直线在平面上的射影,直线和平面所成的角

1、X斜斜 线线 在在 平平 面面 上上 的的 射射 影影 直直 线线 和和 平平 面面 所所 成成 的的 角角主讲：主讲：凌世春凌世春pO 自一点向平面引垂自一点向平面引垂线，线，叫做这点在这叫做这点在这个平面上的个平面上的； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的面的。 Q 一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但，但不和这个平面垂不和这个平面垂直直，这条直线叫做这个平，这条直线叫做这个平面的面的，斜线和平面的，斜线和平面的交点叫做交点叫做。 斜线上一点与斜足间斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平的线段叫做这点到这个平面的面的。ACB 过斜线上

2、斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的。 斜线上任意一点斜线上任意一点在平面上的射影，一在平面上的射影，一定在斜线的射影上。定在斜线的射影上。 ACBDE 垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 从平面外一点从平面外一点向这个向这个平面所引的垂线段和斜线平面所引的垂线段和斜线段段AB、AC、AD、AE中，那一条最短？中，那一条最短？ ACB OOB=OC AB=ACOBOC AB ACAB=AC OB=OCAB AC OBOC 射影相等的两

3、条斜线段相等，射影射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长斜线段的射影也较长ACB O 定理定理 一一点点向这个平面所引的向这个平面所引的垂线段和斜线段中，垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短 1.点点P是是ABC所在平所在平面外一点，且面外一点，且

4、P点到点到ABC三个顶点距离三个顶点距离相等，则相等，则P点在点在ABC所在平面上的射影是所在平面上的射影是ABC的的 心。心。PCBAO练习练习外外练习练习2.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线一定是平行直线 （ ）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （ ）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长

5、相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （ ） 平面的一条斜线和平面的一条斜线和它在平面上的射影所成它在平面上的射影所成的锐角，叫做的锐角，叫做。 一条直线垂直与平面，它们一条直线垂直与平面，它们；一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是。 AlBODl是平面是平面 的斜线，的斜线，A是是l上任意一点，上任意一点，AB是平面是平面 的垂线，的垂线，B是垂足，是垂足，OB是斜线是斜线l的射影，的射影， 是是斜线斜线l与平面与平面 所成的角所成的角.与与的大小关系如何？的大小关系如何？C AlBOD与与的

6、大小关系如何？的大小关系如何？在在RtAOB中，中，AOAB sin在在Rt AOC中，中，AOACAOD sinABAC，sinsinAODAOD 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 斜线和平面所成斜线和平面所成的角，是这条斜线和的角，是这条斜线和平面内任意的直线所平面内任意的直线所成的一切角中最小的成的一切角中最小的角。角。C最小角原理最小角原理例题例题 例例1.如图，如图，AO是平面是平面的斜线，的斜线，AB 平面平面于于B，OD是是内不与内不与OB重合的直重合的直线，线

7、，AOB= ，BOD= ，AOD= ，求证：，求证：cos =cos cos ABODC 练练习习3.AO与平面与平面 斜交，斜交，O为斜足，为斜足，AO与与平面平面 成成 角，角，B是是A在在 上的射影上的射影,OD是是 内的内的直线，直线，BOD=30 ，AOD=60 ，则，则sin = 。36练习练习5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？4.已知斜线段的长是它已知斜线段的长是它在平面在平面上射影的上射影的2倍，倍，求斜线和平面求斜线和平面所成的所成的角。角。ABO 如图，斜线段如图，斜线段AB是其射影是其射影OB的两倍，求的两倍，求AB与平面与平

8、面所成的角。所成的角。 如果两条直线与一个平面所成的角相如果两条直线与一个平面所成的角相等，它们平行吗？等，它们平行吗？ 例例2.线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘厘米，米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成所成角的余弦值。角的余弦值。MNMNMNMNOOMOM就是就是MN与与所成的角所成的角移出图移出图移出图移出图MNNMO614MMONN614作业作业课本课本P33第第9、10、11题题AB aaaabbbbAGFEDCBHHC与与FG在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？FG与与EA在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？BC与与A点点DC与与BCHC与与EF在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？D