数字逻辑基础卡诺图化简

1、2021-11-31复习：复习：真值表真值表-逻辑表达式（化简）逻辑表达式（化简）-逻辑电路图逻辑电路图例：三变量表决逻辑例：三变量表决逻辑y=y=？逻辑图？逻辑图？a b cy0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 112021-11-322.4.1 2.4.1 最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式 2.4.2 2.4.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 2.4.3 2.4.3 卡诺图化简法卡诺图化简法 2.4.4 2.4.4 含有无关项的逻辑函数的化简含有无关项的逻辑函数的化简 2021-11-33 公式化简法评价：公式化简

2、法评价：优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。有时不易判断。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论卡诺图的基本组成单元是最小项，所

3、以先讨论一下最小项及最小项表达式。一下最小项及最小项表达式。 2021-11-342.4.1 最小项及最小项表达式最小项及最小项表达式（1 1）最小项最小项 具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量积项为三变量a a、b b、c c的最小项。的最小项。设设a a、b b、c c是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：量按以下规则构成乘积项： 每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；它的一个因子； 每个变量都以反变量每个变量都以反变量(a(

4、a、b b、c)c)或以原变量或以原变量(a(a、b b、c)c)的形式出现一次，且仅出现一次。的形式出现一次，且仅出现一次。 推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此因此n n个变量共有个变量共有2 2n n个最小项。个最小项。2021-11-35最小项的定义最小项的定义: :对于对于n n个变量，如果个变量，如果p p是一个含有是一个含有n n个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在变量的形式，作为一个因子在p p中出现且仅出现一次，中出现且仅出现一次，那么就称那么

5、就称p p是这是这n n个变量的一个最小项。个变量的一个最小项。 表表1-171-17三变量最小项真值表三变量最小项真值表 2021-11-36（2 2）最小项的性质最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为的值为1 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为，而变量取其余各组值时，该最小项均为0 0； 任意两个不同的最小项之积恒为任意两个不同的最小项之积恒为0 0； 变量全部最小项之和恒为变量全部最小项之和恒为1 1。 2021-11-37最小项也可用最小项也可用“m mi i” 表示，下标表示，下标“i i”即最小项即最小项的编号。编号

6、方法：把最小项取值为的编号。编号方法：把最小项取值为1 1所对应的那所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。制数，就是该最小项的编号。 表表1-18 1-18 三变量最小项的编号表三变量最小项的编号表 2021-11-38 （3 3）最小项表达式）最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式形式标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例例1:将

7、将y=ab+bc展开成最小项表达式。展开成最小项表达式。 解： bcaabccabbcaaccabbcaby)()()7 , 6 , 3(),(763mmmmcbay或： 2021-11-39例例2: 写出三变量函数的最小项表达式。写出三变量函数的最小项表达式。 解解 利用摩根定律将函数变换为与或表达利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。式，然后展开成最小项之和形式。bacbaabcbay),(bacbaab)()(ccbacbabaabcabcabcabcbcacbacba)4 , 3 , 2(m2021-11-310练习：练习：1 1： 将逻辑函数展开为最小项表达式

8、将逻辑函数展开为最小项表达式2 2： 若最小项表达式为若最小项表达式为y(a,b,c)=m(0,1,2,7),y(a,b,c)=m(0,1,2,7),写出其对应的最小项与或表达式写出其对应的最小项与或表达式yabcdacdac2021-11-3112.4.2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 （1 1）卡诺图及其构成原则卡诺图及其构成原则 卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：方框图。构成卡诺图的原则是： n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个小方块（最小项）；个小方块（最小项）； 最小项排列规则：最小项排列规则：几何

9、相邻的必须逻辑相邻几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不只有一个变量的形式不同同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。几何相邻的含义：几何相邻的含义：一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。2021-11-312图1-11 三变量卡诺图的画法 （2 2）卡诺图的画法卡诺图的画法 首先讨论三变量（首先讨论三变量（a、b

10、、c）函数卡诺图的画）函数卡诺图的画法。法。 3变量的卡诺图变量的卡诺图有有23个小方块；个小方块； 几何相邻的必须几何相邻的必须逻辑相邻：变量的逻辑相邻：变量的取值按取值按00、01、11、10的顺序（循环码的顺序（循环码 ）排列排列 。相邻相邻2021-11-313图1-12 四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺正确认识卡诺图的图的“逻辑相邻逻辑相邻”：上下相邻，左右相上下相邻，左右相邻，并呈现邻，并呈现“循环循环相邻相邻”的特性，它的特性，它类似于一个封闭的类似于一个封闭的球面，如同展开了球面，如同展开了的世界地图一样。的世界地图一样。对角线上不相对角线上不相邻邻。2021-11

11、-314 （1 1）从真值表画卡诺图从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（一个小方块的值（0或或1）即可。需注意二者顺序不）即可。需注意二者顺序不同。同。例例3： 已知已知y的真值表，要求画的真值表，要求画y的卡诺图。的卡诺图。表1-19逻辑函数y的真值表 a b cy0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11图1-12例3的卡诺图 2021-11-315练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图a b cy0 0 000 0 100 1

12、 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 112021-11-316 （2 2）从最小项表达式画卡诺图从最小项表达式画卡诺图把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入入1 1，其余的小方块中填入，其余的小方块中填入0 0。 例例4： 画出函数画出函数y(a、b、c、d)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。的卡诺图。 图1-14例4的卡诺图 2021-11-317 （3 3）从与或表达式画卡诺图从与或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所

13、对应的小方块都项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上填上1，剩下的填，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。，就可以得到逻辑函数的卡诺图。例例5：已知：已知 ，画卡诺图。，画卡诺图。yabacdabcd)15,14,13,12()(1mabcddabcdcabdcabddccababy)13, 9()(2mdcabdcbadcbbadcay73mbcday2021-11-3181abcd=01111+1acd=101最后将剩下的填01 111ab11yabacdabcd熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。2021-11-319 （4 4）从一般形式表

14、达式画卡诺图从一般形式表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，再画出卡先将表达式变换为与或表达式，再画出卡诺图。诺图。 2021-11-320 例例6： 解：（解：（1）利用摩根定律去掉非号，）利用摩根定律去掉非号， 直到最后得直到最后得到一个与或表达式，即到一个与或表达式，即 accbacabcbay),(accbacabaccbacba)(accbacbca （2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下图根据与或表达式画出卡诺图，如下图所示。所示。accbacabcbay),(2021-11-321bca111110001111001( ,)y a b cacbcabcac2021-11-3

15、22 （1 1）卡诺图中最小项合并的规律卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量；合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量；合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。合并八个最小项，可消去三个变量。 合并合并2n个最小项，可消去个最小项，可消去n个变量。个变量。 2.4.3 卡诺图化简法卡诺图化简法由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利

16、用公式最小项，利用公式a+a=1，ababa，可以消去可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 2021-11-323图1-15 两个最小项合并 m3m11bcd2021-11-324图1-16 四个最小项合并 2021-11-325图1-17 八个最小项合并2021-11-326（2 2）利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数 a a基本步骤：基本步骤： 画出逻辑函数的卡诺图；画出逻辑函数的卡诺图； 合并相邻最小项（圈组）；合并相邻最小项（圈组）； 从圈组写出最简与或表达式。从圈组写出最简与或表达式。关键是能否正确圈组关键是能否正确圈组

17、。 b正确圈组的原则正确圈组的原则 必须按必须按2、4、8、2n的规律来圈取值为的规律来圈取值为1的相的相邻最小项；邻最小项； 每个取值为每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；但可以圈多次； 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。大（消去的变量就越多）。2021-11-327 c从圈组写最简与或表达式的方法：从圈组写最简与或表达式的方法： 将每个圈用一个与项表示将每个圈用一个与项表示圈内各最小项中互补的因子消去，圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同的因子保留，相同因子取值为相

18、同因子取值为1用原变量，用原变量，相同因子取值为相同因子取值为0用反变量；用反变量； 将各与项相或，便得到最简与或表达式。将各与项相或，便得到最简与或表达式。2021-11-328例例7：用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数 y(a、b、c、d)=m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11) 解：解：相邻a2021-11-329相邻bca2021-11-330bcab ddbcbay2021-11-331例例8： 化简图示逻辑函数。化简图示逻辑函数。解：解：多余的圈abcdcacbacday112233442021-11-332圈组技巧圈组技巧(防止多圈组的方法防止多圈组的方法)

19、： 先圈孤立的先圈孤立的1 1； 再圈只有一种圈法的再圈只有一种圈法的1； 最后圈大圈；最后圈大圈； 检查：每个圈中至少有一个检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈未被其它圈圈过。过。2021-11-333例例9：化简函数：化简函数 解：化简步骤如下：解：化简步骤如下： 函数的卡诺图如图函数的卡诺图如图1-18所示，所示， “0”可以不填。可以不填。 画卡诺圈：画卡诺圈： 如图如图1-18所示所示1cdab11111110001111000011110abcddbadbdcbay),(dcbadcba2021-11-334 按消去不同、按消去不同、 保留相同的方法写出逻辑表达式。保留相同的方法

20、写出逻辑表达式。 例例10： 化简化简 y(a, b, c, d)= m(0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11) 解解 （1） 画出函数的卡诺图画出函数的卡诺图, 如图如图1-19所示。所示。 （2） 按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈，按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈， 如图如图1-19所示。所示。 （3） 写出化简后的逻辑表达式。写出化简后的逻辑表达式。baacddcbadby2021-11-3351cdab1111111100011110000111102021-11-336卡诺图化简最简结果不一定唯一卡诺图化简最简结果不一定唯一例：例：解解1 1：解解2 2：( ,

21、 ,)y a b cacacbcbc2021-11-337练习：卡诺图化简练习：卡诺图化简将三变量表决逻辑用卡诺图化简将三变量表决逻辑用卡诺图化简化简：化简：f(a,b,c,d) = mf(a,b,c,d) = m（0 0，1 1，2 2，4 4，5 5，6 6，8 8，9 9，1212，1313，1414）化简：化简：化简：化简：1.1. 化简：化简：( , ,)f a b c dabacbccd( , ,)f a b c da ca bbca c dyabcabdacdc dabcacd2021-11-3382.4.4 2.4.4 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简

22、无关项的概念无关项的概念 对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的以是任意的(随意项、任意项随意项、任意项)，或者这些输入变量的，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现取值根本不会（也不允许）出现(约束项约束项)，通常把这，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用表示，在标准与或表达式中用d（）表示。（）表示。 例：当例：当8421bcd码作为输入变量时，禁止码码作为输入变量时，禁止码10101111这六种状

23、态所对应的最小项就是无关项。这六种状态所对应的最小项就是无关项。2021-11-339 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简 因为无关项的值可以根据需要取因为无关项的值可以根据需要取0或取或取1，所以在，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。逻辑函数进一步得到简化。2021-11-340例例11：设：设abcd是十进制数是十进制数x的二进制编码，当的二进制编码，当x5时输出时输出y为为1，求，求y的最简与或表达式。的最简与或表达式。表表1-20 1-20 例例1111的真值表的真值表 xa

24、b c dy00 0 0 0010 0 0 1020 0 1 0030 0 1 1040 1 0 0050 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191 0 0 11/1 0 1 0/1 0 1 1/1 1 0 0/1 1 0 1/1 1 1 0/1 1 1 1解：列真值表，见表解：列真值表，见表1-20所示。所示。 画卡诺图并化简。画卡诺图并化简。 2021-11-341图图1-20 1-20 例例1111的卡诺图的卡诺图充分利用无关项化简后得到的结果要简单得充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值多。注意：当圈组后，圈内的无

25、关项已自动取值为为1 1，而圈外无关项自动取值为，而圈外无关项自动取值为0 0。利用无关项化简结果为：利用无关项化简结果为：yabdbc 2021-11-342例例12：化简逻辑函数：化简逻辑函数y(a、b、c、d)=m(1,2,5,6,9)+ d(10,11,12,13,14,15)式中式中d表示无关项。表示无关项。 图图1-21 1-21 例例1212的卡诺图的卡诺图 解：画函数的卡诺图并化简。解：画函数的卡诺图并化简。结果为：结果为： ycdcd 2021-11-343例例13： 十字路口的交通信号灯十字路口的交通信号灯, 红、绿、黄灯分别用红、绿、黄灯分别用a、b、c来表示。灯亮用来表

26、示。灯亮用1来表示，灯灭用来表示，灯灭用0来表示。来表示。车辆通行状态用车辆通行状态用y来表示，停车时来表示，停车时y为为0，通车时，通车时y为为1。用卡诺图化简此逻辑函数。用卡诺图化简此逻辑函数。 解：解： (1) 在实际交通信号灯工作时，在实际交通信号灯工作时， 不可能有两个或两不可能有两个或两个以上的灯同时亮个以上的灯同时亮(灯全灭时灯全灭时, 允许车辆感到安全时允许车辆感到安全时可以通行可以通行)。根据题目要求列出真值表，如表。根据题目要求列出真值表，如表1-21所所示。示。 (2) 根据真值表画卡诺图，根据真值表画卡诺图， 如图如图1-22所示。所示。2021-11-344 a b

27、cy 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 110102021-11-345 (3) 画卡诺圈合并最小项画卡诺圈合并最小项, 其中约束项可以当其中约束项可以当作作0或或1, 目的是要得到最简的结果目的是要得到最简的结果。 1bca0010001111001cay 2021-11-346练习：练习：1 1： f(a,b,c,d)=f(a,b,c,d)=m(3,5,6,7,10)+m(3,5,6,7,10)+d(0,1,2,4,8)d(0,1,2,4,8)2 2： f(a,b,c,d)=f(a,b,c,d)=m(2,3,7,8,11,14)+m

28、(2,3,7,8,11,14)+d(0,5,10,15)d(0,5,10,15)2021-11-347逻辑代数应用举例：逻辑代数应用举例：例例1414：给定条件：给定条件： a a从来不说话；从来不说话；b b只有只有a a在场时才说话；在场时才说话；c c在任何情况下甚至一个在任何情况下甚至一个人时也说话；人时也说话；d d只有只有c c在场时才说话。问房在场时才说话。问房中没有人说话的条件。中没有人说话的条件。设：没人说话时，输出为设：没人说话时，输出为1 1。对变量（。对变量（a a，b b，c c，d d）而言，不在场时为）而言，不在场时为0 0，在场时为，在场时为1 1。列真值表：列真值表：2021-11-348 a b c dy 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 111001100110000002021-11-349 cbcay将真值表填入卡诺图将真值表填入卡诺图2021-11-350 数字电路中广泛采用数字电路中广泛采用二进制二进制，二进制的特点是，二进制的特点是逢二进一，用逢二进一，用0和和1表示逻辑变量的两种状态。二进表示逻辑变量的两种