即在Et 0-存在无数 多个束缚态能级，证毕.例2.质量为N的粒子在三维幕势V（r） =arn中运动，试求能量本征态中动能平均 值和势能平均值的关系，并讨论存在束缚态的条件。解：该粒子的Hamilton算符2H="p十 urn（23）2设存在束缚态，且波函数可归一化，根据 Viri

13、al定理2 ='' =b'N（24）可知动能平均值和势能平均值之间的关系为=2w>粒子能量e=T V 工2 V-nn2 T：将动能平均值和势能平均值分别用能量 E表示，可得(25)(26)(27)(28)当a>0时，V >0即有<V>0,而(T)总是正值(T>>0),总能量E也为正值， 即2-A0且 >0(29)n 2 n 2勿行n > 0当口 <0时,量E需满足E :Max ：二0(结合前提势能条件V <0),即V <0即有<V)<0,而(T)总是正值(>0),对于束缚态，总能-

14、 7 (30)>0H<0解得-2:二 n :二 0整理上述情况，得i :i0<0n 0-2 :二 n ：二 0(31)例3.三维各向同性谐振子，总能量算符为21 於c 1士H =+1也2r2 =_勺$2+1也22,对于(H,l2,lz)的共同本征态2 - 22-2,-,nim =Rni(r)Ym(u, ：) =：unri(r)Yim(L)r。求其离心势能和径向动能平均值 对于束缚态，需满足 E <Vmax，故n > 0为可能值.解：三维各向同性谐振子能级谐振子的Hamilton算符根据H-F定理，可知N =2nr l3 ,. .En=(N+*(其中 N=2(32)

15、力2 一2r ；:r2l(l 1昉2 1，,2r2r2(33)：EnFl过12一F(34),En对l和rv求偏导结果应相同,即有-Er；:l jl(35)将（1）式代入（3）式,结合（4）式，可得于是我们得到如下结果(21 1)力212 口 r2(36)该谐振子的离心势能应为2，1）力(37)l2， 一而，对应平均值2；21(11月2 12日r2(38)谐振子的径向动能平均值应为22日r2Enl21 9 1(39)N AU1/) .2221 这里我们省略了标示量子数的下标rrlm或Nlm .例4.质量为N的粒子在中心力场中运动，丫()= £严2/N >0).试利用H-F定理及V

16、irial定理分析能级构造式对于 九、N、有的依赖关系.解：此中心力场恰为狭义 对于该束缚定态，存在Virial定理中的中心力场形式，根据狭义Virial定理,(40)即分别有v = 2T=2 V(41)(42)两者分别对应的能级.二二2a二 22T'(43)(44)将动能平均值(T)、势能平均值(V)以能级E表示(45)(46)粒子Hamilton量为(47)2.2r:2选定某一确定a值，由H-F定理，在束缚态下，有.:E”"TE:E eV-A2=一： T0(.二(工二 2)(49)_2A 22:E 石I212h(1, 2)(50)(48)对E求全微分:E FE ,：E +

17、dE = d '-d J ' r dn（:2）Id(51)移项并积分，得解得dEad /(：, 2)2. 工d- d力(： 2)(52)2, _2_?E =C-77211 2(53)上式中C为常数，此即能级构造式对于 九、N、力的依赖关系.例5.类氢离子（核电荷Ze）中电子于束缚态中nlm,计算九），九=-1,-2,_3.解：类氢离子的能级为Enlm =EnZ2e2 22, n =1,2,3|1 (其中 n = nr+l+1, Bohr半径 aO 2n a0e(54)类氢离子口p2 Ze2Hamilton 量 H =T +V =-2 r(55)1o、对九=_1的情况，根据vir

18、ial定理2（T）=（，W）,可得到如下关系2r «空) r(56)即有2 T"-W：= T 2 V(57) 15 而离子能量（能级）由上式容易解出En 二(：V； = 2 V) = 2(58)(59)l(l1成2r22°、对九=-2的情况，我们知道粒子球坐标下离心势能项(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67)(68)是采用球坐标系，则波函数可表示为（H,l2,lz）的共同本征函数形式,-；nlm =Rl(r)YmQ )此时Hamilton算符可表示为Ze2r满足能量本征方程nlm n nlm取l为参数，对上述H求偏导，由H-F定理，有而n

19、=nr+l+1,即对n和l求偏导结果相同，取n为参数，于是（其中.:EnEn _ Z2e2-=-二 -3 J : n n a°联立上述两式可得1Z2e22Z2r2 nmn3ao (2l 1犷 n3(l l)a22 03o、对九=-3的情况，在中心力场中的束缚态满足如下关系当l=0 （即S态）时，nlm（0）才不为零，即有当l #。时，Wnlm（0）三0,此时有于是有下述关系代入的值，解得(69)(70)对上式取1=0 ,g，满足1 =0时的情形，故上式对所有1均成立.4.定理的推广及应用4.1 Virial定理的推广及应用带电量为Ze,周围有N个电子运动的体系，若忽略自旋和相对论效应

20、，对体系 的任一束缚态，Virial定理将被推广至多粒子作用情形此时，总能量的Hamilton算符H =T +V其中(71)2_N 12 一 N 1V = -Ze ' e ' q 牙 4i m rii:j T -rj(72)我们令(r1,r2,川rn)=X£,a =1,2,|3N ,则动能可表示为_1 -2 T . L -T =77 P：, P： 一 一山土2.：r：.(73)势能V满足Vx：二-VX(74)Coulomb势中，粒子所处势场为1次齐次函数V (九X, K y, Kz),即儿=1 仿照上述Virial定理的推导过程，我们得到T = ；'a =-；

21、而能量E =T +V ,于是有T：；二一；V ：=一E(75)(76)此即多粒子体系的Virial定理，亦即Virial定理的推广4.2 Hellmann-Feynman定理的推广及应用4.2.1 H-F定理的推广设算符A为含参数人的可观测量，H为含参数人的Hamilton算符，则A(H En)|n)=0(77)两边对人求偏导，可得A. FH 石,三n-、(H -En) n) + A(-T'n)+A(H -E0一 =0(78)现白儿d九日九上式左乘(n|,可得；A. :FH 工.f n一小(n| (H -En) n)+n A(丁-T).n)+n A(H -En)±=0(79)

22、匕儿C/u C/'j匕A?进一步简化，得,以 、/ cAi t /i cH , , ；cEn , v ； n n), n n)(nl-Hln)-En(n|ln)+(n.A-|n)-(n AF n)+(nlAHa-En(n AF=b C/uC?/uCG/uChCh结合H ,n） =En n）及其复共腕（n H = En（n,，于是有En(n 曰 n"En(n6；:A和U.:E)+(n AWln)(na受),n)+(n + n AH 19 又算符A与Hamilton量H对易，即（n AH十,«n HA1n =0,于是 ' 跳 ' 跳方Hi /n A石|n

23、)YnA-En) n) -0CA(80)移项为等式(n，Ag|n)=(CA：En(81)上式即为Hellmann-Feynman定理的推广形式。4.2.2 H-F定理的推广应用例：已知类氢离子所带电荷为Ze,试分别求出其动能平均值和势能平均值以及 动能平方的平均值和势能平方的平均值.解：对于类氢离子，其Hamilton量为p2 Ze2H =-p-2(82)对应能级为 En2 4Z e2 22n力(83)1o取A = I ,九=P，（6）式对R求偏导，得同理，（7）式对:En二T(84)En(85)(86)由（5）式，可得2°取A=I , >u=Ze2,同理可得(87)V=2En（6）式对N求偏导，得2-定)(-r22)En(88)（6）式对Z