线性方程组的迭代解法

1、第5章线性方程组的迭代解法本章主要内容1向量和矩阵范数的概念及其性质 谱半径、条件数和线性方程组的性态2雅可比迭代法，3高斯-塞德尔迭代法.4收敛性的判定重点、难点一、 向量的范数和性质1.向量的范数和性质n 维向量X的范数 X是一个非负实数。常用的三种向量的范数为：n| n（1） |x|孑maxx，（2）冈=送 |x，凶2=佢 Xi2 =J（X,X ）i7V i二向量范数的性质：（1）向量的范数满足的不等式：kLWd<o，kLIIXIKo, IX IxL 1X2，（2）任意两个向量的范数等价即若|x|a，|x|b （a,b = 1,2严）是向量X的两个范数，则存在正常数 m M.使得对

2、 任意非零向量X,恒有mx|a勻|x|b兰M|x|a3. 向量序列的收敛（1 ）若（X*）是任一向量序列，XU（x1k）.,x（k）T ,对 i=1,n 都有 im#）= x，则称向量X = X1 Xn 为向量序列 仪在）的极限，或称向量序列<X（k）依坐标收敛于 向量X*,记作lim Xik = X ,kJPC'（2）向量序列 X k 依坐标收敛于向量 X充要条件是向量序列:x k 是依范数收敛于向量X,即lim X k -X k$例1已知向量X= （2, -3 , 4）,求向量X和矩阵A的三种常用范数。【思路】利用向量范数的定义求解。解|X= maxx| =maxb , -3

3、 , 4=4;n|XZ Xi = 2+ 3 + 4=9,X 2Xi2 二；22一3 2 42 = 29例2证明向量X的范数满足不等式f_1 凶匚勻凶2兰亦凶沒；（2）【思路】根据向量范数的定义及不等式的性质证明- 了 n解（1 ）设乂是向量X的分量，则 IX： =|maxXj兰送 Xj F|x| :，所以由向量范IL ij 吕"数的概念可知，结论成立。（2）L=|maxxi !=1=-n(maxxj )工1£n i n i =Xi=X i;X :|max xiIL in兰瓦Xji=1dlXli、矩阵的范数和性质1.若A是n阶方阵，是一种向量范数, 的导出矩阵范数。2性质：矩

4、阵范数具有下列基本性质：则实数制=殁驴¥=骰刨从|称为(1) |A _0，仅当 A=0时，有 A =0 ,(2) 对任意数入，有 A A(3) |a+b| 勻 A+I 冋(4) |A B| 引 A|B(5)对任意向量X,有 Ia'IIUX三种常用矩阵范数为:nII A© = max 迟 aj 二nlAma aji吕A 2二Ji('i是ATA的最大特征值)0 1已知矩阵 A= 332 2-n3 ，求它的三种常用范数。0【思路】利用向量范数的定义求解。n<制旳= maxaj = max<2, 9, 4= 9i j 二|= max迟 aij =max&

5、lt;5, 6, 4> = 6j y20 2解丁 ATA= 0 27 0 ,卩J A =k(丸4® 27 )20 2 一特征值，1 = 0,，2 = 4j 3 = 27|A 2max0,4,27 鼻.27 三、谱半径和线性方程组的性态1.谱半径定义 若入i (i=1,2,n)矩阵A的特征值，则实数 P(A)=maxh|称为A的谱半径。 i性质：(1 )若A为n阶矩阵，| A为A的任一范数，则有 P(A)勻A(2)对任给£ >0,则存在范 Ap ，使得 A p 一 "A) 说明：可以用谱半径讨论迭代法的收敛性问题。2线性方程组的性态b的误差对解的影响(1

6、)假设系数矩阵 A是精确的，且非奇异，则右端向量设“是b的误差，而 X是X的误差，则有所以当b =0, X = 0时，则有A A=co nd(A)(2)假设右端向量b是精确的，则系数矩阵 A的误差对解的影响设A是A的误差，而 X是X的误差，则有I.1 A| A11L |a1IM"a"a 响cond(A)冈M-|a1M ：|a A|lH ：cond(A)函1 l|A 1 HI 1(A)制(3)方阵的条件数定义5.5 若A是n阶非奇异矩阵，则称数|A|A为矩阵A的条件数。记作cond (A) 二A A容易证明，条件数具有下列性质 cond(A) > 1cond(kA)=

7、cond(A),k 为非 0 常数由此可见，系数矩阵 A的条件数确实能反映线性方程组的解对于初始数据误差的敏感程度。(1 )当cond(A)很大时，则系数矩阵A的微小相对误差| -4 | A或右端向量的微小相对误差|也b|/|b，可能使解产生相当大的相对误差|収|/|凶，则称方程组是病态的。(2)当cond(A)较小时，则系数矩阵A的微小相对误差| A或右端向量的微小相对误差|也灿/制，不会使解产生大的相对误差，则称方程组是良态的。15四、雅可比迭代法线性方程组Ax=b的系数矩阵A为非奇异矩阵，且A的所有对角元akk丰0(k=1,2,n).则由克莱姆法则知，线性方程组存在唯一的解X*，利用雅可

8、比迭代法公式对线性方程组进行迭代计算，可求得线性方程组的近似解X &)= (x1k，,x(k H。雅可比迭代法公式：1. 方程组形式：十)=丄axfamxpanx +)=(b2 a21X)一 a2nXa22(m =0,1,；)十)=丄(bn - an1X1(m)- annAx；a nn简记为xF)=L(bk 一瓦akjx)-迟akknfmawj主1)(k = 1, n; m= 0,1,)2.矩阵形式:将系数矩阵A分裂为A=D- (L+U),其中-L , -U , D分别为矩阵A的严格下三角部分,严格上三角部分和对角部分，即:a110.0a11ai2a1na2ia 22a2nb2_a n

9、1an2ann_0a22则 A 二 D - (L U)ann 一a110.0a21.0000a120a1na2na22_an10an20ann 一-(a21010000an2.0a120a1na2n雅可比迭代法矩阵形式为:X m1 = D4(L U)X m Db, (m = 0,1,.)其中雅可比迭代矩阵ai2ai1a21B =D(L U)a22an1an29lnai1an2a220aiib2annannDJba22bnann"IOXj - x2 2x3 = 7.2例4用雅可比迭代法求解线性方程组- 10x2 - 2x3二8.3I -Xi - X2 ' 5X3 = 4.2-塞

10、德尔迭代方程组,【思路】先将方程组同解变形，然后建立雅可比迭代方程组和高斯并选择初始值，再利用雅可比迭代公式和高斯-塞德尔迭代公式迭代计算。解原方程组同解变形为=0.1x2 +0.2x3 +7.2x2 = 0.饥 - 0.2x3 8.3x3 =0.2x1 0.2x20.84雅可比迭代公式为x 伫)=0.1x2m)+0.2xJm)+7.2X2m1'i=0.1xim -0.2x3m8.3 (m=0,1,.)x3m 1 = 0.2x1m0.2x2m0.84I选取初始值xf )=0, xf)= 0, x)=0迭代计算，列表如下:n(n) x；)xf)x3n)00.000000.000000.0

11、000010.720000.830000.8400020.971001.070001.1500031.057001.157101.2482041.085351.185341.2828251.095101.195101.2941461.098341.198341.2950471.099441.199811.2993481.099811.99911.2997891.099941.199941.29992取方程组的近似值为 x19 =1.09994, x29 = 1.19994, x39 =1.299920比较两种解法，一般地，高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法好，但也有高斯-塞德尔迭代比雅可比迭代收

12、敛慢，甚至雅可比迭代法收敛而高斯-塞德尔迭代法不收敛。五、高斯-塞德尔迭代法高斯-塞德尔迭代法公式：1. 方程组形式：4丄a11m2X2a1-3a1-mm 11m 1mlm、X3(b3 - a3i Xia32X2 J- a2n Xn )a332nXnmxjm十)=(b2 -&2必十)-a23x3m)-a2nxjm a22(m =0,1,)k -1n简记为 xkm41)= (bk-迟 akjxjm_h)-迟 akjxjm) (k=1,;n;m = 0,1，)akkj =ij =k 12.矩阵形式：X m 1 =(D-L)7xm (D-L)S, (m = 0,1,.)其中高斯-塞德尔迭代矩

13、阵B1 = (D _ L)U .例5用高斯一塞德尔法解方程组X2qXi25严(1) 证明高斯一塞德尔法收敛；(2) 写出高斯一塞德尔法迭代公式;取初始值X(0) = (0,0,0)T，求出X 解(1)因为A为严格对角占优矩阵，所以高斯-塞德尔迭代法收敛。(2)高斯-塞德尔法迭代公式为：(m41)1 /(m)(m)X1=一(4X2 -X3 )5I (m 7)1(m 1)(m)、"一丿 x； '= (72x1-2x3 ) m=0,1，5x；丿=(4 x；丿x2)i5(3) 取初值 X(0) =(0, 0,0)T，计算得 X Xj 二耳公；1)53525125六严格对角占优矩阵n设A=(aQ为n阶方阵，若满足 akZ akj , (i=1,；n)，则称A为 对角占 g j -k优矩阵；若上式中不