常用高阶导数公式

1、常用高阶导数公式常用高阶导数公式( )1(1)!(4)(ln )( 1)nnnnxx )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx例例7 7( )(),.nyxry 设设求求解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n 若若为为自自然然数数则则)()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 练练 习习( )1,.nyyx 已已知知求求解解( )()(1)(1)nn

2、xnx ( )111()( 1)( 1 1)( 11)( 1)!nnnnnxxnx 例例8 8230023arctan ,.xxd yd yyxdxdx 设设求求解解21,1yx 21()1yx 22222(1)2,(1)(1)xxxx 222(1)xyx 2222242(1)22(1) (1)(1)xxxxx 2222242(1)2 (1) (1)xxxx 2002222(1)xxd yxdxx 32003232(31)(1)xxd yxdxx ; 0 . 2 222242(1)22(1) 2(1)xxxxx 2232(1)22 2(1)xxxx 2232(31),(1)xx 练练 习习2l

3、n(1),.yxxy 已已知知求求解解221(1)1yxxxx 2212(1)12 1xxxx 2222111.111xxxxxx 21()1yx 122(1)x 32221(1)(1)2xx 3221(1)22xx 23.(1)xx , , 2( )( )( )( ),( ).nf xfxfxfx 设设有有任任意意阶阶导导数数 且且满满足足求求, ,2( )( )fxfxx 对对等等式式两两边边关关于于 求求导导 得得3( )2 ( )( )2( ),fxf x fxfx24( )2 3( )( )2 3( ),fxfx fxfx! !( )1( )( ),kkfxk fx 设设则则有有!

4、!(1)( )(1)( )( )kkfxkkfx fx !2(1) 1(1)( )(1)( ( ),kkkfxkf x由由数数学学归归纳纳法法得得! !( )1( )( )nnfxn fx 例例9 9解解2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:,uvn设设函函数数 和和 具具有有 阶阶导导数数 则则)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nncucu ( )( )1(1)2(2)()( )( )(3)()nnnnnnkn kknnu vuvc uvc uvc uvuv 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例101022(20),.xyx ey 设设求求解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼

5、兹公式知设设,22xveux (20)2(20)212(19)22022(18)220()()()()()0 xxxyexcexcex 22! 21920222022182192220 xxxexexe20222(2095).xexx练练 习习cos4xyex 求求函函数数的的 阶阶导导数数。解解,cos ,xuevx设设则则由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式知知(4)(4)142344(4)()cos()(cos )()(cos )() (cos )(cos )xxxxxyexcexcexcexex(4)cos4sin6cos4sincosxxxxxyexexexexex(4)4cos .xyex

6、 3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式( )(5)()(1)(1)nnxnx )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则通过四则运算运算, , 变量代换等方法变量代换等方法, , 求出求出n阶导数阶导数. .( )1(1)!(4)(ln )( 1)nnnnxx 1)(!)1()1( nnnxnx例例1111(5)21,.1yyx 设设求求解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(!

7、52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx练练 习习11xynx 求求函函数数的的 阶阶导导数数。解解12(1)112111xxyxxx ( )11!()( 1)1(1)nnnnxx (1( )2!(12 ()1.(1)1)nnnnyxnx 例例121266( )sincos,.nyxxy设设求求解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn练练 习习lnyxxn 求求函

8、函数数的的 阶阶导导数数。解解,ln ,ux vx设设则则由由莱莱布布尼尼兹兹公公式式知知()()1(1)202(2)20(ln)(ln)( )(ln)00nnnnyxxcxxcx ( )(1)1(2)ln1,111()()( )2nnnnxnyxcxnxx 时时 ，时时1)(!)1()1( nnnxnx()(1)1(2)11()()( )nnnnyxcxxx 2n 时时, ,1(2)!( 1).nnnx 121(1)!(2)!( 1)( 1)nnnnnxnnxx ( )1ln1,1.(2)!( 1).2nnnxnynnx 时时 综综上上，时时求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数x

9、yx 0lim高阶导数高阶导数一、主要内容一、主要内容补充题：补充题：(1)(2)()1.( ),(1).(1)(2)()xxxnf xfxxxn 已已知知求求解解1( )(1)(1)lim1xf xffx 1(1)(2)()(1)(2)()lim1xxxxnxxxnx 1(2)()lim(1)(2)()xxxnxxxn ( 1)( 2)(1)2 3(1)nn 1(1)!( 1)(1)!nnn 1( 1).(1)nn n 2(1)(1)2.( )lim,( )1n xn xnx eaxbf xf xe 设设求求，并并讨讨论论其其连连续续性性与与可可导导性性。解解2(1)(1)( )lim1n

10、xn xnx eaxbf xe 2,11,12,1xxabxaxb x 11lim( )lim( )(1)( )xxf xf xff x 当当时时，连连续续. .211abab 即即1ab2,11( ),12,1xxabf xxaxb x 当当时时，1x ( )2 ;fxx 当当时时，1x ( );fxa 当当时时，1x 1( )(1)(1)lim1xf xffx ( )1f xab当当连连续续时时，即即时时，考考虑虑导导函函数数. .211lim21xxx 1( )(1)(1)lim1xf xffx 111limlim11xxaxbaxaaxx2,1( ).abf x 故故而而，当当此此时时

11、，可可导导111212,1( ).abxabaxabf x 综综上上，当当时时，函函数数在在不不连连续续；当当，但但时时，函函数数连连续续但但在在不不可可导导；当当时时，可可导导03.4( )(,)(1)(1)lim1,( )2(5,(5)xf xffxyf xxf 设设周周期期为为 的的周周期期函函数数在在内内可可导导，又又已已知知求求曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程。解解00(5)(5)(1)(1)(5)limlimxxfxffxffxx 0(1)(1)limxffxx 0(1)(1)2lim2xffxx 2. (5)2(5).yfx切切线线方方程程为为4.( ),( )0,2()

12、lim .( )nnf xxaf af anf a 设设在在的的某某个个邻邻域域内内可可导导 且且求求极极限限解解2()( )lim1( )nnf af anf a原原式式2()( )( )2( )()( )2()( )lim1( )n f af af anf af af annf af anf a 2()( )lim( )nn f af anf ae 2()( )2lim2( )nf af anf ane 2( )( ).faf ae 二、典型题型二、典型题型题型一题型一 利用导数定义解题利用导数定义解题例例1 1设设则则在在点点处处的的 左左、右右导导数数都都存存在在 左左导导数数存存在在

13、，但但右右导导数数不不存存在在左左导导数数不不存存在在，但但右右导导数数存存在在左左右右导导数数都都不不存存在在322,1( ),( )1()3,1( )( )( )()xxf xf xxxxabcd b例例2 2设设可可导导，则则是是在在处处可可导导的的 充充分分必必要要条条件件； 充充分分条条件件但但非非必必要要条条件件必必要要条条件件但但非非充充分分条条件件；既既非非充充分分条条件件又又非非必必要要条条件件( )( )( )(1sin),(0)0( )0()( )( )( )()f xf xf xxff xxabcd a例例3 3函函数数不不可可导导点点的的个个数数是是 ； ； ； 23

14、( )(2)()()3()2()1()0f xxxxxabcd b例例4 4设设函函数数，则则在在内内 处处处处可可导导；恰恰有有一一个个不不可可导导点点；恰恰有有两两个个不不可可导导点点；至至少少有有三三个个不不可可导导点点3( )lim 1( )(,) ()()()()().nnnf xxf xabcd c例例5 5设设在在处处连连续续，且且则则0sin( )0lim1,ln ( )2(0)_.xxxf xxf xf 0例例6 6设设求求极极限限220(1)0,(1),12 ()1(1sin)lim.lncosxxffaf efxx 解解原原式式222022 ()(1sin)limln(1

15、cos1) 12 ()1(1sin)xxxf efxxf efx 2202 ()(1sin)lim2(cos1)xxf efxx 22202 ()(1sin)limxxf efxx 原原式式2220(1sin)2 ()limxxfxf ex 2220(1sin)(1)2 (1)2 ()limxxfxfff ex 222200(1sin)(1)()(1)lim2limxxxfxff efxx2222222200(1sin)(1) sin()(1)1lim2limsin1xxxxxfxfxf efexxxe 2.aaa 例例7 7设设讨讨论论在在什什么么条条件件下下在在处处连连续续1sin,0(

16、),0,0,0,( )0.xxf xxxfxx 解解当当时时，0 x 1( )(sin)fxxx 11111sincos()xxxxx 1111sincosxxxx111(sincos).xxxx当当时时，0 x 01sin(0)limxxxfx 101limsinxxx 要要使使在在处处连连续续，( )0fxx 存存在在，且且0(0)lim( )(0).xffxf 当当时时，存存在在且且值值为为10(0)0.f 0lim( )xfx 1011lim(sincos)xxxxx当当时时，即即101,0lim( )0 xfx 综综上上，当当时时，在在处处连连续续1( )0.fxx 题型二题型二 导

17、数在几何上的应用导数在几何上的应用例例8 8的的图图形形，在在点点处处切切线线与与 轴轴交交点点的的坐坐标标是是 3211( )61(0,1)32()11()(,0)()( 1,0)()(,0)()(1,0)66f xxxxxabcd a题型三题型三 利用导数公式与运算法则求导利用导数公式与运算法则求导例例9 9若若则则21( )lim (1),( )_txxf ttftx 222ttete 例例10设设其其中中 为为二二阶阶可可导导函函数数，求求2ln(),.yf xfy 解解y 221() 2()fxxf x 222()()xfxf x 222()()xfxyf x 2222222()()

18、2() ()()xfxf xxfxf xfx 222222222()4()()2() 2()()fxx fxf xxfxxfxfx 222222222()4()()4 .()()fxx fxfxxf xf x 例例11求求函函数数在在处处的的 阶阶导导数数2( )ln(1)0(0)(3).nyxxxnfn 解解( )2( )ln(1)nnyxx2( )12(1)22(2)ln(1)() ln(1)()ln(1)nnnnnxxcxxcxx 122132( 1)(1)!( 1)(2)!2(1)(1)( 1)(3)!(1)(1)nnnnnnnnxnxxxnn nx 121( )12( 1)(1)!2

19、(2)!( 1)(1)(3)!(1)(1)(1)nnnnnnxnnx nn nnyxxx( )(0)nf3(1)( 1)(3)!nn nn 1!( 1).2nnn 例例12设设函函数数满满足足则则21()( ),_.1xxxdyyffxexdx 22.e 作作 业业求求下下列列函函数数的的导导数数431tancos1.11(1)sin;(2)sin;(3)(sin ).xxxdydxyeyx exxyxx 13212.,( )ln,.1xdyyffxxxdx 设设求求作业：习题作业：习题2-2 102-2 10、11113(10)sin3.,(0).yxxy 函函数数求求设设4.( )(1,0

20、)11,lim1(1 .)nnyf xyfn 已已知知曲曲线线在在点点处处的的切切线线在在 轴轴上上的的截截距距为为求求极极限限25( )(,),(1)2 ( ),01,( )(1) ,0,( ).f xxf xf xxf xxxxf x 、设设函函数数在在内内有有定定义义 对对任任意意都都有有且且当当时时试试判判断断在在处处 函函数数是是否否可可导导附加题（竞赛真题）：附加题（竞赛真题）：0001( )(,) ( ).(,)().f xf f xxxf xx 、设设函函数数在在内内连连续续，且且证证明明在在内内至至少少有有一一个个满满足足22( )(,),(1)2 ( ),01,( )(1) ,0,( )f xxf xf xxf xxxxf x 、设设函函数数在在内内有有定定义义 对对任任意意都都有有且且当当时时试试判判断断在在处处