定积分在几何中应用

1、 据了解，大冬会U型槽比赛场地的长度为200米，其截面如下图所示，其边界可近似看做部分抛物线 ，则建造这样的一个U型槽的用雪量为多少？ 2( 1,1)yxx 2(1,1)yxx -11XYO2( 1,1)yxx -11XYO用雪量（体积）横截面面积长度已知2(0,1)yxx1XYO直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所所围成的图形（曲围成的图形（曲边三角形）面积边三角形）面积S是多少？是多少？在在几何几何中的应用中的应用定定 积积 分分例例1 1：计算由直线：计算由直线 和曲和曲 线线 围成的曲边梯形的面积围成的曲边梯形的面积. .1,2,0 xxy1yxoxy1yx12解：根据

2、已知条件，曲边梯解：根据已知条件，曲边梯 形面积设为形面积设为S，则，则211Sdxx21lnln2ln1ln2x注意：根据直线方程确定积分区间。注意：根据直线方程确定积分区间。oxy232yxx4例例2 2：计算由直线：计算由直线 和曲和曲 线线 围成的曲边图形的面积围成的曲边图形的面积. .0,4,0 xxy232yxx解：根据已知条件，曲边图解：根据已知条件，曲边图 形面积设为形面积设为S，则，则1S2S3S123SSSS令令 解得：解得：2320 xx12121,2xx124222012(32)(32)(32)Sxxdxxxdxxxdx 173注意：根据注意：根据 正负，确定分段积分的

3、积分正负，确定分段积分的积分 区间及面积与积分的关系式。区间及面积与积分的关系式。( )f x( )( )( )bcdabcf x dxf x dxf x dx 图中阴影部分面积总和可图中阴影部分面积总和可表示为：表示为：( )yf x解解:作出作出y=x-4, 的图象的图象如图所示如图所示:2yx2yx4 xy方法方法A A方法方法B B方法方法C C下一页下一页boxya2( )yfx1( )yf x1212( )( )( )( )bbbaaaAf xfx dxf x dxfx dx 由上下两条连续曲线由上下两条连续曲线 与与 以及两以及两条直线条直线 与与 所围成的平面图形，它的所围成的

4、平面图形，它的面积为面积为1( )yf x2( )yfxxaxb2:4yxyx解方程组得直线直线y=x-4与与x轴交点为轴交点为(4,0)88042(4)xdxxdx4881204422(4)SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx38282042 2140|(4 )|323xxx2yx4 xyS1S2方法方法 A:A:,x=8y=4返回返回80124 (84)2sxdx 38202 2|83x2 24016 2 833 方法方法 B:B:2yx4 xy返回返回4201(4)2syy dy234011(4)|26yyy2311404 444263 方法方法 C:C:

5、返回返回求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:410sins()coxAxdx224co()sinsAdxxx于是所求面积于是所求面积21AAA 4204cossinsi()()2 2ncos2xxAdxdxxx例例4: 计算由曲线计算由曲线 , 与直与直线

6、线 ， 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.sinyxcosyx0 x 2xsin0,cos24yxxxyx求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: :(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系) )(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限, ,下限下限) )(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数; ;(4)(4)列式求解列式求解. .注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式练习：练习：1.如图，阴影部分面积为A. ( )( )baf xg x dxC. ( )( ) ( )( )cbacg xf x dxf xg x dxD. ( )( ) ( )( )bbacf xg x dxg xf x dxB. ( )( )bag xf x dx( )C Coxy2yx2yx2xy yxABCDO13S =S =xy22 4 xy18S =S =思考题：思考题：（20022002天津，天津，1515）