江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准

1、江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准一、 择题题号123456答案DACDCC二、 填空题7、18、79、，（填对一组解给2分，4组全对给7分）10、CHQ11、12、13、（对1个给3分，对2个给5分）14、三、 解答题15、题中等式可化为2分当方程有两个相等的实数根时，由此得，此时方程有一个根，验证可知的确满足题中的等式4分当方程有两个不相等的实数根时，由此得若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一个根，它确也满足题中的等式；8分若是方程的根，则原方程有增根，代入解得，此时方程的另一个根，验证可知确满足题中的等式；12分因此，即为所求，且13分16、（1）设装卸工作需小时

2、完成，则第一人干了小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时。4分据题设，得，解得（小时）。6分（2）共有人参加装卸工作，由于每隔小时增加一人，因此最后一人比第一人少干小时，按题意，得，即10分解此不定方程得，即参加的人数或3或4或5或7或13。13分17、判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确。1分判断（1）的反例：如图（1），在ABC、AC中，ACAC，BCC，高AHAH，但两个三角形不全等。4分判断（2）的反例：如图（2），在在ABC、AB中，ABAB，ACA，高AHAH，但两个三角形不全等

3、。7分判断（3）的反例：设ABC的三边长分别为AB16，AC24，BC36；的三边长分别为，。由于ABC与的对应边成比例，故ABC，从而它们有5个边角元素分别相等：，AC，BC，但它们不全等。10分判断（4）的反例：如图（3），在ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作，延长BC、FA交于点，则高BFBE，ADAD，又ABAB，但ABC与AB不全等。13分综上所述，题中4个判断都不正确。18、9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此

4、，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分。3分下面分情形讨论（1） 如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分，那么9；4分（2） 如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而；6分（3） 如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于，从而，故，；8分（4） 如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于，从而，故。综上可知，。11分这种情形是可以实现的，见下表：13分运动员评分裁判143256791081112143256791081112143256791081112431527968111012431527968111012431527968111012314259