流体力学相似原理和量纲分析

1、12第四章第四章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析41 引言引言42 相似原理相似原理43 相似准则相似准则44 模型规律模型规律 45 定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用 习习 题题3第四章第四章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析4-1 4-1 引言引言 实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳，解决科技问题往往离不开实验手段的配合。 a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况； b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和量纲分析。工程流体力学中的实验主要有两种：44-2 4-2 相相 似似 原原 理理

2、 当设计制造某些复杂而庞大的水力机械，建造水利工程以及研究某些复杂的水力现象时，往往要根据相似原理，设计制造缩小了尺寸的模型。进行模拟实验，通过对模型的流动状况观测来推断实物的流动状况及有关数据。 分析研究模型和实物间的相似关系的基本理论称为相似理论。 实物又称为原型。 定义：定义：5一、几何相似一、几何相似 模型参数加脚码 m ，原型参数加脚码 n 表示。线性比尺为mnlll（41）面积比尺为222lmnmnll（42）体积比尺为333lmnmnllvv（43） 原型与模型中对应的几何线性尺寸成比例，对应的几何角度相等，称为几何相似。定义：定义：6 二二 、 运动相似运动相似 时间比尺为mn

3、ttt（44）速度比尺为tlmmnnmntltl（45）加速度比尺为222tlmmnnmntltlaa（46） 原型与模型中对应的运动参数如速度、加速度方向一致，大小成比例，称为运动相似。定义：定义：7 三三 、 动力相似动力相似密度比尺为mn（47）质量比尺为3lmmnnmnmvvmm（48）力的比尺为22lammmnnmnfamamff（49） 原型与模型中对应点处受力方向相同、大小成比例，称为动力相似。 定义：定义：8单位质量比尺为mnggg（410）据式（49）可写2222mmmnnnmnllff即2222mmmmnnnnlflf（411）式中， 为一个无因次量，称为牛顿数，以 表示。

4、22lfnemnnene （412） 就是说，两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等；反之，牛顿数相等的两个几何相似的流动，必然是动力相似的。故几何相似仅是相似的必要条件，而运动相似和动力相似才是相似的充要条件。故式（411）变为94-3 4-3 相相 似似 准准 则则一、雷诺数一、雷诺数 llult2 由式（410）知惯性力的因次为 ，如用t 替换f，则 22lf 2222mmmmmmnnnnnnllll因 ，故简化上式得vmmmnnnvlvl（413） 式中 ，称为雷诺数 数。revlynoldre物理意义：物理意义：dyduat粘性引起的内摩擦力为 ，从因次上可写惯性力与粘性力

5、的比。10二、二、 弗劳德数弗劳德数 33gllgg用以代替式（410）中的f，则223223mmmmmmnnnnnnllgllg简化后得mmmnnnlglg22（414）式中 ，称为弗劳德 数。frgl2froude物理意义：物理意义：惯性力与重力之比。,gmgg在具有自由表面的液流中，起主要作用的为重力在因次上为11三、欧拉数三、欧拉数在因次上为 2plapf将其代替式（410）中的f时，则222222mmmmmnnnnnllpllp即式中 ，称为欧拉 数。eup2euler物理意义：物理意义：22mmmnnnpp（415）压力与惯性力之比。paf 研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强

6、分布时，起主要作用的力为压力 。12定义：定义：mnmnmneueufrfrrere （416）称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。 如果两个流动成力学相似，则它们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必须各自相等。于是13四、马赫数 当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 f=ea性力之比。物理意义：惯性力与弹称为马赫数。其倒数得代入上式因此对可压缩流体，音速即时，则）中的代入（在因次上 , , , 1 , 104 2222222222ammnnmmmnnnmmmmmnnnnnmavvavaaeeavevevllevllefelaef14五、韦伯数面张力之比。物理意义：惯性力与表称为韦伯数。令该比值）

7、中，可导出代入（将表面张力 , 104 222welvvlvllfmmmmnnnn六、阿基米德数称温差流动阿基米德数）温差流动时（数称浓度差流动阿基米德）密度差流动时（ , 2 , 120002errtvtglavgla15正。重力相似准则进行了修作用的弗劳德数，即对阿基米德数是考虑浮力为室内热力学温度境气流温度之差为风口气流相对室内环式中： 0ett164-4 4-4 模模 型型 律律 两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足相似关系。例如雷诺数和弗劳德数就不易同时满足。欲使雷诺数相等，将有欲使弗劳德数相等，将有mnnmmnvvll2121mnmnmnggll2321lvllv 这在技

8、术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力，满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。17 例：例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。 而行船引起的波浪运动、明渠水流、绕桥墩的水流、容器壁小孔射流等主要受重力影响，相似条件要保证弗劳德数相等。184-5 4-5 定理和量纲分析的应用定理和量纲分析的应用一、一、 定理定理 假定用函数kinnnnnfn,321（418） 表示一个需要研究的物理规律，在一定的单位制下，这k+1个物理量都有一定的单位和数值。 一物理现象所包含的各物理量间的

9、函数关系，如果选用一定单位制 ，则其关系的函数式就确定了，若改变单位制则函数关系可能受影响。要使它不受单位制选择的影响，必须具有特殊的函数关系的结构形式。 定理就是化有量纲的函数关系为无量纲的函数关系式的方法。19 取对所研究的问题有重大影响的几个物理量。例如取作为基本单位。321,nnn其中 单位制需满足：（1）基本单位应该是各自独立的；（2）利用这几个基本单位应该能够导出其它所需要的一 切物理量的单位。321,nnn 由于研究问题各不相同，对每种问题起重大影响的因素自然也不同。满足上述两点要求的基本单位可以有很多种组合形式。 例如研究水头损失及流动阻力等问题，其影响因素常离不开线性尺寸 ，

10、流体运动速度 及流体密度 这三个基本物理量。这三个物理量分别具有几何学、运动学和动力学的特性。满足要求（1）、（2），因而以 可以组成一组特殊单位制。l321,nnln20 因而式（418）中的物理量都可以表示成这三种基本单位的一定幂次组合与一个无量纲数的乘积，即iiizyxiizyxnnnnnnnn321321（419）与式中无量纲数iiizyxiizyxnnnnnnnn321321（420）与 就是物理量n与 基本单位制下的数值，因而在 基本单位制下，式（418）的规律仍然不变，只是各物理量的数值有所改变。321,nnn321,nnn21 于是，式（418）可写成),(3213213213

11、32123211321333222111kkkiiizyxkzyxizyxzyxzyxzyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfnnnn（421）从右端前三项不难看出，其分母上的乘幂为111321zyx000332211yxzxzy根据式（420）可得132122于是kikiff, 1 , 1 , 15454或 （422） 这样，运用选择新基本单位的办法，可使原来k+1个有量纲的物理量之间的函数式（418）变成 k+1-3个即k-2个无量纲数之间的函数式（422），这就是泊金汉定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。buckinghame. 因为 是无量纲数，因而式（420）右端

12、分子分母的量纲必须相同，对每个物理量 列出其分子分母量纲 的幂次方程，联立求解，即可确定式（422）中的所有量纲数。mtl,in23二、量纲分析的应用二、量纲分析的应用 解解 根据题意知 ,ldfp选择 作为基本单位，于是,d666555444654,zyxzyxzyxzyxddlddp例题例题41管中流动的沿程水头损失。 p 根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦而造成的压强差 与下列因素有关：管路直径 d ，管中平均速度 ，流体动力粘度 ，管路长度 l ，管壁的粗糙度 ，流体的密度 试求水中流动的沿程水头损失。24各物理量的量纲如下：量纲物理量dl1lt3mlp11tmlll l21tml

13、 首先分析 的量纲，因为其分子分母的量纲应该相同，所以p yzyxzzyxtlmmlltltml33121解得0, 2, 1xyz所以2p25其次再分析 的量纲，同理有 4444444433111yzyxzzytlmmlltltmlx解得1, 1, 1444xyz所以d4同理可得ddl65,将所有 值代入式（422）可得ddldfp,2因为管中流动的水头损失令dvdre则ddlfggphf,re12fphg26 第四章第四章 习习 题题41 在层流情况下，流过一小等边三角形截面的孔（边长为 b ，孔长为 l )的体积流量 q 为动力粘性系数 ，单位长度上的压降 及 b 的函数。试将此关系写成无

14、因次式。若 b 加倍，流量有何变化？lp/解：对未知参数小于等于 4 个时，可直接用量纲分析法求得其准确的函数关系，并称之为雷利法。此处相当于流量系数）为待求的无因次系数（式中写出指数关系式）（写出隐函数形式）（ )( 20),( 1qblpqqblpqf27倍。倍时，流量增加增加当整理方程）（得、根据量纲和谐原理求表示各物理量的量纲以基本量纲（）（写出量纲式）（ 16 1 )( 6411 2 1 : 0 :23 : )5( ) 4 34221113blpbqqtmlltmltmltll,m,tblpq28 42 飞行物体在静止空气中运动相当于气流绕固定物体流动。根据测定，绕流时流体所受到的阻

15、力 d 与物体横断面线性尺寸 l ，气流平均流速 ，气体密度 ，动力粘度 有关，试分析绕流阻力公式。vzyxzyxzyxmlltlmltvlvldtmlmlltvllmltdvlvlfd 3 , , , , , 2 , ),( 1 3124411312i444：对和）解出（及）写出各物理量纲和（选择基本量写出阻力隐函数式）（解：29)( 4 122 2 : 31 : 1 : : 122 2 : 31 : 1 : 224444444443111422444lvfvldlvzyxytzyxlzmmlltlmmlvldzyxytzyxlzmzyx写成准则方程）（所以解得对所以解得30的关系曲线。关，

16、可由实验测取二者有可压缩流体中与称绕流阻力系数，在不式中：绕流阻力计算公式。此即为著名的雷利（，变成标准形式：正，故将该式稍作变形因为最终有系数进行修响公式结果，在公式中增减常数不影或写成 re (re) )2(re)2 )re1( 2222fcrayleighvacfvadfvlddd 43 用长度比例尺 的模型试验炮弹的空气动力特性，已知炮弹的飞行速度为 1000 m/s ，空气温度为 ，空气动力粘性系数为 ；模型空气温度为 ，空气动力粘性系数为 ，试求同时满足弹性力相似和粘性力相似的模型风速和风压。101040spa 102 .196010spa 108 .17631 解：此题是马赫相似准则和雷诺相似准则综合应用问题，由已知条件，应先由马赫相似准则求 ,然后用雷诺相似准则求 ，中间需借助理想气体