等差数列及其前n项和学案

1、等差数列及其前n项和2013.10命制人：刘晓琳一、复习要求1 考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题.2 考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用.二、知识梳理1. 等差数列的定义如果一个数列从第 _项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母_表示.2. 等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为 an =3. 等差中项如果A =，那么A叫做a与b的等差中项.4. 等差数列的常用性质*(1)通项公式的推广：an= am+(n, m N).若an为等差数列，且 k I =m n =2t(k,l,m,n,t

2、 N*)，则 ak a=若an是等差数列，公差为 d,则ak, ak + m, % + 2m,(k, m N )是公差为 的等差数列.数列Sm, £m Sm, S3m %,也是等差数列.(5) S2n_1=an.(6) 若n为偶数，贝y S偶一S奇=; S奇/S偶=若n为奇数，则S奇一S偶=. S奇/S偶=5. 等差数列的前n项和公式Sn=6. 等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn = dn2+ a1-2 n,数列an是等差数列的充要条件是Sn = An2+Bn(A, B为常数).7. 最值问题在等差数列an中，a1 > 0, d v 0，则Sn存在最值，若 ajV 0 ,

3、d > 0,则Sn存在最值E、基础训练1. (人教A版教材习题改编)已知an为等差数列，a2+ a8= 12,则等于().A. 4B. 5C. 6D . 72. 设数列an是等差数列，其前n项和为Sn,若a6= 2且&= 30,则S&等于().A . 31B. 32C. 33D. 343 . (2011江西)已知数列 an的前n项和Sn满足：各+編=h + m,且a1 = 1.那么a10=().A . 1B. 9C . 10D. 554 . (2012杭州质检)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2= 3, a6= 11,则S?等于().A. 13 B. 35 C. 4

4、9 D. 635. 在等差数列 an中，a3= 7, a5= a2 + 6,贝V a6 =.6 . &15 = 33, a45 = 153,求 a61; S8 = 48, S12=168,求 d ； 10, S5 = 5,求 a8和 Ss; a16 = 3,求 S31 .四、例题精选考向一等差数列通项公式和基本量的计算【例1】?(2011福建)在等差数列an中，a1= 1, a3=- 3.(1)求数列an的通项公式；若数列an的前k项和Sk =- 35,求k的值.8【训练1】(1)在等差数列an中,【训练3】1、在等差数列 an中，a2,ai6是方程x2-6x-1=0的两根，则(1)已

5、知 ai =20,an =54,5 =999,求 d 和 n ;( 2)已知 d =2,n =15,an - -10,求 ai 和 Sn。a5a6a9a12 七2、设等差数列 曲的前n项和为Sn，若Q = 72 ,则a2a9=差数列，上面4节的容积共3升,F面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.【训练1】(2)九章算术"竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等考向二等差数列的性质及其应用【例2】？等差数列an中，a10 =30, a20 =50，则通项an二；【训练2】等差数列 V中，氐=8月6。=20,则 = 。【例3】？1、(2010年高考全国)如果等差数列：a

6、n中，a3a4a5= 12，那么aa2. a7 =(A) 14( B) 21(C) 28( D) 352、 若一个等差数列前三项和为34,最后三项和为146，且所有项的和为 390,则这个数列共有项。3、 设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若§n_5，则鱼=；Tn2n 8b104、等差数列3 的前n项和为Sn ,若& =30,S2n =100,则务=()A.130B.170C.210D.2605、已知等差数列，an*中，a?=6,&5=15，若bi= a?n，则数列、bn的前5项和等于()A . 30B. 45C. 90D. 1866、 已知某等差数列共

7、有10项，其奇数项之和为 15,偶数项之和为30,则其公差为 3、 已知an是等差数列，q0 = 10，其前10项和S10 = 70，则其公差d二()2112A.B.C.D .333314、 在等差数列an中，若a4 a6 az 弘=90，则a“a“二。35、设Sn表示等差数列an的前n项和，且S9 = 18, Sn = 240,若a*/ = 30(n>9)，则n6、等差数列 an 前 n 项和为 Si。已知 am_J + am1 - a m =0 , S2m_J =38,则 m=aG °q7、设等差数列an、bn前n项和分别为Sn、Tn,且n =，则一bn2n1T2n_1S2

8、na8、设两个正项等差数列 an、bn的前n项和分别为为Sn、Tn,若，则亠Tn 3n + 1dA7n + 45a9、 已知两个等差数列an和 bn的前n项和分别为An和Bn，且,贝卩使得为Bnn+3bn整数的正整数n的个数是()A . 2B . 3C . 4D . 510、 设等差数列 ' 耳匚的前n项和为Sn，若a5 - 5a3则' .S511、设等差数列an的前n项和为Sn，若S3= 9 ,S6 =36，则ayaa()A . 63B . 45 C . 36D . 2712、等差数列a.的奇数项的和为 216,偶数项的和为192，首项为1,项数为奇数，求此数列 的末项和通项

9、公式考向三 等差数列前n项和的最值【例4】？ 1、已知数列a*中an= -n+13,（N+）其前n项和Sn的最大值为 .2、在等差数列an中，已知a1 = 20,前n项和为Sn,且S10=S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出最大值.3、等差数列 也前n项和为Sn，若Si6A0,S17V0，则当n=时，Sn最大2 24、 等差数列an的公差d : 0,且a1 =3（1，则数列an的前n项和&取得最大值时的项数 n是A . 5B . 6C . 5 或 6D . 6 或 75、 已知数列an为等差数列，若 也且它们的前n项和Sn有最大值，则使得 Sn 0的na10的最大值为A.11B

10、.19C.20D.21 .【训练4】1、设数列an是等差数列，且a2二-6，a6，Sn是数列an的前n项和，贝U（A）S4:S5（B）S4-S5（ C）S3S5（D）S6-S52、 已知等差数列an满足4a4=7a7，且a1>0,Sn是2n的前n项和，Sn取得最大值，则n=3、 已知Sn是等差数列an（n，N ）的前n项和，且SeS7S5，有下列四个命题：d : 0 ；1 0 :S20: 数列中的最大项为Sn，其中正确命题的序号是 .4、若an是等差数列，首项a1- 0,a2003 '82004 °,a2003.a20040，则使前n 项和Sn 0 成立的最大自然数n是

11、：（）A . 4005B . 4006C. 4007D . 4008【例 5】?已知数列an中 an=2n-7,（n壬 N+）,+ a2 +-+ a15 =【训练5】已知数列an的前n项和Sn=12n n2，求数列&|的前n项和Tn.考向四等差数列的定义与判断【例6】？ 1、（ 2013辽宁）下面是关于公差 d>0的等差数列）的四个命题P1:数列g f是递增数列;P3：数列an是递增数列; Ln J其中的真命题为(A) P1 , P2(B) P3, P4P2：数列f naj是递增数列；P4:数列1 an - 3nd ?是递增数列;(C) P2 , P3(D) P1 , P42、若

12、Sn是数列an的前n项和，且Sn二n2,则an是（）（A ）等比数列，但不是等差数列（B ）等差数列，但不是等比数列（C）等差数列，而且也是等比数列（D）既非等比数列又非等差数列【训练6】1、若an、bn都是等差数列，且a1 =5, b1=15, a10°+b100=100，则数列an+bn的前100 项之和S100等于：（）A、6000B、600C、5050D、600003、设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和，求2、在数列an在中，a* = 4n -号，ar a2an 二 an2 bn, n N*，其中 a, b为常数，则

13、ab二Tn.五、巩固练习1、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是8A、 d > 32、设a 是公差为正数的等差数列，A. 120B . 10583切< 3若 a a2 a3 = 15, a1a2a 80，贝U 耳C. 90D .D、a753、（ 2012年重庆理）在等差数列3n中,-1,- 5,则aj 的前 5 项和 S =B. 15C. 20D. 2512、设Sn是等差数列 an的前n项和，若S6S64、设等差数列an的前项和为Sn ,若 S：3=9, S6=36，则 a7 a8 ag5、方程（x2 一 2X g2 一 2X讥0的四个根组成一个首项为

14、寸的等差数列，则|m n| =6、设订鳥是公差为正数的等差数列，若q a2 a3 =15, a!a2a 80,则a耳2a13A. 120.105C . 90757、已知等差数列an的前n项和为Sn,若 OB= a1 OA+ a200OC，且 A、B、C三点共线（该直线不过原点 0),贝U S200=()A . 100B. 101C.200D.2018、设等差数列an的前n项和为Sn,若S4 =8,S8 =20,则an 盹'知A . 18B . 17C . 16D . 159、已知等差数列ian 满足 a2 a4,a3 a5 =10，则它的前10项的和Sw二A . 138B . 135C . 95D . 2310、已知4是等差数列,a1a2 = 4 ,a7鬼=28，则该数列前10项和Sw等于A . 64B . 100C . 110D . 120S3 S211、已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足 亍一-=1，则数列an的公差A.卫1013、一个等差数列共有 10项，其中奇数项的和为-，则二=（）3 氐1 82525，偶数项的和为15,则这个数列的第6项2D.-9是（）A . 314、在等差数列A .2415、B . 41订鳥中，38= an - 6，则数列前9项之和S9等于（2B . 48C. 72D.108已知等差数列an的前n项和为Sn,若S9 = 18,Sn二24