《信号与系统》课程讲义2-1汇总

1、+ V第二章 连续时间系统的时域分析本章主要研究内容:微分方程的建立与求解卷积、算子分配函数 2-1微分方程的建立与求解一、微分方程的建立*时间域进行,不变换*直观,物理概念清楚电路元件i）电阻尺：V1.元件约束特性*其它变换域方法基础*重新得到关注和重视零输入、零状态、冲激、阶跃响应v - Ri+ Vi = Gv 2.1微分方程的建立与求解ii）电感厶L+ V -v = Ldi / dtiii）电容C：iddtidt 2.1微分方程的建立与求解iv）互感M：Tdi、di2Vi = Li - + A/ -11dt dt_=厶如+-dt dtv）变压器、受控源和运算放大器i）摩擦系数：Ff=f-

2、vii）弹性系数：Fk= k v（t）dtiii)质量：F = m dt 2.1微分方程的建立与求解2.网络拓扑约束1电路系统Ni)KVL：工*=0*=1Nii) KCL：工匚=0机械系统：达朗贝尔原理MND工刁=）亍*=01=1ft=l机械元件 2.1微分方程的建立与求解3.不同性质系统可用相同微分方程描述数学模醴,数学抽彖,无物理意义4.电路类微分方程建立例子解：2.1微分方程的建立与求解J1：求下面电路的微分方程C两端电压e(t-vx(r)- dt = vx(r)一uvx(z)K刃)W)*C血-皿如dtdt刃)一丛k竺(17)如u udt= /?C(1 -“) + v()(r) = u(

3、r)dt(如)v,(r) wv,(r)VoW 2.1微分方程的建立与求解5.机械类微分方程建立例子例2：理想火箭推动器模型的微分方程输入:推进力(/)r火箭mxk_rm载荷m2输出:荷载舱速度v2(r)摩擦系数A摩擦系数心 2.1微分方程的建立与求解-v2)dt = tn芈(1)Jat可(勺一冬妙一f22 =叫牛(2)Jdt由(2)可得：k f Vydt = k vdt +-h/n= V! = v0+ + 2(3)J 1 Jdt1 k dt k dr由还可得：H(Vl -卩2)力=AV2 +-y1J2dt解:把和代入可得:心恥+令牛护务 5“勢*勢哙牛(必)务fv+加 如+八+皿如+如心+加叫

4、+也空+沁业之/2 22dt k dt k dt2 1dt k dr kden 与+也+叫f變+何+叫)“m如+(久+,2)X=辰/叫心dt mAm2drmAm2dt mAm21一般形式：线性常系数微分方程dn严d% 丽 F)+A萨r M) + + St矿+CZ(Od,ndid=E。乔a(r) + E,(/) + + e(t) + Eme(t)2若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能, 则系统为线性时不变系统cL_I |_2_L0(0 )=0 6(0 )=00：激励加入前的时亥q 2.1微分方程的建立与求解2.1微分方程的建立与求解线性时不变系统的微分方程特点e(F)应)-1.齐次解（自由

5、响应）1齐次方程:G）会厂+q 4）+ +c”7务+5心 =02齐次解从形式：A屮函数的线性组合令r=A护代入匕式化简得特征方程CQ6Z，Z4- CyOCl1 + 4- CnCX, 4- Cn0有川个根少，匕2,，a”:特征根i）互不相同实根：rh（t）=引+4丘知+A/Sii）少为p重特征根，与 e 有关的齐次解部分：（A/A_1+A,tk2+ 4iii）內与a?为共轨复根PciJ（一重），对应齐次解部分：（Acosqf +企singr）Jiv）a】与色为共轨复根P土恥k重），对应齐次解部分为：（A广1+4广+AJcosgr+（B广+ Bf2+ .+BJsing% 2.1微分方程的建立与求解

6、二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法）2.1微分方程的建立与求解各种特征根情况下的齐次解形式特征根决定了系统自由响应的全部函数形式 2.1微分方程的建立与求解例3：求下列微分方程的齐次解形式21 1T心)+3 r(r) + 2r(r) = e(t) + 3e(t) dr dtdt解：a，+ 3a+ 2 = 0df2= -2= %()=+4 J 2.1微分方程的建立与求解例3：求下列微分方程的齐次解形式心 +16令+12心)=e(f)解：/+7/+辰 +12 = 0=au= -2(二重)，a3=-3= rh(?) = (A/+ A2)e2f+A3e_3z例3：杏下列微分方程的齐次解形式3

7、r(r) + 2 r(Z)+ 2r(Z)= e(t)解：a 4- la + 2 = 0=Q 2 = 1士丿（一重共純）= rh（0 = （A】cost + & sint）er2.1微分方程的建立与求解例3：求下列微分方程的齐次解形式4务+2务+3务(卄务(卄解：oc+ 2a? + 3a=0= 內,2=0（二重），C34=-1V2j（一重共辘）=%（F）=（牛 + 企）+（4 cos2t + A4sinA/2?） 2.1微分方程的建立与求解 2.1微分方程的建立与求解例3：求下列微分方程的齐次解形式14312应)+4丁厂(门+8丁厂(/) +8厂(/) +4厂(/)drdrdrdt=r

8、e(t) + 2务w(F)+ 2 0( + e(t)drdrdta4+ 4cif3+ 86Z2+8a + 4 = 0旳2= j土丿 (二重共辘)%()=(AJ/H-A2)cos/ 4-(A3/ +A4)sin/e_z1将激励代入微分方程右端，化简得自由项（0时）2根据自山项形式与特征根情况设特解，r,（r）|o见特解表为什么要考虑特征根情况?j2jJ_r(0 +3-r(r)+2r(0 = -e(r)+e(0,吃)=尸火)注：Ed）为2次多项式；P2）为s次多项式;I = max 2,5.Q（r）为无次多项式；Q（r），G（r）为/次多项式。解:= 2.1微分方程的建立与求解2.特解（强迫响应）

9、：山激励形式和特征根悄况共同决定 2.1微分方程的建立与求解自由项形式特征根情况特解形式E（常数）0不是E（常数）0是代童根BE次多项式）0不是0是左重护0(f)Bea1a不是BeQia是左重血/a不是Q(f)a是必重3 0(/)自由项形式特征根情况特解形式E cosfit或Esino*丿 e 不是Eicosa/ +2sin at土丿 Q 是左重严(Bcosa/+BQsin at)Pz(/) cosat + (/) sin tvf丿 Q 不是Q(r) cosrif + Gt(t) sin曲丿0是k重Q (t) cosat + G、(/) sin(ot / Pz(/) COSat + P：(t)

10、 sin cot a丿 e 不是 Q(/) cos丫 +Gl(r) sin e a jco是k重tkeal Q (/) cose + G(r) sin cat 3确定特解：特解代入方程，求特解中待怎系数例4：求卜列微分方程在不同激励T的特解d 2dd r r(r) + 3 r(r) +2r(t) = e(t) + e(t)drdtdt解：特征根：cc ha? = 2i) e(t) = t自由项=r+2r, 0不是特征根,+ 代入左端令对应系数相等可得：BQ+ 3(23/ + BJ + 4- 2/Bo=0.5, d=0.5, B2=0.5ii)e(t) = eu(t)自由项=S(t).t0时为0

11、,故特解(0 = 0iii) e(t) = e2tu(t)自由项=S(t)-e2tu(t)9r0时为幺一匕j为1重特征根rp(t) =Bte2z,代入左端令对应系数相等可得：13= 2.1微分方程的建立与求解2.1 微分方程的建立与求解解：特征根：ai 2= 2丿(一重共轨)iv) e(t) = te1 2QO时自由项=(2-/)，1为1重特征根,代入左端令对应系数相等可得：B()=丄,B、=3v) e(t) = eru(t)AO时自由项=2, 1不是特征根，rp = Bel代入左端令対应系数相等可得：3=1/32.1微分方程的建立与求解例4：求下列微分方程的特解2乔心)+4应)之2e(t)

12、= 2cos2加(f)ii)e(t) = e cos2m(r)iii)e(t) = eru(t) 2.1微分方程的建立与求解解：特征根：aX 2=一12丿(一重共轨) 21微分方程的建立与求解i) e(r) = 2cos2rw(r)/0时自由项=2cos2f , 2丿为1重特征根，rp(r)=r(B,cos 2r+企Sin 2r),代入左端令对应系数相等可得：B,=0,B2=0.5ii)e(t) = e cos2rw(r)r0时自由项=cos2r ,-12丿不是特征根，r,(O= eB.cos2r+B?sin2r),1L24代入左端令对应系数相等町得:=-yB2= iii) e(t) = e3

13、 4u(t)AO时自由项=e/1不是特征根，0(亠呢7代入左端令对应系数相等可得：3=0.2例4：求下列微分方程的特解23-vr(r) + 2-r(r)4-5r(f) = e(t) drdt4e(t) = 2cos2rw(r)ii) e(t) = ercos2m(r)iii)e(Z)e1u(t) 2.1微分方程的建立与求解解：特征根：al 2=-1（二重）i) 40时自山项=2cos 2r, 2j不为特征根,rp(f) =,cos2r+Bsin2rd=0，d=0.5ii) /0时自由项cos2/, -l2j为1重特征根,(r)=/(|Cos2z+B2sin2r)5 6B,=0,B2=|iii）

14、D时自由项=幺，1不是特征根,=丄42.1微分方程的建立与求解2d正厂 +2 厂(f) + r(r) = e(f)e(t) = eru(t) 2.1微分方程的建立与求解例4h求下列微分方程的特解di)ii)e(Z)= telu(t)iii)e(t) = t2eru(t) 2.1微分方程的建立与求解解：i)/o时自由项=e-i是2重特征根,rp(t) =Bt2e7ii)r0时自由项=te ,1是2重特征根,iii)r0时自由项=rV -1是2重特征根,rp(t)=Z1写出完全解：r(r) =rp(/) + rh(/)其中q有并个待定系数2待定系数111初始条件确定i)求解区间0一 (0J-rp(

15、0J_1.1_riX(0+) - r；(OJa2 JA2 严)(0)_ 岁7(0 )_Ur*anx %2.1微分方程的建立与求解严(0+)-咱(0+)=“4其中：V为范德蒙矩阵，一定町逆，故:A=V-,.r(Ac)(0J-r/)(0J3若不给定初始条件，怎么由起始状态确定i)起始状态：系统在加入激励前的瞬间的一组状态，即 严)(0_)=严(0_(0_),1(0_) 0状态ii)已知电路图，由厂(0)求r(A)(0J的原理是：电容电压，电感电流一僉不跳变iii)已知微分方程与激励，由 严(0_)求厂(0+)的方法是: 冲激函数匹配法和目测法21微分方程的建立与求解1由元件约束、网络拓扑约束列写微

16、分方程（S拨至2列写）印(/)+(/)=刃) -V/()4-7 Z0)4- 10Z(/) =e(t)4- 6 e(t)4-4e(t)dtdtdrdt2由特征根写出齐次解形式i）特征方程:/ +7a+ 10 = 0anfri= 2,62 5ii）齐次解形式：ih（t）= Ae2t+企严 2.1微分方程的建立与求解3求特解i) DO时自由项=4x4ii) O不是特征根，设特解为ip(D = Biii)代入方程解得民8/54求完全解中的齐次解待定系数i)写出完全解形式：Z(r) = A&亠*心亠i i)求换路前的起始状态z(OJ = ZJO_) =2 +/?2=iAvc(OJ =2&

17、 +/?2“0)=0 2.1微分方程的建立与求解iii)求换路后的初始条件 电感电流不跳变： 电容电压不跳变：,(OJ=4-)=14A_ det) - vc(t)%dt4iL(OJ = iL(O_) = -A vc(OJ = ve(O-)=|vZC(0+) = /(0+)-/L(0+) = 2Ai =_拦(。+)=_2人人iv)初始条件代入宪全解，列写方程组求出待总系数A纟 故：一a424 =154 48 12 + =1-55-2A, -5A2=-2 2.1微分方程的建立与求解例6：已知：务+7务+1 %)=务+6分如+4如4久。=2 + 2班/)Z(0_) = -, zr(0_) = 0求完

18、全响应。2.1微分方程的建立与求解解：由特征根写出齐次解形式i)特征方程：a+7a + 10 = 0特征根：ocx= 2,(x2= 5ii)齐次解形式：必a)= 4*2 +企丘亠 求特解i) /0时自由项=16ii) 0不是特征根，设特解为：= Biii)代入方程左边解得：3=8/5求完全解中的齐次解待定系数Oi)写出完全解形式:Z(r) = 4&亠+4幺亠+2(roj5ii)冲激函数匹咆法求跳变值：根拥匸0时刻微分方程左 右两端的5(0及其各阶导数应该平衡相等系统用微分方程表示时，系统地0状态到0+状态有无跳变决定于微分方程的右端口由项 是否包含5(。及其高阶导数。有则跳变。2.1 微分方程的建立与求解i ”(/) + 7i(/) +10/(0 = 2Sa)+123(t) + 8 + 8u(t)在0_z(r) + 8Aw(Z)iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数 故：例7：目测法求跳变值务+3务+2=为+3e(f)1e(t) = u(t)2e(t) = e3ru(t) 2.1微分方程的建立与求解14Z(0J = 2 + /(0_) = yA厂(0,) = 2 + i(0 )