线性代数与空间解析几何：1-5 克莱姆(Cramer)法则_第1页
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1、1.51.5 克莱姆克莱姆( (Cramer) )法则法则1. 1. 克莱姆法则克莱姆法则在本章第一节中在本章第一节中, 我们用二阶和三阶行列式来解二元和我们用二阶和三阶行列式来解二元和三元线性方程组三元线性方程组; 克莱姆法则就是此方法的一般化克莱姆法则就是此方法的一般化. . 1234124234123482536 .22476950 xxxxxxxxxxxxxx 解解线线性性方方程程例例1 1】组组: :【解解】此方程组的系数行列式此方程组的系数行列式 21511306270;02121476D 115130681,8950212476D 2895251106108,0121760D 3

2、21113627,0221468950D 421513027;0211489507D , 3278111 DDx, 1272733 DDx221084,27DxD 44271.27DxD作为一个另类证明作为一个另类证明, 我们先从消元法解线性方程组的我们先从消元法解线性方程组的角度给出一个简单明了的引理角度给出一个简单明了的引理; 由此引理由此引理, 我们从发现我们从发现的角度的角度, 轻松地得到轻松地得到( (证明证明) )克莱姆法则克莱姆法则. 我们也可以应我们也可以应用行列式的理论用行列式的理论, 从验证的方式证明此定理从验证的方式证明此定理( (如课本如课本) ). 2. 2. 克莱姆

3、法则的证明克莱姆法则的证明3.3. 特殊的齐次线性方程组特殊的齐次线性方程组我们称下面特殊线性方程组为我们称下面特殊线性方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组:11112212112222112200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xaxaxax (4)此方程组有天生有一组解此方程组有天生有一组解 零解零解:100,;nxx 一一章中用矩阵的秩做统一讨论章中用矩阵的秩做统一讨论.对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组, 我们关心的是它除了这组零解之外我们关心的是它除了这组零解之外, 还有没有其它的非零解还有没有其它的非零解. 此问题在线性代数中非常重要此问题在线性代数中非常重要.作为克莱默法则的应用作为克莱默法则的应用, 当方程的个数与未当方程的个数与未知数的个数相知数的个数相等时等时, 我们给出我们给出齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件.一般情况下一般情况下, 齐次线性方程组有非零解的充要齐次线性方程组有非零解的充要条件将在下条件将在下讨论齐次线性方程组讨论齐次线性方程组123123123000+xxxxxxxxx 有非零解的条件有非零解的条件.【例例2 2】【解解】,由由定定理理5 5知知 此此方方程程组组有有非非零零解解的的充充要要条条件件为为21111(2)(1)0,11D 21 即即或或 为为此此方方程程组组有

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