专训2探究二次函数中存在性问题

1、专训 2 探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题探索与特殊几何图形有关的存在性问题1 .【中考内江】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2+ bx + c (a#0)与y轴交于点C(0, 3),与x轴交于A, B两点，点B的坐标为(4, 0), 抛物线的对称轴方程为x=1.(1)求抛物线对应的函数解析式(

2、2)点 M 从 A 点出发， 在线段 AB 上以每秒3 个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从 B 点出发，在线段BC 上以每秒1 个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设 MBN的面 积为S,点M的运动时间为t(s),试求S与t的函数关系式，并求S的最大 值(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t,使4MBN为直角三角形？假设存在，求出t 值；假设不存在，请说明理由(第 1 题 ) 探索与周长有关的存在性问题2 .如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为(一2, 0), OB=OA,且/ AOB = 120 .(1)求点B 的坐标(2)求经过A， O， B

3、三点的抛物线的表达式(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使 BOC的周长最小？假设存在，求出点C 的坐标；假设不存在，请说明理由(第 2 题 )探索与面积有关的存在性问题3 .【中考深圳】如图，抛物线y = ax2+ bx+ 2经过点A( 1, 0), B(4,0),交y轴于点C.(1)求抛物线对应的函数解析式(用一般式表示).2(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D使SAABC =SzA3BD?假设存在，请直接写出点 D的坐标；假设不存在，请说明理由.(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45° ,与抛物线交于另一点E,求BE的长.【导学号：89274026】(第3

4、题)答案1.解：(1).点B的坐标为(4, 0),抛物线的对称轴方程为x=1,.A ( 2, 0).把点 A( 2, 0), B(4, 0), C(0,金的坐标分别代入 y = ax2+ bx+ c(a#0), 4a 2b+ c= 0,a= 一8，得 16a+ 4b+ c= 0,解得,3b7 4,33 国t物线对应的函数解析式为4 y=-3x2 + 3x + 3.tc= 3.84(2)由题意得 AM = 3t, BN = t. .MB= 6-3t. 点C的坐标为(0, 3),点B的坐标为(4, 0), .OC=3, OB = 4.在 RtBOC 中，BC=V0c2+OB2 =，32+42=5.

5、过点N作NHXAB于点H. .NH/CO,. BHNs/XBOC,.HN BNHN t.11K13 CC = RC，即 q = K，HN= ct.0c1BC3 1 5359 9 99. .S=2MB HN=2(6-3t) 芯2 + gt=-而t-1)2+ 而又易知0ct<2,.当t=1时，S最大值=方.10OB 4(3)存在.在 RtA OBC 中，cos/ OBC = BC=g.当/ MNB =90 时，cos/ MBN =即号=4，BN 4化简，得17t=24,解得占24J 17.当/ BMN =90 时，, BM 4 cos/ MBN =77 = 7, 日. 6-3t 4 BN 5

6、 即一T=5，t=30. r 24- 3019一 6 右 /综上所述，当t=24或t = 30时，AMBN为直角三角形.I 79化简，得19t=30,解得2.解：(1)如图，过点B作BD，y轴于点D,那么/ BOD = 120 -9 0 =30 .由 A(2, 0)可得 OA = 2,.OB = 2.于是在 Rt A BOD 中，易得 BD = 1, OD= V3.点B的坐标为(1,5).(2)由抛物线经过点A(2, 0), O(0, 0产I设抛物线白表达式为y=ax(x + 2),将点B的坐标(1,5)代入,得a= g,因此所求抛物线的表达式为3 -233y= 2 x2 + -3-x.(第2

7、题)(3)存在.如图，易知抛物线的对称轴是直线 x=1,当点C是抛物线 的对称轴与线段AB的交点用， BOC的周长最小.设直线 AB的表达式 为丫 =卜乂 +艮=骸k+b=Gk 3，-2k+b = 0.解得b3_ 2J3 3- y= 3X 背3".当 x=1时，y = *3,因此点C的坐标为一1,乎.3.解：(1);抛物线y = ax a- b+2=0,A解得&土bx1,2 经过点 A( 1, 0), B(4, 0),16a+ 4b + 2=0,一抛物线对应的函放解析式为=2x2 + 3x + 2.(2)存在满足条件的点 D,其坐标为(1, 3)或(2, 3)或(5, 3).

8、(3)AO = 1, OC=2, OB = 4, AB=5, AC =、12+22 =乖,BC = 22 + 42 = 25. . AC2 + BC2 = AB2.ABC为直角三角形，且 BCXAC.如图，设直线AC与直线BE交于点F,过点F作FM，x轴于点M, 由题意可知/ FBC = 45° , ./CFB = 45 , .CF=BC = 2q5,由题易知 AO = AC,115 -OM CF即OM二篇C解彳AC"2又由题易知OC=AC,. 25FM_AF_即丽=3会，斛倚 FM = 6,.FQ, 6).设直线BE对应的函数解析式为y=kx + m,2k+m=6,右k= 3,那么可得解得y= 3x+12, 1 o 3 一y