复变函数与积分变换21学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换复变函数与积分变换21第一页，编辑于星期一：十点 五十一分。第1页/共55页第二页，编辑于星期一：十点 五十一分。第2页/共55页第三页，编辑于星期一：十点 五十一分。设设 z = x+iy, w = u+iv 其确定了自变量为其确定了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u ,v .例如例如, 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 则则u+iv = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy ,因而函数因而函数 w = z2 对应于两个二元函数对应于两个二元函数:u = x2- -y2, v = 2xy第3

2、页/共55页第四页，编辑于星期一：十点 五十一分。 在以后的讨论中在以后的讨论中, E常常是一个平面区域常常是一个平面区域, 并且并且, 如无如无特别声明特别声明, 所讨论的函数均为单值函数所讨论的函数均为单值函数.二、二、 映射的概念映射的概念 函数函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集平面上的一个点集E(定义集合定义集合)变到变到 w平面上的一个点集平面上的一个点集G (函数值集合函数值集合)的的映映射射(或或变换变换). 如果如果 E 中的点中的点 z 被映射被映射 w=f (z) 映射成映射成 G中中的点的点 w, 则则 w 称为称为 z 的

3、的象象(映象映象), 而而 z 称为称为 w 的的原象原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4页/共55页第五页，编辑于星期一：十点 五十一分。设函数设函数w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw1w2第5页/共55页第六页，编辑于星期一：十点 五十一分。设函数设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2- -y2+i2xy , 有有 u = x2- -y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第6页/共55页第七页，编辑于星期一：十点 五十一分。的的. 此时此时, 我们也称集合我们也称集合E与集与集合合G是一一对应的是一一对应

4、的.第7页/共55页第八页，编辑于星期一：十点 五十一分。2. 复变函数的极限复变函数的极限函数的极限定义函数的极限定义 设函数设函数 w = f (z)定义在定义在 z0的去心邻域的去心邻域 0|z- -z0|0, 相应地必有一正数相应地必有一正数d d (e e) (0 d d r), 使得当使得当 0 |z- -z0|d d 时时有有| f (z)- -A |e e ,则称则称A为为f (z)当当 z趋向于趋向于z0时的时的极限极限, 记记作作或记作当或记作当 zz0 时时 , f (z)A.第8页/共55页第九页，编辑于星期一：十点 五十一分。几何意义几何意义: : xyOz0dzOu

5、vAef(z)第9页/共55页第十页，编辑于星期一：十点 五十一分。等价定义等价定义： 设设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则则运算性质运算性质： 第10页/共55页第十一页，编辑于星期一：十点 五十一分。当当 z0 时的极限不存在时的极限不存在例例1 证明函数证明函数证证 令令 z = x + i y, 则则由此得由此得让让 z 沿直线沿直线 y = k x 趋于零趋于零, 我们有我们有故极限不存在故极限不存在. 第11页/共55页第十二页，编辑于星期一：十点 五十一分。3. 函数的连续性函数的连续性定义定义2.3

6、 则说则说 f (z)在在 z0 处处连续连续. 如果如果 f (z) 在区域在区域D内处处内处处连续连续, 我们说我们说 f (z) 在在D内连续内连续.函数函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在在 z0 = x0 + iy0处连续处连续的充要条件是的充要条件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)处连续处连续.性质：性质： (1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；连续函数的四则运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然连续连续函数的复合函数仍然连续； 第12页/共55页第十三页，编辑于星期一：十点 五十一分。有理分式函数有理分式函数其中其中

7、P(z)和和Q(z)都是多项式都是多项式, 在复平面在复平面分母不为零的点也是连续的分母不为零的点也是连续的.第13页/共55页第十四页，编辑于星期一：十点 五十一分。(4)有界闭区域有界闭区域D D上的连续函数必有界上的连续函数必有界例题例题1 1 讨论讨论的连续性。的连续性。x00222-2-第14页/共55页第十五页，编辑于星期一：十点 五十一分。第15页/共55页第十六页，编辑于星期一：十点 五十一分。第二章第二章 解析函数解析函数2.2 解析函数的概解析函数的概念念1 1 复变函数的导数复变函数的导数 定义：定义：存在存在, 则就说则就说f (z)在在 z0可导可导, 此极限值就称为

8、此极限值就称为f (z)在在 z0 的的导数，记作导数，记作应该注意：上述定义中应该注意：上述定义中 的方式是任意的。的方式是任意的。0z 第16页/共55页第十七页，编辑于星期一：十点 五十一分。如果如果 f (z) 在区域在区域D内处处可导内处处可导, 就说就说 f (z) 在在内可导内可导.例例1 求求 f (z) = z2 的导数。的导数。解解 因为因为所以f (z) = 2z .复变函数的导数具有与实函数同样的复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则求导法则 。（即（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）在复平面处处可导。）第17页/共55页第十八页，编辑于星期一：十点 五十一

9、分。第18页/共55页第十九页，编辑于星期一：十点 五十一分。例例2 问问 f (z) = x +2yi 是否可导是否可导?解解 这里这里所以所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在的导数不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导在整个复平面处处不可导.）第19页/共55页第二十页，编辑于星期一：十点 五十一分。可导可导 连续。连续。第20页/共55页第二十一页，编辑于星期一：十点 五十一分。例例3 讨论讨论的可导性。的可导性。解解：所以在复平面上除原点外处处不可导。在复平面上除原点外处处不可导。第21页/共55页第二十二页，编辑于星期一：十点 五十一分

10、。2. 解析函数的概念解析函数的概念函数在一点解析函数在一点解析在该点可导。在该点可导。反之不一定成立。反之不一定成立。在区域内：在区域内：例如例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；在整个复平面上解析；2)(zzfw仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f (z) = x +2yi在整个复平面上不解析。在整个复平面上不解析。定义定义2.52.5否则称为奇点否则称为奇点 。第22页/共55页第二十三页，编辑于星期一：十点 五十一分。例例 讨论函数讨论函数 f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；z

11、 = 0 是它的一个奇点。是它的一个奇点。解析函数的性质：解析函数的性质：(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数；两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所所 有解析点的集合必为开集。有解析点的集合必为开集。第23页/共55页第二十四页，编辑于星期一：十点 五十一分。第24页/共55页第二十五页，编辑于星期一：十点 五十一分。问题问题：对函数对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何

12、判别其解析（可导）性？如何判别其解析（可导）性？换句话说：换句话说：第25页/共55页第二十六页，编辑于星期一：十点 五十一分。第26页/共55页第二十七页，编辑于星期一：十点 五十一分。例: 设二元函数f(x,y)=x2sin2y, 则第27页/共55页第二十八页，编辑于星期一：十点 五十一分。iv)微分的概念微分的概念 设函数设函数w=f(z)在在z0可导可导, 则有则有 w=f(z0+ z)- -f(z0)=f (z0) z+r r( z) z,因此因此, |r r( z) z|是是| z|的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 而而f (z0) z是函数是函数w=f(z)的改变量的改变量 w的

13、线性部的线性部分分, 称为函数称为函数w=f(z)在点在点z0的微分的微分, 记作记作 dw=f (z0) z (*) 如果函数在如果函数在z0的微分存在的微分存在, 则称则称函数函数f(z)在在z0可微可微.第28页/共55页第二十九页，编辑于星期一：十点 五十一分。 dw=f (z0) z(*) 特别特别, 当当f(z)=z时时, 由由(*)得得dz= z. 于是于是 dw=f (z)dz,即即 由此可见由此可见, 函数函数w=f(z)在在z0可导与在可导与在z0可微是可微是等价的等价的.如果如果f(z)在区域在区域D内处处可微内处处可微, 则称则称f(z)在在D内可内可微微.第29页/共

14、55页第三十页，编辑于星期一：十点 五十一分。2.3 函数可导与解析的充要条件函数可导与解析的充要条件第30页/共55页第三十一页，编辑于星期一：十点 五十一分。 在工程中在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实而实际问题中遇到的复变函数际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数延拓而通常都是某个实变函数延拓而来的来的. 即即, 如果原来有一个实变函数如果原来有一个实变函数f(x), 自变量是实数自变量是实数, 函数值也是实数函数值也是实数, 则将则将x用一个复数代替用一个复数代替, 就产生了一个自就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数变量

15、和函数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说：比如说：实变函数实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数就是则相应的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1. 经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数等函数延拓到复变函数.第31页/共55页第三十二页，编辑于星期一：十点 五十一分。 假设假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数是解析函数, 我们也可我们也可以将它看作是变量以将它看作是变量x,y的二元函数的二元函数, 则对则对x

16、求偏导和对求偏导和对y求求偏导偏导, 得两个公式得两个公式第32页/共55页第三十三页，编辑于星期一：十点 五十一分。u(x,y) 与与 v(x,y) 在该点可微在该点可微, 并且满足并且满足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33页/共55页第三十四页，编辑于星期一：十点 五十一分。定理定理3.8 函数函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域在其定义域D内解析的内解析的充要条件是：充要条件是： （1）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内可微内可微, （2）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内内满足满足Cauchy-Riemann

17、方程方程.定理定理3.7 函数函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域定义在区域D内一点内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是:（1） u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)可微可微, （2）u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y) 满足满足Cauchy-Riemann方程方程 。第34页/共55页第三十五页，编辑于星期一：十点 五十一分。推论推论 ：例题例题1 解：解：例题2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:第35页/共55页第三十六页，编辑于星期一：十点 五十一分。解： 得 ux, v-y, 所以在复平面内处处不可导在复平面内处

18、处不可导, 处处不解析；处处不解析；2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以当且仅当当且仅当 x = y = 0时时,因而函数仅在因而函数仅在z = 0可导可导, 但在复平面内任何地方都不解但在复平面内任何地方都不解析析.第36页/共55页第三十七页，编辑于星期一：十点 五十一分。可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面内处处不可导, 处处不解析第37页/共55页第三十八页，编辑于星期一：十点 五十一分。函数ez.第38页/共55页第三十九页，编辑于星期一：十点 五十一分。第39页/共55页第四十页，编辑于星期一：十点 五十一分。第40页/共55页第四十一页，编辑于星期一：十点 五十一分。2.4 初等函数3.1 指数函数 定义： 性质： 第41页/共55页第四十二页，编辑于星期一：十点 五十一分。3.2 三角函数定义： 性质：(1)Euler 公式仍然成立： (2)全平面解析函数，(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z为奇函数，cos z为偶函数第42页/共55页第四十三页，编辑于星期一：十点 五十一分。例如(7)定义其他的三角函数：第43页/共55页第四十四页，编辑于星期一：十点 五十一分。3.3 双曲函数定