等腰直角三角形的全等问题

1、等腰直角三角形的全等问题等腰直角三角形中的全等问题在证明三角形全等时，我们常常遇到图形中有等腰直 角三角形，由于等腰直角三角形有一组直角边相等，恰恰 可以为我们证明三角形全等提供必要的条件，现举几例说 明。2、已知：在等腰直角 ABC中，/ BAC=90 °, AB=AC, 过点A作直线FG,过点B做BD丄FG于D,过点C做CE 丄 FG 于 E,求证：DE=BD-CE分析：题中有几个直角，往往可以得到许多角互余，所以 有一些角相等，题中有AB=AC，我们可以得到AB与AC 所在的三角形（ ABD与 CAE ）全等，则 BD=AE,AD=CE,结论及可证明。证明（略）结论：一组直角边

2、相等，思路1:可以观察两边是否在一个三角形中，若在，即这个 三角形是等腰三角形思路2:若不在一个三角形中，往往可得到其所在的两个 三角形有一组对应边相等，为证三角形全等奠定条件。 练习：3、在等腰直角 ABC 中，Z BAC=90 ° , AB=AC,BD 平分/ ABC,过点C做BD的垂线CE,垂足为E,求证：CE=1/2 BD提示：可通过角平分线构建全等形，即延长 CE交BA的 延长线于F,则厶BEF与厶BEC全等，所以CF=2CE,只需证 明CF=BD即可，即证明厶ABD与厶ACF全等。4、在等腰直角 ABC 中，Z BAC=90 °，AB=AC,点 D 为AC的中点

3、，AF丄BD于G,过点C做CE / AB,交AF 的延长线于点E,求证：EF=DF提示：要证明结论成立，需证明EF与DF所在的两个三角 形厶CFD与厶CFE全等即可。关键差一组边或一组角相等， 有题中条件，很容易可证明 ABD与厶CAE全等，可为证 明厶CFD与厶CFE全等提供帮助。5、如图， ACD和厶AEB都是等腰直角三角形，/ EAB=/ CAD=90 ° ,求证：(1) EC=BD(2)EC 丄 BDS ADE =S ABC5D=3,6、已知：在等腰直角 ABC中，/ BAC=90 °,AB=AC,E 为AC上一点，CD丄BE于D,连接AD,若AD=2 , C 求B

4、D的长。提示：由于等腰直角三角形的特征，把CA绕点A逆时针旋转90 °,即可与BA重合，所以，可把DA同样处理,8 (2的腰求证(2)14秋？武汉校级月考)如图，BD是等腰直角AC上的中线，AE丄BD交BD、BC于E、F,(1)Z ABD= Z CAF;/ ADB= Z CDF.ABC使之旋转到点E处，则厶CAD与厶BAE全等，即可得到结 论。在等腰直角 ABC中，Z ACB=90 ° , D是AC中点，Z 连接CF交BD于E,求证：BD丄CF.7. (2011秋？硚口区期中)如图，在等腰直角 ABC 中, Z ABC=90 ° , D为AC的中点，过 D点作DE

5、丄DF，交 AB于E,交BC于F.求证：(1)DE=DF(2) Z DEF=45369 . (2011秋？嘉陵区期末)如图，在 Rt ABC中，ZBAC=90。，等腰直角三角板 ADE如图放置，点D恰是AC 的中点，AC=2AB .(1) 求证： EABA EDC.(2) 判断 EBC的形状.(有些角用数字表示更醒目)10.(2008秋？自贡期末)在等腰直角 ABC中，/C=90°,AC=BC , D是AB上任一点，AE丄CD于E, BF丄CD交 CD延长线于F, CH丄AB于H，交AE于G 求证：(1) BD=CG ; (2) DF=GE .11 如图，锐角 ABC分别以A、B为直

6、角顶点，向ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形BCF , 再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为 M ,N.求证：EM+FN=AB .13cMAS12如图1,已知A (0 , 2)、B (-1, 0)两点，以B 角顶点在第二象限作等腰 Rt ABC.(1) 求点C的坐标；(2) 如图2，直线CB交y轴于E,在直线D，连接 AD, 若 AD=AC，求证：BE=DE .为直CB上取一点cVC13如BAC(1)(2)B O副口图，在等腰直角 ABC中，/ C=90交BC于D，DE丄AB于E.求证： ACD AED;若AB=6，求 DEB的周长.,AD平分/DE BA如图， CAB

7、， CDE都是等腰直角三角形, 点，求证：CM丄AE.M是DB中如图， ACE为等腰直角三角形，/ ACE=90 ° , B为AE上一点， ABC经过旋转到达 EDC的位置，AC= 、切cm,( 1)Z DEC=° ;(2) 求四边形CBED的面积；(3) 连结BD，若AB=1cm，求线段BD的长.已知 ABC和厶DEC都是等腰直角三角形，C为它们的 公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连 接CF(1) 如图1,当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是位置关系是(不用证明)；(2) 如图2,把厶DEC绕点C顺时针旋转a角(0°Va V 90

8、6;)，其他条件不变，问(1)中的关系是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并 加以证明；(3) 如图3,把厶DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点M，若/ DCF=30 °，求CM /BM 的值.两块等腰直角三角板 ABC和厶DEC如图摆放，其中/ ACB= / DCE=90 ° , F是DE的中点，H是AE的中点， G是BD的中点.(1) 如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为 和位置关系为;(2) 如图2,若将三角板 DEC绕着点C顺时针旋转至 ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜 想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(3) 如图3,将图1中的 DEC绕点C顺时针旋转一个 锐角，得到图3, (1)中的猜想还成立吗？直接写出结论， 不用证明.如图(1), ABC为等腰直角三角形，/ ACB=90 ° , E 是AC边上的一个动点(点E与A, C不重合)，以CE 为边在 ABC外作等腰直角三角形 ECD , /ECD=90 ° 连接BE, AD , BE延长线交AD于点P.猜 想线段BE，AD之间的数量关系和位置关系.(1) 独立思考：请直