椭圆中与焦点三角形有关的问题 (2)

1、椭圆中与焦点三角形有关的问题问题：题1：椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。（二）问题的分析与引导问题分解：问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_。问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，达到最大。3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角

2、的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求的最大值，只需求cos的最小值”（面对cos= 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是，分母变化的部分是，二者的关系是 ，于是目标式可分成两部分 ，最后对 利用均值不等式，即可大功告成。从而求得当 ，即点P与短轴端点重合时，cos有最小值为，有最大值。此题结果为。）问题5：由上面的分析，你能得出cos与离心

3、率e的关系吗？性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路：由焦点三角形性质二， 变式1：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是追问：何时取等号？变式2：若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点的纵坐标；否则说明理由。简解：两种做法：方法一：设,，可以得到，故，所以P的纵坐标的绝对值，故P的纵坐标为3或-3.方法二：，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。两种解法，答案不一致，原

4、因？（三）问题引入2（一道很普通的错题） 题3：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则的面积等于_。多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出，代入面积公式。问大家：“既然面积可求，那么 也一定可求，请大家计算一下 的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以 为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于0，无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才探索出的规律，当点P与短轴端点重合时， 有最大值，查表求得是，因此，给定椭圆上不存在点P，使问题1：已知椭圆C： (a&

5、gt;b>0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角， 探求在C上存在点P，使 的条件。 问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？改动一：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则 的面积等于_。改动二：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则的面积等于_。问题3：改动的依据是什么？（,B为短轴的一个端点）题4：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，求椭圆的面积。解：设，由余弦定理得由椭圆定义得 由得：性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则。继续看题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为则 故当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。如果把图形特殊化，使PF1F1F2,我们可以得到：性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。20090423题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程；这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。【课堂测试】1.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 9（09上海）2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离