线性代数与空间解析几何：1-4 行列式按一行(列)展开

1、1.41.4行列式按一行行列式按一行( (列列) )展开展开1. 1. 行列式的代数余子式行列式的代数余子式121212()|.|( 1)nnij nppnpp ppaaaa 12(1),!,iiiniinniaaa 对对于于任任何何一一个个选选定定的的将将上上式式右右边边的的个个单单项项式式按按第第行行的的元元素素分分组组 再再提提取取公公因因式式: :1122|;ij niiiiiinnaaAAAaa我我们们再再考考察察行行列列式式的的定定义义式式: :【行行列列式式定定义义式式的的新新组组合合】3113312311332113212212123313222332123| ijaaaaaa

2、aaaaaaaaaaaaa 【实实例例】133212331133133112311222223232112321)()( (aaaaaaaaaaaaaaaaaa 133212331133133112311132222321)()( (a aa aaaaa aa aa aaa 212223222123AAAaaa 111,111,111,11,11,1,11,1,11,111,1,11,1,1,111,ii jijjjniijijijiniijijijinnjin jjnjn jnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ?ijA 1,1,1,11,1ii ji ji ji ji

3、i ji jininAAAaaAaaAa 1,1,10,0,1,0,0:,ii ji jini jaaaaa ,在在下下式式中中 令令1,iinAA( (都都不不变变) )111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,110000jjjniijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa i jA 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1001000000jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa ,ij( (将将第第 行行交交换换到到第第

4、1 1行行 再再将将第第列列交交换换到到第第1 1列列) )111,11,11(1) (1)1,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1100000( 1)000jjnijiijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaAaaaaaaaa 111,11,111,11,11,11,()1,11,11,11,1,1,1( 1)jjniijijinijijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaAaaaaaaaa ()|,1,; ( 1)ij nijijijijijijijaaijnaMAMa 在在行行列列式式中中删删去去所所在在的的第第 行行和和第第列列 留留下

5、下的的元元素素保保持持原原来来的的相相对对位位置置所所构构成成的的阶阶行行阶阶式式称称的的记记为为【定定义义再再称称为为的的余余子子式式代代7 7】数数余余子子式式. .【代代数数余余子子式式的的另另一一个个性性质质】111211211221212:njjjniiiiininiiinnnnnaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaa1,jin 设设12121,;,iiinjjjniinaaaaaaAA在在上上式式中中将将换换为为这这不不改改变变而而右右边边的的行行列列式式有有两两行行相相同同. . 从从而而11220.jijijnina Aa Aa A1122(),0 ().jijijninD

6、 ija Aa Aa Aij | ,ij nijijnDaAa 对对于于阶阶行行列列式式若若为为元元素素的的代代数数余余子子式式 则则我我们们有有,用用同同样样的的方方法法 或或应应用用行行列列的的对对称称性性 我我们们也也有有1122(),0 ().jijinjniD ija Aa Aa Aij 【总总结结】2.2. 行列式的按行行列式的按行(列列)的展开的展开31125134.20111533D 【例例1 1列列】 计计算算行行式式【解解】31345111( 2) cc111310010cc5530D ,应应用用上上面面的的展展开开定定理理( (先先在在某某行行( (列列) )中中多多造造

7、0)0)3 3511( 1)1111550 33()A 1251 1 rr62 055 0 1 362( 1)4055 3 3511( 1)1111550 12344123422221234333312341111(,)aaaaV aaaaaaaaaaaa 434241323121()()() ()() ()aaaaaaaaaaaa 例如例如, 【证证明明】对行列式的阶数用归纳法证明此等式对行列式的阶数用归纳法证明此等式. 首先首先, 对二阶行列式对二阶行列式, 结论成立结论成立:211211.aaaa假设结论对假设结论对 n - - 1 阶行列式成立阶行列式成立. 对于对于 n 阶行列式阶行

8、列式, 1() rr ,nnna 21() rr,nnna 12() rr :na ,122221211112111nnnnnnaaaaaaaaa我们先依次应用我们先依次应用12111221122211221111110()()() 0()()() 0nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaVa aaa aaaaaaaaaaaaaa ( (按第按第 n 列展开上式行列式列展开上式行列式) )1211122111222112211()()()( 1)()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 12111222121111()nniin

9、nnnnaaaaaaaa 1 i( (提出每列的公因式提出每列的公因式) )11111(,)().nnniinVaaaa 1 i由归纳假设由归纳假设 11111(,)();nnijjinVaaaa j1于是于是, 1111()()nijnijininVaaaa j11 i1().ijjinaa j1由归纳原理由归纳原理, 本题结论成立本题结论成立. 1(,)0()nnijV aaaaij范德蒙行列式是一个很有用的行列式范德蒙行列式是一个很有用的行列式:【评评注注】对一些特殊的对一些特殊的 n 阶行列式阶行列式, 可用递推法来计算可用递推法来计算, 如下例如下例. 211.112 nnA 【式式例例计计算算行行列列3 3】【解解】12,nnnnAAAA 按按第第1 1行行展展开开( (找找出出与与等等的的关关系系) ): :111121021121111212nnnA 由前面的递推公式由前面的递推公式, 我们得到我们得到122112112nnA 122;nnAA2322(2)nnnnAAAA2332nnAA3433(2)2nnnAAA3443nnAA1.n21(1)(2)nAnA3(1)2(2)nn11121, .nnxaaaxanDaaxAAA 【例例4 4】 对对于于 行行列列式式计计算算【解解】 行行列列式式某某行行的的代代数数余余子子式