微积分授课课件：8-3全微分及其应用

1、 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学一、全微分一、全微分z 是是两两部部分分的的和和: : 第第一一部部分分为为 yxxy 00 ， 当当),(00yx固固定定后后，它它是是yx ,的的线线性性函函数数； 第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 21)()(|022yxyxyx 说明说明 由由此此可可见见, , 当当 很很小小时时, , |yx 更更小小, , 从从而而函函数数xyz 的的全全增增量量z 可可近近似似地地由由第第一一部部分分yyxx 00 代代替替. . 这这个个第第一一部部分分是是很很重重要要的的. . 为为此此我我们们引引入入

2、全全微微分分的的概概念念. . )0( )( oyx 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学下下面面我我们们讨讨论论函函数数),(yxfz 在在),(000yxP点点的的可可微微性性、 可可导导性性和和连连续续性性的的关关系系. 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数 在在 D 内内可可微微分分. 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 定理定理 1(1(可微的必要条件可微的必要条件) ) 如果函数如果函数 ),(yxfz 在在),(000yxP点可微分，则该函数在点可微分，则该函数在),(000yxP点处的两个点处的两个偏导数必存在，且函数偏

3、导数必存在，且函数),(yxfz 在点在点),(000yxP的全的全微分为微分为 .),(),(0000yyxfxyxfdzyx 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学事实上事实上, , 由由)0)( oyBxAz 我们得到我们得到 0 )(limlim000 oyBxAzyx, , 即即),(yxf在在),(00yx连续连续; ; 另一方面另一方面, ,函数函数22yxz 在在)0 , 0(点连续点连续, , 但两个偏导不存在但两个偏导不存在, ,而偏导存在是可微而偏导存在是可微的必要条件的必要条件, ,从而从而22yxz 在在 )0 , 0(点不可微点不可微. . 可微与连续关系可微与连续

4、关系: : 可微一定连续可微一定连续, , 连续未必定可微连续未必定可微. . 可微与可导的关系可微与可导的关系: : 可微一定可导可微一定可导, , 可导未必可微可导未必可微. .定定理理1 1说说明明可可微微必必可可导导, , 而而函函数数 0 , 00 , 1xyxyz在在原原点点处处可可导导, ,但但不不连连续续, , 而而连连续续又又是是可可微微的的必必要要条条件件, ,从从而而此此函函数数在在原原点点处处不不可可微微, , 即即可可导导未未必必可可微微. . 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学证证),(),( ),(),( 00000000yxfyyxfyyxfyyxxf yy

5、yxfxyyxxfyx ),( ),( 200010)10 , 10(21 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学yyyxfxyyxxfzyx ),( ),( 200010yyxfxyxfzyx ),(),( 0000 于是，于是，).( ),(),( 0000yxyyxfxyxfyx )0( 0 , yx我我们们只只要要说说明明现现在在 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学故故函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP处处可可微微. 分析分析 :2222|0yxyxyxyx 2222| yxyyxx ).0( 0| 22 yx ),0( )( ),0( 0 , oyxyx即即总之总

6、之 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学二元函数在某一点的连续性、可导性、可微性二元函数在某一点的连续性、可导性、可微性的关系总结：的关系总结：连续连续可导可导可微可微偏导偏导连续连续记法：记法： 记住三红色箭头，其它说法不正确！记住三红色箭头，其它说法不正确！ 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学我我们们将将观观察察到到, ,这这不不会会带带来来问问题题, ,反反而而给给我我们们在在形形式式上上带带来来了了极极大大的的方方便便. . 如如在在形形式式上上, , 即即使使 u 和和 v 为为中中间间变变量量我我们们仍仍然然有有dvfdufdzvu , , 这这就就是是全全微微分分的的形形式

7、式不不变变性性( (下下一一节节中中证证明明, ,因因为为这这需需要要多多元元函函数数的的复复合合求求导导法法则则) ). . 当当函函数数),(yxfz 在在区区域域 D 内内处处处处可可微微, ,如如有有连连续续偏偏导导数数时时, ,我我们们习习惯惯上上将将 yfxfdzyx 改改写写为为 并并称称此此形形式式表表达达式式为为函函数数 ),(yxfz 的的( (形形式式) )全全微微分分. . 可可微微的的概概念念及及全全微微分分完完全全可可以以推推广广到到 n 元元函函数数上上. . dyfdxfdzyx 二、形式全微分二、形式全微分 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学解解,exyx

8、yz ,exyyxz ,e2)1 ,2( xz,e22)1 ,2( yz.e2e22dydxdz 所求全微分为所求全微分为, )(dvduvud udvvduvud )()0 ( 2 vvudvvduvud例例 1 计计算算函函数数xyze 在在点点 )1 , 2( 处处的的全全微微分分. 微分的四则运算公式微分的四则运算公式： 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例 2 2 计算函数计算函数 22yxzu 的全微分的全微分. 解解,)(2222yxxzxu dzudyudxuduzyx ,)(2222yxyzyu ,122yxzu dxyxxz222)(2 dyyxyz222)(2 dz

9、yx221 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学另解另解 22yxzddu2222222)()()(yxyxzddzyx 2222222)()()()(yxydxdzdzyx 22222)()22()(yxydyxdxzdzyx )(22()(122222dzyxyzdyxzdxyx 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学原理原理: : 若若),(yxf在在),(yx点可微点可微, ,则当则当| |,|yx 很很小小, , 从而从而22)()(yx 很小时很小时, , yyxfxyxfzyx ),(),(, , 即即 ),( yyxxf yyxfxyxfyxfyx ),(),(),(. .

10、三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例 3 3 计计算算 02. 2)04. 1( 的的近近似似值值. 解解则则设函数设函数 ,),(yxyxf : 02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx 取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf; ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式由公式02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 0824. 1)04. 1( 02. 2 真值真值 哈尔滨工程大

11、学 高高 等等 数数 学学例例 4 4 试证试证 )0 , 0(),( , 0 )0 , 0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf 在在)0 , 0(点连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在 )0 , 0(点不连点不连续，而续，而 f (x, y) 在在 )0 , 0( 点可微点可微. 思路：思路：用定义讨论；对于偏导数要分用定义讨论；对于偏导数要分 )0 , 0(),( yx 和和)0 , 0(),( yx讨论讨论. 解解),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 函数在函数在)0 , 0(点连续点连续; )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 , 0)(1sinlim20 xxx ;0)0 , 0( yf 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx当当点点 ),(yx 沿沿直直线线 0 y 趋趋于于 )0 , 0( 时时, ),(lim)0,0(),(yxfxxx 2201cos21sin2limxxxxx不存在不存在,2222221cos21sin2yxyxxyxx 22221sin)(yxyxx所所以以),(yxfx