2013高考数学总复习课后强化作业-第二章第八节函数与方程.

1、中，含有函数 f(x)零点的是( () )基础巩固强化1.(2011 湘潭调研) )下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二 分法求零点的是( () )答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间a, b上连续不断，并且有 f(a)Mb)v0A B 选项中不存在 f(x)0, D 选项中零点两侧函数值同号，故选 C.2. (文)若函数 f(x)在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且 f(x)在(一 2,2)内有一个零点，贝 S f(- 2) f(2)的值( () )A.大于 0 B.小于 0C .等于 0 D .不能确定答案D解析若函数 f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点，且是

2、变号零点，才有 f(-2) f(2)0, f(3) = (2)-(3)0, f(2) = (2) -(2) 0,1 1f(3)*(2)0，且函数 f(x) )的图象为连续曲线，1 1函数 f(x)在(3, 2)内有零点.点评一个简单的零点存在性判断题涵盖了幕函数、指数函数 的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加 强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到.3.(文)(2011 杭州模拟) )函数 f(x)= |x 2|- lnx 在定义域内零点的个数为()()A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析在同一坐标系内作出函数 y= |x-2|与 y= lnx

3、 的图象，： lne= 1,e3,.由图象可见两函数图象有两个交点，二函数f(x)有两个零占I V 八、(理)(2010 吉林市质检) )函数 f(x)= 2 sinx 在区间0,2n上的零点个数为()()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个答案B解析在同一坐标系中作出函数 y= 2x与 y= sinx 的图象，易 知两函数图象在0,2 内有两个交点.4. (2011 深圳一检) )已知函数 f(x) = x+ 2x, g(x) = x+ Inx, h(x) =x- x- 1 的零点分别为 “ X2,X3,则洛，X2,X3的大小关系是( () )A. x1x2x3B. x2x

4、-ix3C. X1VX3VX2D. x3X2X1答案A解析令 f(x)= x + 2X= 0,因为 2X恒大于零，所以要使得 x + 2X=0, x 必须小于零，即 X1小于零；令 g(x) = x+ lnx= 0,要使得 Inx 有意义，则 X 必须大于零，又 X+ lnx= 0,所以 lnx0，解得 0 x1, 即 0X21，即 X31，从而可知 XiVX20)上是单调函数，且 f(0) f(a)0,则方程 f(x) = 0 在区间-a, a内根的个数是( () )A. 3B. 2C. 1D. 0答案B解析-.f(0) f(a)0)，设 s(i = 1,2,3,4)表示运矿费 用的总和，贝

5、 S 只需比较中转站在不同位置时 s(i = 1,2,3,4)的大小.如 果选在 P 点，si= 6a + 2ax2 + 3ax3+ 4ax4 = 35a,如果选在 Q 点，S2= 6ax2+2a+ 3ax2+ 4ax3 = 32a,如果选在 R 处，S3= 6ax4 + 2ax3+3a+4ax2 = 33a,如果选在 S 处，S4= 6ax4+ 2ax3+ 3ax2 + 4a= 40a,显然，中转站选在 Q 点时，中转费用最少.7.定义在 R 上的偶函数 y= f(x)，当 x0 时，y= f(x)单调递增，f(l)f0则函数 y= f(x)的图象与 x 轴的交点个数是 _ .答案2解析由已

6、知可知，在0,+乂)上存在惟一 xo6(1,2)，使 f(xo) =0,又函数 f(x)为偶函数，所以存在 Xo6 2, - 1),使 f(xo) = 0, 且 Xo= Xo故函数的图象与 x 轴有 2 个交点.8.II I I.：III!：II ! j|1 l L I I I I I I I I 11 I 1 J(2010 浙江金华十校联考) )有一批材料可以建成 200m 长的围墙, 如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样材 料隔成三个面积相等的矩形( (如图所示) )，则围成场地的最大面积为_（围墙的厚度不计）.答案2500m2200-x解析设所围场地的长为 x,则

7、宽为4 ，其中 0VXV200,200 x i殳殳+ 200 x场地的面积为 XXTy4? 50 dv200,故 n= 50.d0)在区间8,8上有四个不同 的根 xi,X2, x3, X4,贝 S X1+ X2+ X3+ x4=_ 答案8解析解法 1：由已知，定义在 R 上的奇函数 f(x)图象一定过 原点，又 f(x)在区间0,2上为增函数，所以方程 f(x)= m(m0)在区间 0,2上有且只有一个根，不妨设为 xi；*.f(xi)= f( Xi)= f( Xi+ 4) = f( Xi+ 4), .-Xi+4 C2,4 也是一个根，记为 X2,/Xi+ X2=4.又f(x 4)= f(x

8、), /f(x 8) = f(x),/f(x)是周期为 8 的周期函 数，.(Xi 8)= f(xi) = m,不妨将此根记为 X3,且 X3= Xi 8Q 8, 6;同理可知 X4= X28 6, 4,.Xi+ X2+ X3+ X4Xi+ X2+ Xi 8 + X2 8 8.解法 2：f(x)为奇函数，且 f(x 4)= f(x),.f(x 4) = f( x),以 2 x 代入 x 得：f( 2 x) = f( 2+ X)f(x)的图象关于直线 x=- 2 对称，又 f(x)为奇函数，.f(x)的图象关于直线 x= 2 也对称.又 f(x- 8) = f(x-4) - 4)=- f(x-

9、4)=f(x),f(x)的周期为 8.又在 R 上的奇函数 f(x)有 f(0) = 0, f(x)在 0,2 上为增函数， 方程 f(x)= m,在-8,8上有四个不同的根 xi、X2、X3、x4 .必在2,2上有一实根，不妨设为 xi, m0,/0 xi 0 且 tQN)200t200t布X3P0 且 t3N),140t即 37 5twP40t,即卩 WP,所以使用液化气比使用汽油省钱.140t(2)设 37 5t+ 5000= 3，解得545.5,又 t0,t3N, /t=546.140t设 40t+ 5000= 3，解得 t= 750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数tQ546,7

10、50时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提高11.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销 售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数 模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( () )A. y= 100 xB. y= 50 x2 50 x + 100C.y=50X2xD.y=100logx+100答案C解析观察前四个月的数据规律，(1,100), (2,200), (3,400),(4,790),接近(4,800),可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选 C.点评也可以将 x= 1,2,3,4

11、,依次代入四个选项中，通过对比 差异大小来作判断，但计算量比较大.lnx + 2x 6x012.(文)(2011 舟山月考) )函数 f(x)= xx+ 1 x0 的零点 个数是()()A. 0B. 1C. 2D. 3答案D解析令x(x + 1)= 0 得 x= 0 或1,满足 x0 时，Tlnx 与 2x 6 都是增函数，f(x) = lnx+ 2x 6(x0)为增函数，.f(1) = 40,f(x)在(0,+)上有且仅有一个零点，故 f(x)共有 3 个零点.(理)(2010 瑞安中学) )函数 f(x)在2,2内的图象如图所示，若函数 f(x)的导函数 f ( (X) )的图象也是连续不

12、间断的，则导函数f ( (X) )在(2,2)内有零点( () )A. 0 个 B. 1 个C. 2 个 D.至少 3 个答案D解析f(x)的零点，即 f(x)的极值点，由图可知 f(x)在(-2,2) 内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(2, 2)内有三个零点，故选 D.13.(2010 安徽江南十校联考) )某流程图如图所示，现输入如下四 个函数，则可以输出的函数是( () )开始开始r人函数加人函数加c)/才才/出函数用出函数用C) )/结束结束凶11A. f(x)= x B. f(x) =2x 1 + 2xxe eC. f(x)= ex+ e_xD. f(x)= Igsirx答

13、案C解析根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在凶11零点.经验证：f(x) = x 不存在零点；f(x) = 2 “ + 2 不存在零点；f(x)eef(x)=ex+ex= 0,得 x= 0,函数 f(x)存在零点;f(x) = Igsinc 不具有奇偶性.14.(文)(2011 山东济宁一模) )已知 a 是函数 f(x)= 2xlog!x 的零点，若 Ovxova,贝 S f(xo)的值满足( () )A. f(xo) = 0B. f(xo)OD. f(xo)的符号不确定答案B解析e=ex+ e_x的定义域为全体实数，且f( x) =ex+ex= f(x),故此函数为奇函数，且令

14、分别作出 y= 2x与 y=Iog2x 的图象如图,当 Ovxova 时，y= 2x的图象在 y=lox 图象的下方,所以，f(Xo)V0 2X 1x0,把函数 g(x) = f(x) x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，贝 S该数列的通项公式为( () )n( (n1*A.an=2 (n N )*B.an= n(n 1)(n N )*C.an= n 1(n N )D.an= 2n 2(n N*)答案C解析当 x 0 时，f(x)= 2x 1；当 0vxw1 时，f(x) = f(x 1)+ 1 = 2x1 1 + 1 = 2x1；当 1x2 时，f(x) = f(x 1)+ 1 = f

15、(x 2)+ 2= 2x2 1 + 2= 2x2+ 1；.当 XW0 时，g(x)的零点为 x= 0；当 0 x 1 时，g(x)的零点为 x=1；*当 1x2 时，g(x)的零点为 x= 2；当 n 1vx 0).100010002w = 2000 t st= s( t s )2+ s ,1000当 t= ( s )2时，w 取得最大值.1000所以工厂取得最大年利润的年产量 t= ( s )2(吨).(2) 设农场净收入为 v 元，贝卩 v = st 0 002t2.1000将 t= ( s )2代入上式，100022X10003得v= s s4 10001 28X10003 4又 vv

16、=S +s5100028000- s35=S,令v v= 0,得s=20.当 0vsv20 时，v v0；当 S20 时，vvV0.所以当 s= 20 时，v取得最大值.因此李明向张林要求赔付价格 s 为 20 元/吨时，获得最大净收入.1 (2010 江苏南通九校) )若 a1,设函数 f(x)= ax+ x- 4 的零点 丄 1为 m, g(x)= logax + x-4 的零点为 n,则 m + n 的取值范围是( () )A.(3 5,+x) B.(1,+x)C.(4,+x) D.(4 5,+x)答案B1 1分析欲求 m+n 的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨 m、n 之间

17、的关系，观察 f(x)与 g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y= ax和对数函数 y= logax 与直线 y= x+4 的交点的横坐标，因为指数函数 y=ax和对数函数 y= logax 互为反函数，故其图象关于直线 y= x 对称，又因直线 y= x+ 4 垂直于直线 y=x,指数函数 y= ax和对数函数 y=IOQX与直线 y = x+ 4 的交点的横坐标之和是直线 y= x 与 y= x+ 4 的交点的横坐标的 2 倍，这样即可建立起 m, n 的数量关系式， 进而利用基本不等式求解即可.解析 令 ax+ x 4= 0 得 ax= x+4

18、,令 logax + x 4= 0 得logax= x+ 4,在同一坐标系中画出函数 y= ax, y= logax, y= x+ 4 的图象，结合图形可知，n + m 为直线 y= x 与 y= x+ 4 的交点的横坐标的 2 y=x倍，由y丄4，解得 x= 2,所以 n+ m = 4,Ly= x+ 41 丄m n因为(n + m) m + m =1 + 1 + n + m 4,又 nzm,故(n +4 m若对称轴 2m 0 即 0mw4,结论显然成立;4 m若对称轴 2m 4，只要 = 4(4 m)2 8m= 4(m 8)(m 2)0 即可，即 4vm8 综上 0vm8，选 B.3. (2

19、011 南十校联考) )定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件：XTK备选题库常数 a, b 满足 avb,区间a, b? D，使 f(x)在a, b上的值域 为ka, kb(k N )，那么我们把 f(x)叫做a, b上的“ k 级矩形”函 数.函数 f(x) = x3是a, b上的“ 1 级矩形”函数，则满足条件的常 数对(a,b)共有( () )A. 1 对 B. 2 对C. 3 对 D. 4 对答案C分析由“ k 级矩形”函数的定义可知，f(x) = x3的定义区间为a, b时，值域为a, b,可考虑应用 f(x)的单调性解决.解析 .f(x) = x3在a, b上单调递增，f(x

20、)的值域为a3, b3.又f(x) = x3在a, b上为“ 1 级矩形”函数，a3= aa= 1a= 0a= 1b3= b，解得 b= 0或 b= 1或 b= 1故满足条件的常数对共有 3 对.点评自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备 的能力， 解决这类问题的关键是先仔细审题， 弄清 “定义”的含义, 把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决.4.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、 圆.垂直于 x 轴的直线 I： x= t(0t0 ,az1),那么函数 f(x)的零点个数是( () )A.

21、 0 个 B. 1 个解析A、B、D 的面积都是随着 t 的增大而增长的速度越来越a快，到 t=2 时，增长的速度又减慢，而aC 图则从 t= 2 开始匀速增大)ADC. 2 个 D .至少 1 个答案D解析在同一坐标系中作出函数 y= ax与 y= x+a 的图象，a1时，如图(1), 0a0,所以函数 f(x)在区间1,2上为增函数.若存在零点，则f 1 =1 + a b0，解得 a+ 1 b 8+ 2a.因此能使函数在区间1,2上有零点的有：a = 1,2 b 10，故 b= 2, b= 4, b= 8.a =2,3 b 12,故 b= 4, b= 8, b= 12.a= 3,4 b 1

22、4,故 b= 4, b= 8,b= 12.a= 4,5 b 16,故 b= 8, b= 12根据古典概型可得有零点的概11率为 16.17. 设函数 y= x3与 y=(2)x2的图象的交点为(xo, yo)，则 xo所在的区间是( () )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)答案B解析令 g(x) )=x322-x,可求得 g(o) )vo,g(1)o,g(3) )o,g(4)0易知函数 g(x)的零点所在区间为(1,2).x2+ 2x 3, x0的零点个数为( () )A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析令 x2+ 2x 3 = 0 得，x= 3 或 1*.x0,故函数 f(x)有两个零点.9. (2011 龙岩模拟) )如图，有一直角墙角，两边的长度足够长， 在 P处有一棵树与两墙的距离分别是 am(0a 12)、4m,不考虑树 的粗细，现在想用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园 ABCD设此矩形花园的面积为 Sm2，S 的最大值为 f(a)，若将这棵树 围在花园内，则函数 u=f(a)的图象大致是( () )ADamt PB1i 4