微积分课件：连续函数性质

1、第九节一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致连续性三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第二章 最值的定义最值的定义定义:设函数设函数)(xf在区间在区间I上有定义上有定义.若存在若存在,0Ix 使得使得)()()()(:00 xfxfxfxfIx或）。或，记作上的最大（或最小）值在为则称)(min()(max)()(0 xfxfIxfxfIxIx最大值与最小值合称最值最大值与最小值合称最值. 注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在在闭区间闭区

2、间上连续的函数上连续的函数即即: 设设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则则, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断有间断 在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略)点点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1: 设曲线设曲线 C 与直线与直线 L 分别为方程分别为方程6

3、32) 1(12yxxxy与证明曲线证明曲线 C 上存在距离上存在距离 L 最近与最远的点最近与最远的点. ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上

4、连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 设设 , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(则则,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点, ),(ba使使,0)(即即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回

5、 结束 例例2. 证明方程证明方程01423 xx一个根一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根内必有方程的根 ;) 1 ,(21取取 1 ,21的中点的中点,43x,0)(43f内必有方程的根内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则则则0)()()

6、(212xfxff上连续上连续 , 且恒为正且恒为正 ,例例3. 设设)(xf在在,ba对任意的对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点必存在一点证证:, ,21xx使使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 则则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知故由零点定理知 , 存在存在, ),(21xx,0)(F即即. )()()(21xfxff当当)()(21xfxf时

7、时, 取取1x或或2x, 则有则有)()()(21xfxff证明证明:小结 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设设)(xf在在,ba上连续上连续 , .0,证明存在证明存在,ba, 使得使得. )()()()(fbfaf证证:不妨设不妨设 f (a)f(b)可类似证明可类似证明；若；若f (a)=f (b) ，则取，则取. )a令令)/()()(bfafC易验证易验证 f (a)Cf (b) 。于是由定理。于是由定理3有有. )()()()(,)(, ),(fbfafCfba即使*三三. 一致连续性一致连续性已知函数已知函数)(xf在在区间区间 I 上连续上连续, 即即:,0Ix ,0,

8、0,0时当 xx)()(0 xfxf一般情形一般情形,.,0都有关与x,0无关时与若x就引出就引出了一致连续的概念了一致连续的概念 .定义定义:, I, )(xxf对,0若,0存在, I,21xx对对任意任意的的都有都有,)()(21xfxf)(xf则称在在 I 上一致连续上一致连续 .显然显然:上一致连续在区间 I)(xf上连续在区间 I)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,21时当 xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致连续但不一致连续 .因为因为, ) 10(0取点取点, )N(,11211nxxnn则则 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小可以任意小但但)()

9、(21xfxf) 1( nn1这说明这说明xxf1)(在在 ( 0 , 1 上不一致连续上不一致连续 .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在则上一致连续上一致连续.(证明略)例例3: 证明证明 y = sin x 在在 R 上一致连续。上一致连续。机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在在)(. 1xf上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值; ;4. 当当0)()(bfaf时时, ),(ba使使. 0)(f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,b

10、a机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.xoy则面积函数则面积函数,)(CS因因,0)(SAS)(故由介值定理可知故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(S则, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在证明至少存在, ,0a使使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx则则, ,0)(aCx 易证易证0)()0(a2. 设设一点一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 ,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题