专题圆锥曲线全国卷高考真题解答题

1、专题锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1, 2019年全国统一髙考数学试卷（理科）（新课标III）曲线G尸牛，D为直线戶- +上动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B.2 2（1）证明：直线过定点：（2）若以E（O, *）为圆心的圆与宜线AB相切，且切点为线段的中点，求四边形ADBE的面积.【详解】证明：设D（r,-丄），心J）,则y严丄彳.又因为y = -x2,所以y = x. 2 2 2则切线DA的斜率为召，故开+£ =西（旺一/）,整理得2久一2“+1=0.设Bg,儿），同理得2並一2儿+1 = °A（心”） Bg,儿）都满足直线方程2/x-2y + l =

2、O于是直线2空-2+ 1=0过点A3,而两个不同的点确左一条直线,所以直线 AB 方程为 2X - 2y +1 = 0.即 2tx + (-2y + 1) = 0,当2x = 0, 2y + 1 = 0时等式恒成立.所以直线AB恒过定点（0丄）.2（2）由（1）得直线AB的方程为y = tx+.21y = tx + -可得 F-2/x 1=0, 2于是 X +x2= 2t9XjX2 = 一1, j| + y2 = t(xl +x2) + l = 2尸 +1I AB 1= Vl + r Ix,-X2l= Jl+f2j(E+xj2-4“x2 = 2(” + I) 设仏，厶分别为点DE到直线ab的距

3、离，则4= 后工d2 = -=L= 心+ 1因此，四边形ADBE的面积S = £ I AB I (% +心)=(尸+3)JP7T.设M为线段AB的中点，则由于丽丄丽，而丽=（屏一2）,丽与向M（U）平行，所以/ + （尸一2）/ = 0,解得7=0或r = ±L当/=0时，5 = 3：当7 = ±1 时S = 40因此，四边形ADBE的而积为3或42. 2019年全国统一髙考数学试卷（理科）（新课标I ）3已知抛物线G屮二3工的焦点为F,斜率为二的直线/与C的交点为A, B,与兀轴的 交点为E（1）若L4FI+IBFZ,求/的方程；（2）若丽=3丙，求IABI.【

4、详解】3（1）设直线/方程为：y = -x + m ,B（花,乃）3 5由抛物线焦半径公式可知：AF + BF = x1+x2+- = 4旺+x2 = -?= 3 .联立F 一产 *川得：9x2+（l2ni-2）x+4nr = 012/Z-1257 37解得：加=一直线/的方程为：y = -x-,即：12x-8y 7 = 08 2o7（2）设P（人0）,则可设直线/方程为：x = py + z2联立<3， 得：y-2y-3f = 0,则4 = 4+12/>0 /./>-. y, + y2 =29 y,y2 = 一3f . ap = 3PB” =一3”旳=_1，）i 二3）$二

5、一3,则|A3| = JiT#応匸产石=乎丁?匚迈=纟导32014年全国普通髙等学校招生统一考试理科数学（新课标I ）点'直线的斜率为芈'。为坐标原点.求E的方程；设过点A的动直线/与E相交于几0两点当AOP。的面积最大时，求/的方程.【解析】（1）设F仏0）因为直线AF的斜率为琴,A（0,-2）所以占,Z.又汙纠解得, 所以椭圆E的方程为亍心（2）解：设P（心廿）仗化宀），由题意可设直线/的方程为:y%2,>f 2=1联立（T+V二消去）'得（1 + 4疋）疋_16恋+ 12 = 0,y = kx-2.当厶=16（4疋一3）>0,所以疋3>-4即T或

6、吨时x+x2 =6k12,=1 + 4 疋' 1+4/所以PQ = ViTFj（召+切2-力宀=占5481 + 4疋4厶+/丁4辽-31 + 4/:2,点O到直线/的距离=2Jk，+1所以SSOPQ =Q= 设 J4R，-3 =7 >0，则4k =t +3»S 一 令 _ 4 工 4SOPQt2+4 t + i2 ，当且仅当 1 = 2,即阿二亍=2，t解得k=±-时取等号，满足2 4所以 OPQ的而积最大时直线/的方程为：y = X 2或y =2 -2 24. 2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II）已知椭圆C: 9.r2 + y2 =m

7、tn > 0），直线I不过原点0且不平行于坐标轴，/与C有两 个交点4, B,线段的中点为M.（I ）证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；（II）若/过点（彳,加），延长线段OM与C交于点P,四边形Q4PB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.【解析】解：设直线 l:y = kx+b (k HO0HO), ACwJ, B(x2.y2),y = kx + b州222得伙2+9戾+2加+庆一=0,9f += nrx +x7 kb. f 9b也=T =-市，yM=kxM+b = .直线皿的斜率s瓷=4即直线OM的斜率与/的斜率的乘积为左值-9（2）四边形OAPB能为

8、平行四边形.直线/过点（#,?），/不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0, «工3由（1）得0必的方程为y = -x .设点P的横坐标为Xp. k9y = - x.由k9x2 + y2 = nrk说9F+819 BP xp =土hn3旋+9将点（?,加）的坐标代入直线/的方程得b = d因此几=mk(k -3)3伙 2+9)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即Xp = 2心解得« =4-疗心=4 + 77±khi _必伙 _3)3>/F793伙 2+9)«>0&U = l, 2当/的斜率为4一

9、"或4 + 77时,四边形OAPB为平行四边形.考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点Af是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率 与直线OM斜率的关系时，也可以选择点差法，设/（“）£区宀），代入椭圆方程9叫两式相减引才_* ）+（昇_旳2）=0,化简为I 9x2 +j2 =?w9（习+乞X西帀）+1+乃Xh 一比）=0，两边同时除以（X +x2Xx1-x2）而4叫+无=沪即得到结果,(2)对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件, 其

10、次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平 分，即xp=2xw ,分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5. 2015年全国普通髙等学校招生统一考试理科数学(新课标I带解析)在直角坐标系X0中，曲线C： y二乂与直线y = loc+aa>0)交与gN两点，4(I) 当R=o时，分别求C在点M和N处的切线方程；(II) y轴上是否存在点P,使得当R变动时，总有ZOPM=ZOPN1说明理由.【详解】(I)先求出M.N的坐标，再利用导数求岀M,N. ( II )先作岀判左，再利用设 而不求思想即将y = kx + a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设岀

11、M.N 的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM, PN的斜率之和用d表示出来，利用直线PM, PN的斜率为0即可求出a"关系，从而找岀适合条件的P点坐标.试题解析：(I )由题设可得M(2亦.a), N(2jIa),或N(2亦,a)1 2vy = -x,故任x = 2近a处的导数值为需，c在(2屈卫)处的切线方程24为 y-a = >a(x一 2a),即 ax一 y a = 0 故,=二在x = 2近a处的导数值为。在(_2屈,a)处的切线方程为4y-a = -/a(x + 2/a),即 /ax + y-i-a = 0.故所求切线方程为y/ax -y-a = 0或>

12、;Jax + y + a = 0 (II)存在符合题意的点，证明如下：设P(O,b)为复合题意得点，N(x2,y2),直线PM, PN的斜率分别为妬.将y =尬+ "代入C得方程整理得F 一 4也一 4a = 0 /州+吃=4匕州花=一4" , y2 b 2kxix2+(a-b)(x+x2) k(a + b) K、十 :=.当 时，有k+k2 =0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故ZOPM=ZOPN,所以P(0,-“)符合题意.考点：抛物线的切线：直线与抛物线位宜关系；探索新问题：运算求解能力6. 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标3)已知抛

13、物线& y2=2x的焦点为F,平行于诩的两条直线“丿步别交C*于儿£两点，交 £的准线于Q两点.(I )若F在线段砌上，R是PQ的中点，证明筋II FQ；(U)若'PQF的面积是A/WF的面积的两倍，求购中点的轨迹方程.【解析】由题设F&0),设h；y = a&；y",贝灿工0,且A啓肋塔b)F-詢(?(-如(-扌罟).记过扎万两点的直线为/，则/的方程为2尤+ by+ ab = 0(1) 由于F在线段肋上，故1 +仍=0,的斜率为瓯FQ的斜率为比,则紅二器二爲 +¥ = 7=焉,所UARJ/FQ(2) 设/与兀轴的交点为

14、DGi，0)，则 S =|l&-a|FD| = |b-a|Jr1-| |弘妒=罟，由题设可得扌卩皿加一却二冒，所以瓯=0 (舍去)，Zi=l.设满足条件的肋的中点为EUy).与兀轴不垂直时由= kpf可得丰1).a-ro x1而罟=y» 所 tly2 = r - l(x 芒 1).当肋与諮由垂直时，不与。重合，所以，所求轨迹方程为护”一7. 2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)2 ?已知椭圆E: + = 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直 t 3线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA.(I) 当 t=4, AM =

15、ANf,求 ZkAMN 的面积；(II) 当2AM = ANt求k的取值范围.【解析】（I）设M（K，yJ,则由题意知”>0,当=4时，E的方程为牛+匚=1, 4（2,0）由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为彳.因此直线4M的方程为2 2y = x + 2.x = y-2RA + =得7y2-12y = 0解得=0或$ =二，所以4 37171 io 19144儿=二因此 AMN 的面积5.4WiV=2x-x X=.7皿 27749（id 由题意/>3, r>o, q（JTo）.2 2将直线AM的方程y = k（x + 4t）代入+ = 1得t3+tk2（3+tk2）x

16、2 + 24itk2x+rk2 _3u0.由州（_）得旺=如'一'：）,故|AA/| = |A-+7F|Vi7F=EHl.113k2+t由题设，直线如V的方程为y = £（x + J7）,故同理可得由2AM = AN得磊，即代-2）心3£1）.当k = /2时上式不成立，因此/ = "（ H）./ >3等价于 k、-2k-2 =沐-2）（" + 1）v°， 疋-2P-2P-2k _2k 2 > 0k 2 < 0即亦V0.由此得_2<o,或2>0解得乐心，因此R的取值范用是（返,2）.8. 2016年

17、全国普通髙等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆%2+y2+2r-15 = 0的圆心为A,直线1过点B （1.0）且与x轴不重合，1交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EA + EB为左值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线1交C1于M.N两点，过B且与1垂直的直线与圆A交于P.Q两点，求四边形MPNQ ifii积的取值范围.【解析】试题分析：（I）利用椭圆立义求方程；< II）把面积表示为关于斜率k的函数,再求最值。（I ）因jAD=ACt EB/AC ,故ZEBD = AACD = ZADC , 所以|朋|=|£1儿

18、 故|出| + |肝|=|山丨+|盯|=|辽>|又圆川的标准方程为(卄1)2+ b =16,从而|-1Z>|=4,所以IE4I + IEBA4.由题设得M(IQ)，5(10)> 1-1= 2,由椭圆泄义可得点E的轨迹方程为：宁十詁(尸0).(II)当2与尤轴不垂直时，设Z的方程为卩二力(x-l)(疋工0),姙(心”).M(乞-8A:2x + 4A:2-12 = 0.V =上（X _ 1）M十£ = 1 得（4+3），T + T"4/c2-12所以|胚卜無沪*一勺=12（疋 + 1）4疋+3过点方Q0)且与？垂直的直线也：y = -l(x-l),川到用的距离

19、为 k所以s 胡坤 I PQ=nJn可得当Z与x轴不垂直时，四边形嗣PA面积的取值范国为12:§73).当？与*轴垂直时，其方程为x = U |A/Aq=3t PO=S.四边形而积为12. 综上，四边形A0N0面积的取值范用为12：8需).9. 2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷)2设O为坐标原点，动点M在椭圆C：- + y2=l±,过M作x轴的垂线，垂足为N,2点p满足丽=v?丽.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设点Q在直线x = -3上，且OPPQ = .证明：过点P且垂直于O0的宜线/过c 的左焦点F.【答案】(1)x2 + y2 = 2：(

20、2)见解析.【详解】（1）设P（X, y）, M （心儿），则N （心0）,丽= （xXo）,NM = （Oo） 由=得Xo =0, yQ = -y.因为M（X°,儿）在（：上，所以斗+寻=1.因此点P的轨迹为x2 + y2 = 2 由题意知F （-1,0）,设Q （-3, t）, P （m, n）,贝ij OQ = （-3, t）,PF = （-l-m,-n）QQPF = 3 + 3m-1n ,OP（=m, n）,PQ = （-3-m, t一n）由 OP - PQ = 1得-3m-/?»2 +tn-/?2 =1,又由（1）知+”'=2，故 3+3m-tn=0.所以

21、0丙=0,即OQ丄PA又过点P存在唯一直线垂直于0Q,所以过点P且垂直 于0Q的直线1过C的左焦点F.10. 2018年全国卷III理数高考试题文2 2已知斜率为R的宜线/与椭圆G 二+匸=1交于从B两点,线段AB的中点为43A/（h（1）证明：2（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点，且丽+丙+祁=0.证明：|币|fp|, |而|成等差数列，并求该数列的公差.【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明.（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到冋,再由两点间距离公式表示岀网，冋， 得到直1的方程，联立直线与椭圆方程由韦达左理进行求解.2 2 2 2详解：（1）设（羽2），则工+乩=1.亘+比

22、=14343两式相减，并由得宁+字.“0.召一243由题设知XM=i,m=八于是k=_丄.由题设得o肌°,故一丄.224m22（2）由题意得F（l,0）,设P（S），则（七 _ 1, % ）+（西一 1, X ）+（x -1, % ） = （o, 0）.由（1）及题设得=3-（x1+x2） = l,y3 =-（y1+y2） = -2/?：03 3又点P在C上，所以从而P 1,丐2-|于是网=Jd+昇=J也-1）2+3（1-* = 同理网= 2#.所叫冈+网=4 扣+兀）=3.乙厶_ 1"2州一勺故2FP|=|FA|+|FB，即网I，| FPFB 成等差数列.设该数列的公差为

23、d,则2d=WFB-FA=*>/（斗+勺）2_4尤“2 .3 7将加=代入得k=-.所以/的方程为y = -x + -,代入C的方程，并整理得I1o b j7x 14x+ = 0.故召 +Xj 2, xx2 =,代入解得同= 所以该数列的公差为容或-習.11. 2017年全国普通髙等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆C：尹护3>。）,四点Pg）,P如）,PO豹，P2,夢）中恰有三点在椭圆C上.（I）求c的方程；（II ）设直线1不经过匕点且与C相交于A, B两点.若直线P3A与直线PaB的斜率的和 为-1,证明：1过定点.【解析】试題解析 <1）由于片两点关于y轴

24、对称故由题设知C经过出 £两点又由 丄+丄> 丄+ 亠知，C不经过点A,所以点A在C上.cr Zr cr 4Zr宀°.故。的方程为三+ “1. b2 = 4（2）设直线腳与直线匕万的斜率分别为h匕,如果与x轴垂直，设h由题设知心0,且|"<2,可得&別勺坐标分别为（“ 则屮产斗-气竺一，得不符合题设.V4-r),(t,三).2从而可设去y = kx + m （加工1）将y =也+加代入+ y2 =1得4（4&' +l）x2 +8kmx + 4m2 -4 = 0 t 由题设可知=16（4& - nr +1）0设 A （-Y

25、：, %）, B 北），则+老二Skm4疋+1一4為疋；4/ + 1而心+匕=2izl +儿-1 =匕+加j + W +川-1 = 2鋼厂+（也一 1）（刃+勺）12 召 X2召冬西花 由题设k+k? =一1 ,故（2£ + 1）为2+（加一1）（西+兀2）= 0即（2"1）也二+ （）単1 = 0解得"-业 ' 丿4宀1'' 4宀12当且仅当m-时，（）,欲使 2： y=-x + mt 即y + 1 =-牛丄（x-2）,厶乙所以过定点（2, -1） 12. 2018年全国普通髙等学校招生统一考试理数（全国卷II）设抛物线C： y2 = 4

26、x的焦点为F,过F且斜率为比伙0）的宜线/与C交于A , B两（1）求/的方程;（2）求过点A , 3且与C的准线相切的圆的方程.【解】（I）由题意得F （1, 0） , /的方程为T:（X-1） （40）设A（X, yi）, B （小，），2）由'y =f （.X 一1）得&2 （2ki +4）x + r2 =0. y" =4x'72k2 +4 = 16宀6 = 0,叭十所以AB = |AF| + BF =（X, 4-1） + （xj +1） =.kAb2 +4由题设知Z1_LZ = 8解得£=-l （舍去），k=.因此/的方程为v=x-l. lc

27、（2）由（1）得AB的中点坐标为（3, 2）,所以AB的垂直平分线方程为y-2 = -（x-3）,即 y = -x+5.将),=心_1)代入宁+b=1 得（2宀1）/-4戲 + 2疋-2 = 0.设所求圆的圆心坐标为(mm yo),则儿=_心+5,To = 1 h儿=_6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x lir+(y + 6=144.点睛：确泄圆的方程方法(1) 直接法：根拯圆的几何性质，直接求岀圆心坐标和半径，进而写岀方程.(2) 待定系数法 若已知条件与圆心(o,b)和半径厂有关，则设圆的标准方程依据已知条件列岀关于4b,r的方程组，从而求岀ajr的值； 若已知条件

28、没有明确给岀圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列岀关于 D、E、尸的方程组，进而求出0、E、尸的值.13. 2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)2设椭圆C:宁+)，=1的右焦点为F,过F的直线/与C交于两点，点M的坐标为 (2,0).(1) 当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2) 设0为坐标原点，证明：ZOMA = ZOMB.【详解】(1)由已知得F(l,0), 1的方程为x = .所以AW的方程为y =X +血或)，=当(2)当/与x轴重合时，ZOMA = ZOMB = 0 当/与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以ZOMA = Z.OMB.当/与x

29、轴不重合也不垂直时，设/的方程为y = R(x-1)(" 0), A(xt, X),Eg,力)，则X<近、X?<.近,直线伽、的斜率之和为Si+际出=-二 +三石.由儿=匕一斤,儿=kx2-k得kMA + Zb =所以，x+x2 =4k22FTi,x,X22k22疋+1则 lkxxx2 一3k（X + 吃）+ 4k =4疋一4£一12 疋+8 疋+4&2k2+ 从而«皿+心個=0故M4、M3的倾斜角互补，所以ZOMA = ZOMB.综上，ZOMA = ZOMB 14. 2018年全国普通髙等学校招生统一考试文科数学(新课标I卷)设抛物线C： r

30、=2x,点A(2,O), B(-2,0),过点A的直线/与C交于M, N两点.(1)当/与x轴垂直时，求直线3M的方程；(2)证明：AABM = ZABN 【详解】(1)当/与x轴垂直时，/的方程为x = 2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线3M的方程为y =兀+ 1或)，=一丄x-1:2 2(2)设/的方程为x = ty + 29皿(西).N(w)，由<x = ty +2 y1 = 2x,得），_2$_4 = 0,可知）+ y2 = 2/,>1>2=-4 -直线BM、BN的斜率之和为）1 , >2%! +2 x2 +2（x2+2）yl+（xi+2）y

31、2（召+2）（兀+2）（怏+4）+（6+4）北（丙+2）（兀+2）=0,2。卩2 +4（牙 + 儿）=2f x（-4） + 4x2/ （召+2）（无+2）（"+2）（无+2）所以+v=0,可知3M、BN的倾斜角互补，所以ZABM=ZABN综上，ZABM = ZABN.15. 2018年全国卷III文数高考试题2 2已知斜率为R的直线/与椭圆C： + = 1交于A, B两点.线段AB的中点为4 3M(1,2)(2 >0) (1) 证明：2(2) F为C的右焦点，P为C上一点，且帀 + 応 + 丽=证：2FP=FA+FB.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】分析：（1）

32、设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定 理进行证明.（2）先求岀点P的坐标，解岀m,得到直线/的方程，联立直线与椭圆方程由韦达左 理进行求解.2 2 2 2详解:（1）设心，”），Bg,力），则+牛1，今+号" 两式相减，并由得咎+冲1“0.X 耳43由题设知宁九宁切于是"一乔 由题设町+牛5。.。“弓故"冷.(2)由题意得F (1, 0) 设P(x“ y3),则(兀3-1，儿)+也-1)+(召-1'力)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(xI+x2) = lf y3=-(yl+y2) = -2/i<0.又点皆上，所

33、以Sg，从而FP=.42)2于是囲1=眉可订齐閃-1）'+3 1 - ±=2-同理1用1=2巴.所以FA + FB=4丄（坷+吃）=3.故21帀1=1币1+1而I. 2 216. 2017年全国普通髙等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）x设A、为曲线C：上两点，人与3的横坐标之和为4.（1）求直线的斜率;（2） M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线4B平行，且AM丄BM ,求直【解析】（1）设B（xy2）9则西工禺，片=二，=邑，召+禺=4,4 '4于是直线AB的斜率比=上二上=耳、=1：旺_兀2 42（2）由=匚，得卩=丄42设必（无,比），由题设知# = 1

34、，解得心=2,于是M（2,l）.设直线AB的方程为y = x+mt故线段AB的中点为N（2,2+"，|W| = |/n+l|.2将y = X +加代入）,=得疋_ 4a- 4m = 0.当4 = 16（? + 1）>0,即7>1 时，%2 = 2士2xjm +1. 从而|= V2 |x, -x21 = 42（/» + 1）.由题设知AB = 2MN,即4（2伽+ 1） = 2（也+ 1）,解得加=7.所以直线AB的方程为y = x + l.17. 2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）2设o为坐标原点，动点M在椭圆C： + / = 1

35、77;,过M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足丽=5/亍丽（1）求点P的轨迹方程；（2）设点。在直线x = 3上，且页 PQ = .证明：过点P且垂直于O0的宜线/过C 的左焦点F.【详解】（1）设 P（X, y）, M （Xo,yo）,则 N （儿,0）, NP = （x-x0,y）,NIvi = （O,yo） 由= 下IKi得x0 =0,）b = f y因为M <xoO'（）在（：上，所以斗+斗=1. 因此点P的轨迹为x2 + y2 = 2 由题意知F （-1,0）,设Q （-3, t）, P （m, n）,贝ij OQ = （3, t）,PF = （l m, n）,OQ PF

36、 = 3 + 3m tn ,OP（=m, n）,PQ = （-3-m, t-n）.由 OP PQ = 1 得-3m-/?2 +tnn2 =L 又由（1） nr +/2 = 2 » 故 S+Sm-tnOOH求阿（n>除H以外，宜线MH与c是否有其它公共点？说明理由.【答案】（1）2；（2）没有.2【详解】（I ）由已知得M（Oj）,"（：_,/）又N为M关于点P的对称点，2p升2故N（、）ON的方程为y = -x,代入y2 = 2px整理得px2 - 2rx = 0，PI2r2rI OH I 小解得州=0山=,因此H（），所以N为OH的中点，即 = 2ppION I（H

37、）直线A/H与C除H以外没有其它公共点.理由如下：n2/直线的方程为y /即x = -（y-t）,2tp代入y2 = 2px,得y2_4°，+ 4/2=o,解得儿=），2=2，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有苴它公共点.20. 2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II）已知椭圆C:二+二=1（“ >b>0）的离心率为,点（2,血）在C上a b2（I）求C的方程（2）直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点线段的中点 为M .证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值.【解析】解：（I）由题意有也 j =返上+ 2

38、= 1解得/=&戻=4,所以椭“2 a2 b12 2圆c的方程为4+4=1.8-4（II）设直线/:=匕+/?（£工0上工0）,4（心）8（兀22）昇"（心,加）,把畚+* = 1 得（2L+1）宀4处+ 2夕一8 = 0召 +x2 _ -2kb2一2疋+1齐，于是直线曲的斜率族，即应伙=-所以直线OM的斜率与直线1的斜率乘积为左值.21. 2019年全国统一髙考数学试卷(文科)(新课标【II)x21曲C.y = ,Dt为宜线y =上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B.(1) 证明：直线AB过定点：5、(2) 若以E 0,-为圆心的圆与直线相切，且切点为

39、线段AB的中点，求该圆的厶)方程.【解析】(1)证明：设仏一,心),则牙=异.又因为y =钗，所以,，=厂 乙厶乙则切线DA的斜率为召，故牙+£ =旺(刃一0,整理得2兀一2必+1 = 0 .设B(w)， 同理得2久一2廿+1 = 0 . A(x.,yj,B(x2,y2)都满足直线方程2tv-2y + l = O.于是直 线2/x-2y + l = 0过点而两个不同的点确泄一条直线，所以直线AB方程为 2tv-2y + l = O.E卩 2tr+(2y + l) = O,当2x = 0-2y + = 0时等式恒成立.所以直 线AB恒过泄点(0,1).2由得直线AB方程为2tx-2y

40、+ = 0,和抛物线方程联立得：2tx-2y + = 0<1 ,化简得孑一2扛一1 = 0于是y = X*U 2召 +x2=2t,y +)，2 = t(xl + 吃)+1 = 2T +1 设M 为线段 AB 的中点，则(/，八 +1) 厶由于EA/丄A3，而E而= (f,f'-2),丽 与向量(1)平行，所以r + r(/2-2) = 0, 解得7 = 0或t = ±.当7=0时，丽=(0,-2), EM = 2所求圆的方程为a-2+(>-|)2=4;当心±1时，=(1,-1)或丽 =(一1, 1), 阿| =血所求圆的方程为 宀(，一討=2.所以圆的方程为x2+(y-|)2=4或H+(y_2=222. 2014年全国普通髙等学校招生统一考试理科数学(全国II卷带解析)试卷第#页，总21页设n耳分别是椭圆C：计+*“(5>0)的左、右焦点，M是C上-点 且M耳与x轴垂宜，直线M斥与C的另一个交点为2 3(1) 若直线MN的斜率为二，求C的离心率；4(2) 若直线MN在y轴上的截距为2,且|M/V|=5応N|,求"，b.【解析】试题分析：(1)根