非线性动力学-2

1、2021-11-31非线性动力学姚宝恒姚宝恒上海交通大学上海交通大学船舶海洋与建工学院船舶海洋与建工学院2021-11-32 概述：混沌的发现概述：混沌的发现 2021-11-33庞加莱（庞加莱（18541912）Poincar ，Jules-Henri 法国数学家。又译彭加勒。1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。1873年10月以第一名考入巴黎综合工科学校。18751878年在国立高等矿业学校学习工程。后任工程师。1879年以数学论文获博士学位。旋即去卡昂大学理学院任讲师。1881年为巴黎大学教授，直到去世。1887年他当选为法国科学院院士，1908年当选为法兰西

2、学院院士。他还多次获得法国及其他国家的荣誉和奖励。 庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论。庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在18811886年发表的4篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。开创了动力系统理论，1895年证明了庞加莱回归定理。创立组合拓扑学，还提出庞加莱猜想。2021-11-34 Poincar created an original method to understand such systems, and discovered a very compl

3、icated dynamics,but:Poincar map It is so complicated that I cannot even draw the figure.2021-11-352021-11-36为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。却偏离了上次的结果。他第二次输入时去掉了小数点后面三位：他第二次输入时去掉了小数点后面三

4、位：0.5061270.506混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性2021-11-37蝴蝶效应蝴蝶效应洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）2021-11-382021-11-39克里斯蒂安克里斯蒂安惠更斯惠更斯克里斯蒂安惠更斯（Christian Huygens 1629-1695）是与牛顿同一时代的科学家，是历史上最著名的物理学家之一，他对力学的发展和光学的研究都有杰出的贡献，在数学和天文学方面也有卓越的成就，是近代自然科学的一位重要开拓者。生平简介生平简介惠更斯于1629年4月14日诞生于海牙的一个富豪之家。他的父亲是一个杰出的诗人和外交家。惠更斯从小就喜欢钻研学问，跟随父亲学

5、习了数学和力学。十六时，惠更斯进入莱顿大学，后转到布雷达大学学习法律和数学。1650年起，惠更斯开始研究光学，同时对天文观测产生了浓厚兴趣。1655年获得法学博士学位后，惠更斯转入科学研究。他先后访问了伦敦和巴黎，并在巴黎获得了普遍的尊敬。1663年，惠更斯成为英国皇家学会第一个外国会员和并被巴黎科学院接纳为唯一的一个外国院士。在伦敦和巴黎时，惠更斯结识了许多当时著名的科学家，包括牛顿、莱布尼兹等。在巴黎生活的第十五年，法国和荷兰之间爆发了战争，惠更斯不得不离开巴黎，回到故乡荷兰，过着孤独寂寞的晚年生活。1695年6月8日，惠更斯在海牙逝世 .2021-11-310单摆单摆不计空气阻力，在自然

6、坐标系不计空气阻力，在自然坐标系下，摆球的切向运动方程为下，摆球的切向运动方程为22ddsintmlmamg lmmg 令令tttdddddd22 得摆球的运动微分方程得摆球的运动微分方程 sinlg 相相空空间间与与相相图图2021-11-311非线性动力系统及混沌的基本概念非线性动力系统及混沌的基本概念 一、任意摆角情况下单摆的运动一、任意摆角情况下单摆的运动 lmONA自由单摆的运动方程：自由单摆的运动方程：22sindgdtl 线性近似：线性近似：当当 很小，很小，22dgdtl (sin )按级数展开，取第一项而得按级数展开，取第一项而得.35sin3!5! 从单摆到从单摆到Duff

7、ing 方程方程 2021-11-312若若 为为任意值，任意值，故自由单摆为非线性振动系统：故自由单摆为非线性振动系统：1212sin()sinsinlmONA22sindgdtl ddt令令，以及初始条件，以及初始条件：000,t 而而(sin )2021-11-3132220022cos1 cos2gl 得得通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的通过了解方程解的一些特点，理解非线性动力系统的一些基本特征。一些基本特征。上式两端乘上式两端乘 ，积分上式，积分上式dt0022cosgldd2021-11-314方程解的非唯一性方程解的非唯一性1. 设初始条件为设初始条件为222002

8、2cos1 cos2gl 0= ， 0= 0，2cos2gl 运动分析：运动分析：在最高点在最高点 = ， = 0，0ddtlmONA系统非稳定平衡点系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：。可能出现三种运动情况：a. 停留在该顶点，尔后径直下落；停留在该顶点，尔后径直下落； b. 调头沿原路返回；调头沿原路返回；c. 越过该顶点继续向前运动。越过该顶点继续向前运动。 则其解为则其解为2021-11-315，则解为，则解为类似地，当令类似地，当令 0=0，204gl0cos2 最高点最高点( = )，非稳平衡，非稳平衡，运动非唯一性。运动非唯一性。对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解对

9、于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。可能具有不可预测的随机性。结论：结论：2021-11-316 对于一般单摆的运动方程对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆）用的阻尼单摆） ：22sincosddmllmgFtdtdt一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。 周期力驱动下阻尼单摆的运动方程周期力驱动下阻尼单摆的运动方程 2021-11-317二、确定性系统中的内在随机性二、确定性系统中的内在随机性 在一个确定性的系统中，由于其本身的在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性非线性性质性质所产生的所

10、产生的运动随机性运动随机性称为确定性系统的称为确定性系统的内在内在随机性随机性。 例如，上述非线性单摆的运动。例如，上述非线性单摆的运动。支配整个系统运动的因素是支配整个系统运动的因素是严格确定严格确定的（具有确的（具有确定的运动方程），系统定的运动方程），系统完全不存在完全不存在随机力的作用。随机力的作用。然而经过时间的演化，在这种然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现确定性系统中出现了随机行为了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的，产生出完全不可预测的、极为复杂的结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。 2021-11-318三、混沌的基本

11、概念三、混沌的基本概念 1. 混沌定义混沌定义（物理学上）：（物理学上）：在确定性系统中所表现出在确定性系统中所表现出来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不可预测性。运动的不可预测性。 2. 相图相图描述系统运动的各状态参量之间的关系图描述系统运动的各状态参量之间的关系图。O例：例：自由单摆（简谐振动）自由单摆（简谐振动）2220ddt cos,sinAtAt 简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，所以相轨线所以相轨线 为一闭合曲线。为一闭合曲线。 ()22sindgdtl gl

12、2021-11-3193. 自治系统与非自治系统自治系统与非自治系统 不显含时间不显含时间 t 的动力学方程称为的动力学方程称为自治系统自治系统，而显，而显含含时间时间 t 的动力学方程称为的动力学方程称为非自治系统非自治系统。 2 由线性单摆由线性单摆方程可得方程可得由受阻力由受阻力和周期策动和周期策动力作用的非力作用的非线性单摆方线性单摆方程可得程可得（角谐振动）（角谐振动）sincosgFtmlml 2021-11-320引入新变量引入新变量 = t ，可将方程化为三维相空间中的，可将方程化为三维相空间中的自治系统：自治系统：sincosgFmlml 一个一个自治系统在其相空间上的相轨线

13、不会相交自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即即通过每一相点的轨线是唯一的。通过每一相点的轨线是唯一的。 而而非自治系统中相轨线则会相交非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二。如上述系统在二维维 相平面上相轨线有相交情况。相平面上相轨线有相交情况。()O相轨线2n2(1)n2 三维相空间2021-11-32111122122121212( ,)set of points( ,)isphasespace( ,)( ),( ),( ) is trajectoryor flow( ,)nnnnnnndxf x xxdtdxx xxf x xxdtx t x tx tdxf x xxdt 不显含

14、时间不显含时间 t 的动力系统称为的动力系统称为自治系统自治系统，而显，而显含时含时间间 t 的动力系统称为的动力系统称为非自治系统非自治系统。 2021-11-322动力系统（数学定义）：动力系统（数学定义）：若若则则( )f x满足满足动力系统是线性的；动力系统是线性的；若若 满足满足1212()()()f axbxaf xbf x1212()()()f axbxaf xbf x( ),nxf x xURtR( )f x则则动力系统动力系统是非线性是非线性的；的；2021-11-3234. 庞加莱截面图庞加莱截面图 2n相轨线环形相空间相轨线2n2(1)n2三维相空间若沿若沿 方向截取一系

15、列截面，则根据该自治系统的方向截取一系列截面，则根据该自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一个截面。性的穿过每一个截面。 取取，若以，若以2 为周长，将为周长，将相空间弯成相空间弯成一圆环，则在一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面该环形相空间上所取的任一固定截面称为称为庞加莱截面庞加莱截面。2tn 2021-11-3242n相轨线环形相空间相轨线2n2(1)n2三维相空间相轨线在相轨线在庞加莱庞加莱截面上的交点的集合就称为截面上的交点的集合就称为 庞加莱庞加莱截面图截面图。通过分析相轨线在通过分析相轨线在庞加莱庞加莱截

16、面上的交点的分布截面上的交点的分布 规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程 中系统的运动规律。中系统的运动规律。2021-11-325庞加莱截面庞加莱截面 在高维相空间，为了更方便地了解复杂运动的在高维相空间，为了更方便地了解复杂运动的性态（定态、周期或非周期），可取一个通过初态性态（定态、周期或非周期），可取一个通过初态的截面（的截面（庞加莱截面庞加莱截面），观察相曲线与截面交点序），观察相曲线与截面交点序列，可定性了解运动状态的演化。列，可定性了解运动状态的演化。相相空空间间与与相相图图2021-11-326讨论：讨论： 单周期振动，每隔单周期振动

17、，每隔2 运动状态复原，运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过即相轨线每次都从同一点穿过庞加莱庞加莱截截面，面，在在庞加莱庞加莱截面图上只有一个不动截面图上只有一个不动点；点； 运动无周期性，则运动无周期性，则庞加莱庞加莱截面图上有无穷多个点。截面图上有无穷多个点。 倍周期的运动，倍周期的运动，庞加莱庞加莱截面图上有截面图上有两个不动点；两个不动点； 。2021-11-327四、单摆与混沌四、单摆与混沌 单摆方程单摆方程31sin6xxx22sincosd xdxmllmgxFtdtdt 按泰勒级数按泰勒级数 232cosd xdxxxftdtdt适当代换，得到非线性振动方程适当代换，得到非

18、线性振动方程（Duffing杜芬方程）杜芬方程） 取前两项近似，取前两项近似， 运动的演变运动的演变 讨论讨论 1. 线性近似下的单摆运动线性近似下的单摆运动 2021-11-328三种情况：三种情况： a. f= = = 0；b. f = =0；c. =0，相，相应得出应得出简谐振动简谐振动、阻尼阻尼和和受迫振动受迫振动方程。方程。 令令 =0，退化为线性方程，退化为线性方程22cosd xdxxftdtdt阻尼振动的相轨线阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点终停止于中点-不动点吸引子不动点吸引子- 。受迫振动：受迫振动：经过暂经过暂态之后趋于一稳

19、定的态之后趋于一稳定的闭合圈闭合圈-周期吸引子周期吸引子或或极限环极限环。 简谐振动的相轨线简谐振动的相轨线：闭合圈闭合圈-周期环周期环-。2021-11-329方程代表复杂的非线性振动系统。方程代表复杂的非线性振动系统。 2. 非线性近似下的单摆运动非线性近似下的单摆运动 混沌混沌 232cosd xdxxxftdtdt为简化问题，在四个参数中只改变为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。的值。 数值模拟发现，随着数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产的逐渐增大，该振动系统产生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进入混沌的演化过程。入混

20、沌的演化过程。从周期运动到倍周期分岔从周期运动到倍周期分岔 当当 f = 0.8，系统的运动仍是，系统的运动仍是一个简单的周期运动。一个简单的周期运动。 2021-11-330当当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出，其结果为一个二倍周期的运动，即出现了现了倍周期分岔倍周期分岔。 说明：说明：图中看上去的每一条曲图中看上去的每一条曲线实际上是线实际上是完全重合的两条曲完全重合的两条曲线，它们的初始值略有差异线，它们的初始值略有差异：a. x0=1， 0=0；b. x0=1.001， 0=0.001.结论：结论：初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响，初始条件的微小差别对周期性运

21、动不产生影响，或者说或者说周期运动对初值不敏感周期运动对初值不敏感。混沌运动混沌运动 继续增大继续增大 f，当，当 f =1.3，随机性运动取代了周期性运，随机性运动取代了周期性运动，表明系统已进入混沌状态。动，表明系统已进入混沌状态。 2021-11-331注意：注意：图图(a)中的两条运动曲线的初值分别为中的两条运动曲线的初值分别为x0=1， 0= 0和和 x0=1.00001， 0=0.00001。误差仅在小数点。误差仅在小数点后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差差之毫厘，失之千里之毫厘，失之千里”。处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，

22、处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，称这一特性为称这一特性为混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性。相图相图(b)反映出反映出混混沌运动的随机性沌运动的随机性。即相轨道即相轨道(运动状态运动状态)完全不可预测。完全不可预测。运动的随机性运动的随机性-蝴蝶效应蝴蝶效应-xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)2021-11-332混沌的内在规律性混沌的内在规律性-混沌吸引子混沌吸引子 图图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的中两条曲线的运动完全各异，但它们的庞加莱庞加莱截面图截面图(c)和和(d)却又是完全相同的。把混沌的相轨却又是完全相同的。把混沌的相轨线在线在庞加莱庞加莱截面上的这种点

23、集称为截面上的这种点集称为混沌吸引子混沌吸引子。 混沌吸引子是非混沌吸引子是非线性耗散系统混沌线性耗散系统混沌的特征，表明耗散的特征，表明耗散系统演化的归宿。系统演化的归宿。代表混沌行为的代表混沌行为的全局特征。全局特征。混沌吸引子体现出混沌运动的内在规律性。混沌吸引子体现出混沌运动的内在规律性。xxxxvvvt(a)(b)(c)(d)2021-11-333结论结论然而混沌的全局特征然而混沌的全局特征混沌吸引子却具有不依混沌吸引子却具有不依赖于初值的、确定的规则赖于初值的、确定的规则。貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定的规律定的规律-混沌运动

24、的内在规律性混沌运动的内在规律性。这是这是混沌运动区别于真实随机运动混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。的重要标志。初值悬殊的初值悬殊的三个吸引子三个吸引子xxxvvvxt混沌行为具有混沌行为具有极为极为敏感的初值敏感的初值依赖性依赖性；2021-11-334如继续增大如继续增大 f ，当当 f =1.53，则出现一个三倍周期的，则出现一个三倍周期的运动运动-周期三窗口。周期三窗口。当当 f =1.75时，系统又再次进入混沌状态。时，系统又再次进入混沌状态。周期窗口周期窗口在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区中的中的周期窗口周期窗口。2021-

25、11-3352021-11-336五、混沌的演化，内部结构和普适性五、混沌的演化，内部结构和普适性 利用最简单的非线性方程作进一步分析：利用最简单的非线性方程作进一步分析：21yx -抛物线方程抛物线方程 1,nnyxxx，得抛物线形迭代方程，得抛物线形迭代方程 令令2110,2, 1,1nnnxxx 在整个区间取值迭代便在整个区间取值迭代便得出由得出由周期运动周期运动到到倍周倍周期分岔期分岔，再进入，再进入混沌状混沌状态态的整个演化过程。的整个演化过程。 nx1. 混沌的演化（通向混沌的道路）混沌的演化（通向混沌的道路）2021-11-337倍周期分岔序列：倍周期分岔序列：12482n .当

26、当n，则解的数目，则解的数目，意味着系统已进入混，意味着系统已进入混沌状态。将混沌开始时对应的沌状态。将混沌开始时对应的 记为记为 ( =1.40115518909205 )。nx2. 混沌区的结构混沌区的结构 a. 窗口窗口 在混沌区中重又出现在混沌区中重又出现的周期性运动。的周期性运动。窗口中包含着与整体窗口中包含着与整体完全相似的结构。完全相似的结构。周期三窗口周期三窗口通向混沌的其它道路通向混沌的其它道路准周期道路准周期道路：平衡态：平衡态周期周期准周期准周期混沌混沌.阵发混沌道路阵发混沌道路2021-11-3381框内部分放大得下页图框内部分放大得下页图2021-11-339框内再放

27、大得下页图框内再放大得下页图22021-11-34032021-11-341123混沌内部的自相似结构混沌内部的自相似结构2021-11-342看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结构。构。任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整体完全相似的规律。整体完全相似的规律。 在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为构称为自相似性自相似性。从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整数维，而是分数维的，也就是具有整数

28、维，而是分数维的，也就是具有分形分形的性质。的性质。 b. 自相似结构自相似结构混沌带的合并混沌带的合并 -从逆着混沌演化的方向，可找到混沌从逆着混沌演化的方向，可找到混沌带合并的规律：带合并的规律：n 21684212021-11-343c. 普适性普适性 若将第若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数数 记为记为 n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：比趋于同一个常数：11lim4.66920160910299067nnnnn注意：注意：常数常数 并不只并不只限于单摆公式，而是对所有同限于单摆公式，

29、而是对所有同一类型的变换，所得的一类型的变换，所得的 值都精确地相同。值都精确地相同。 的数值只与系统的某种的数值只与系统的某种非线性性质非线性性质有关，而与有关，而与各个系统的其他具体细节无关。各个系统的其他具体细节无关。反映出混沌演化过程中所存在的一种反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性普适性.是混沌是混沌内在规律性内在规律性的另一个侧面反映。的另一个侧面反映。 费根鲍姆常数费根鲍姆常数2021-11-344在倍周期分岔序列图中，在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各同次周期分岔中上下的各对周期点之间的距离之比对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分，以及第相邻两次周期分岔中的

30、各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常数数 ，称为，称为标度因子标度因子或或普适常数普适常数: = 2.5029078750958928标度因子标度因子 nx123混沌区123a2a1a例如，图中例如，图中1lim= =2.5029078750958928nnnaa注意：当不满足注意：当不满足n ，则比值只是近似的。，则比值只是近似的。2021-11-345Chaos vs. Randomness Do not confuse chaotic with random:Random: irreproducible and unpredictableCh

31、aotic: deterministic - same initial conditions lead to same final state but the final state is very different for small changes to initial conditions difficult or impossible to make long-term predictions2021-11-346讨论讨论相同的常数相同的常数 和和 出现在不同的非线性系统之中，出现在不同的非线性系统之中，充分显示出非线性系统中充分显示出非线性系统中存在的某种共性存在的某种共性，说明通

32、，说明通往混沌的道路是有确定的规律可循的。往混沌的道路是有确定的规律可循的。混沌现象混沌现象是确定性系统中的内在随机行为，是非是确定性系统中的内在随机行为，是非线性系统的一种固有属性。线性系统的一种固有属性。 经典力学经典力学的观点并不能解释内在随机性。的观点并不能解释内在随机性。按照牛顿决定论的观念，一个没有外来随机因素按照牛顿决定论的观念，一个没有外来随机因素影响的确定性系统，其运动的规律也必然是确定的。影响的确定性系统，其运动的规律也必然是确定的。就是说，只要初始条件给定，则系统在以后任一时就是说，只要初始条件给定，则系统在以后任一时刻的运动状态都是完全可以预见的，决不可能出现刻的运动状

33、态都是完全可以预见的，决不可能出现任何任何“越轨越轨”的随机行为。的随机行为。 2021-11-347从整个自然界来讲，线性系统与非线性系统之比从整个自然界来讲，线性系统与非线性系统之比正如有理数与无理数之比，我们实际上是生活在一正如有理数与无理数之比，我们实际上是生活在一个非线性的世界之中。个非线性的世界之中。 混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个混沌现象无处不有。混沌规律不仅支配着整个自然界的各个领域，而且也支配着人类的各种社自然界的各个领域，而且也支配着人类的各种社会活动。会活动。混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说混沌的发现是对经典的决定论的冲击，或者说混沌理论是对经典力学理论

34、的补充和发展混沌理论是对经典力学理论的补充和发展。混沌在混沌在现代科技以及经济、社会领域中现代科技以及经济、社会领域中都有若干都有若干重要应用。重要应用。2021-11-348Chaos in Physics Chaos is seen in many physical systems: Fluid dynamics (weather patterns), some chemical reactions, Lasers, Particle accelerators, Conditions necessary for chaos: system has 3 independent dynamic

35、al variables the equations of motion are non-linear2021-11-349非线性动力学的参考文献非线性动力学的参考文献 Journal of sound and vibration Mechanical Systems and Signal Processing Chaos Chaos, Solitons and Fractals Nonlinear Dynamics Chaotic Dynamics. G.L.Baker, J.P.Gollub. Cambridge, Cambridge University Press, 1990 2021-11-350 Physica A Physica D Physical Review A Physical Review E Physical Review Letters Rev.Mod.Phys Physics Reports Physics Letters A Natur